第十一章 三角形
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )
A.3 cm,3 cm,4 cm B.7 cm,4 cm,2 cm
C.3 cm,4 cm,8 cm D.2 cm,3 cm,5 cm
2.下列图形中一定能说明∠1>∠2的是( )
3.下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是( )
A.由四边形组成的伸缩门 B.自行车的三角形车架
C.斜钉一根木条的长方形窗框 D.照相机的三脚架
4.如图所示,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,DE⊥BC于点E,则下列说法不正确的是( )
A.在△ABC中,AC是BC边上的高 B.在△BCD中,DE是BC边上的高
C.在△ABE中,DE是BE边上的高 D.在△ACD中,AD是CD边上的高
5.如图所示,AD,BE,CF是△ABC的三条中线,则下列说法错误的是( )
A.AE=AC B.AB=2BF C.AD=CF D.BD=DC
6.如图所示,直线a∥b,一块含60°角的直角三角板ABC(∠A=60°)按如图所示放置.若∠1=55°,则∠2的度数为( )
A.105° B.110° C.115° D.120°
7.如图所示,已知一个五边形ABCDE纸片,一条直线将该纸片分割成两个多边形.若这两个多边形内角和分别为m和n,则m+n不可能是( )
A.540° B.720° C.900° D.1 080°
8.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是( )
A.BE是△ABD的中线 B.BD是△EBC的角平分线
C.∠1=∠2=∠3 D.BC是△ABE的高
9.在下列条件:①∠A+∠B=∠C,②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,③∠A= 90°-∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图所示,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ACB的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P等于( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
11.如图所示,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于点O.若图中∠1,∠2,∠3,∠4的邻补角的度数和为220°,则∠BOD的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
12.如图所示,在△ABC中,∠B=50°,若沿图中虚线剪去∠B,则∠1+
∠2等于( )
A.130° B.230° C.270° D.310°
13.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿AC翻折180°,使点B落在点B′位置.在△ABB′中,关于线段AC的性质,不正确的说法是( )
A.AC是边BB′上的中线 B.AC是边BB′上的高
C.AC是∠BAB′的平分线 D.AC=2BC
14.如图所示,在Rt△ADB中,已知∠D=90°,C为AD上的一点,则x可能是( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
15.如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD为BC边上的中线,则△ABD与△ACD的周长之差为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.从n(n>3)边形的一个顶点出发可以引 条对角线,它们将n边形分成 个三角形.
17.若n边形的内角和等于外角和,则n= .
18.如图所示,AB∥CD,EF分别交AB,CD于点G,F,FH⊥AB,垂足为H,若∠1=40°,则∠2等于 .
19.如图所示,已知AD∥BC,∠1=∠2,∠A=112°,且BD⊥CD,则∠ABC= ,∠C= .
三、解答题(共62分)
20.(7分)如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°,那么这个多边形的边数是多少
21.(6分)一副三角板如图所示摆放,以AC为一边,在△ABC外作∠CAF=∠DCE,边AF交DC的延长线于点F,求∠F的度数.
22.(7分)如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点P.
(1)若∠ABC=30°,∠ACB=70°,求∠BPC的度数;
(2)若∠ABC=α,∠BPC=β,求∠ACB的度数.
23.(6分)设a,b,c是△ABC的三边.化简|a+b+c|+|a-b-c|+|c+a-b|.
24.(8分)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,AD与BE相交于点F,BC=13,AC=10,AD=8,求BE的长.
25.(8分)如图(1)所示,在△ABC中,CD是高,若∠A=∠DCB.
(1)试说明∠ACB=90°;
(2)如图(2)所示,若AE是∠BAC的平分线,AE,CD相交于点F.求证:
∠CFE=∠CEF.
26.(8分)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于点E.
(1)若∠B=30°,∠C=70°,求∠EAD的大小.
(2)若∠B<∠C,则2∠EAD与∠C-∠B是否相等 若相等,请说明理由.
27.(12分)小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做如下探究:
(1)[习题回顾]如图(1)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF;
(2)[变式思考]如图(2)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=40°,求∠CEF和∠CFE的度数;
(3)[探究延伸]如图(3)所示,在△ABC中,在AB上存在一点D,使得
∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M,若∠M=35°,求∠CFE的度数.第十一章 三角形
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(A)
A.3 cm,3 cm,4 cm B.7 cm,4 cm,2 cm
C.3 cm,4 cm,8 cm D.2 cm,3 cm,5 cm
2.下列图形中一定能说明∠1>∠2的是(C)
3.下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是(A)
A.由四边形组成的伸缩门 B.自行车的三角形车架
C.斜钉一根木条的长方形窗框 D.照相机的三脚架
4.如图所示,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,DE⊥BC于点E,则下列说法不正确的是(C)
A.在△ABC中,AC是BC边上的高 B.在△BCD中,DE是BC边上的高
C.在△ABE中,DE是BE边上的高 D.在△ACD中,AD是CD边上的高
5.如图所示,AD,BE,CF是△ABC的三条中线,则下列说法错误的是(C)
A.AE=AC B.AB=2BF C.AD=CF D.BD=DC
6.如图所示,直线a∥b,一块含60°角的直角三角板ABC(∠A=60°)按如图所示放置.若∠1=55°,则∠2的度数为(C)
A.105° B.110° C.115° D.120°
7.如图所示,已知一个五边形ABCDE纸片,一条直线将该纸片分割成两个多边形.若这两个多边形内角和分别为m和n,则m+n不可能是(D)
A.540° B.720° C.900° D.1 080°
8.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是(C)
A.BE是△ABD的中线 B.BD是△EBC的角平分线
C.∠1=∠2=∠3 D.BC是△ABE的高
9.在下列条件:①∠A+∠B=∠C,②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,③∠A= 90°-∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图所示,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ACB的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P等于(C)
A.70° B.80° C.90° D.100°
11.如图所示,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于点O.若图中∠1,∠2,∠3,∠4的邻补角的度数和为220°,则∠BOD的度数为(A)
A.40° B.45° C.50° D.60°
12.如图所示,在△ABC中,∠B=50°,若沿图中虚线剪去∠B,则∠1+
∠2等于(B)
A.130° B.230° C.270° D.310°
13.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿AC翻折180°,使点B落在点B′位置.在△ABB′中,关于线段AC的性质,不正确的说法是(D)
A.AC是边BB′上的中线 B.AC是边BB′上的高
C.AC是∠BAB′的平分线 D.AC=2BC
14.如图所示,在Rt△ADB中,已知∠D=90°,C为AD上的一点,则x可能是(B)
A.10° B.20° C.30° D.40°
15.如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD为BC边上的中线,则△ABD与△ACD的周长之差为(A)
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.从n(n>3)边形的一个顶点出发可以引 (n-3) 条对角线,它们将n边形分成 (n-2) 个三角形.
17.若n边形的内角和等于外角和,则n= 4 .
18.如图所示,AB∥CD,EF分别交AB,CD于点G,F,FH⊥AB,垂足为H,若∠1=40°,则∠2等于 50° .
19.如图所示,已知AD∥BC,∠1=∠2,∠A=112°,且BD⊥CD,则∠ABC= 68° ,∠C= 56° .
三、解答题(共62分)
20.(7分)如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°,那么这个多边形的边数是多少
解:设这个多边形的边数为n,根据题意,得
(n-2)·180=360×3+180.
解得n=9.
则这个多边形的边数是9.
21.(6分)一副三角板如图所示摆放,以AC为一边,在△ABC外作∠CAF=∠DCE,边AF交DC的延长线于点F,求∠F的度数.
解:∵∠CAF=∠DCE,∠ACF+∠DCE=90°,
∴∠CAF+∠ACF=90°.
∴∠F=90°.
22.(7分)如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点P.
(1)若∠ABC=30°,∠ACB=70°,求∠BPC的度数;
(2)若∠ABC=α,∠BPC=β,求∠ACB的度数.
解:(1)∠BPC=180°-(∠EBC+∠BCF)
=180°-(∠EBC+∠BCF)
=180°-(180°-∠ABC+180°-∠ACB)
=180°-(180°-30°+180°-70°)
=50°.
(2)∠BPC=180°-(180°-∠ABC+180°-∠ACB)
=(∠ABC+∠ACB),
∵∠BPC=β,∠ABC=α,∴β=(α+∠ACB).故∠ACB=2β-α.
23.(6分)设a,b,c是△ABC的三边.化简|a+b+c|+|a-b-c|+|c+a-b|.
解:根据三角形的三边关系,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得a+b+c>0,a-b-c<0,c+a-b>0.
∴|a+b+c|+|a-b-c|+|c+a-b|
=a+b+c-a+b+c+c+a-b
=a+b+3c.
24.(8分)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,AD与BE相交于点F,BC=13,AC=10,AD=8,求BE的长.
解:∵AD⊥BC,BC=13,AD=8,
∴S△ABC=×BC×AD=×13×8=52.
∵BE⊥AC,AC=10,∴S△ABC=×AC×BE.
∴52=×10×BE.
∴BE=.
25.(8分)如图(1)所示,在△ABC中,CD是高,若∠A=∠DCB.
(1)试说明∠ACB=90°;
(2)如图(2)所示,若AE是∠BAC的平分线,AE,CD相交于点F.求证:
∠CFE=∠CEF.
(1)解:∵在△ABC中,CD是高,∠A=∠DCB,
∴∠CDA=90°.
∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠DCB+∠ACD=90°.
∴∠ACB=90°.
(2)证明:∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE=∠BAE.
∵∠FDA=90°,由(1),得∠ACB=90°,
∴∠DAF+∠AFD=90°,∠CAE+∠CEA=90°.
∴∠AFD=∠CEA.
∵∠AFD=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEA,即∠CFE=∠CEF.
26.(8分)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于点E.
(1)若∠B=30°,∠C=70°,求∠EAD的大小.
(2)若∠B<∠C,则2∠EAD与∠C-∠B是否相等 若相等,请说明理由.
解:(1)∵∠B=30°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.
∵AE是角平分线,∴∠EAC=∠BAC=40°.
∵AD是高,∠C=70°,∴∠DAC=90°-∠C=20°.
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°.
(2)2∠EAD=∠C-∠B.理由如下:
由(1),知∠EAD=∠EAC-∠DAC=∠BAC-(90°-∠C),①
把∠BAC=180°-∠B-∠C代入①,
整理,得∠EAD=∠C-∠B,∴2∠EAD=∠C-∠B.
27.(12分)小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做如下探究:
(1)[习题回顾]如图(1)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF;
(2)[变式思考]如图(2)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=40°,求∠CEF和∠CFE的度数;
(3)[探究延伸]如图(3)所示,在△ABC中,在AB上存在一点D,使得
∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M,若∠M=35°,求∠CFE的度数.
(1)证明:∵∠ACB=90°,CD是高,∴∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB =90°.
∴∠B=∠ACD.
∵AE是角平分线,∴∠CAF=∠DAF.
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B,∴∠CEF=∠CFE.
(2)解:∵∠B=40°,∠ACB=90°,
∴∠GAD=∠B+∠ACB=40°+90°=130°.
∵AF为∠BAG的平分线,∴∠GAF=∠DAF=×130°=65°.
∵CD为AB边上的高,∴∠ADF=90°.
∴∠CFE=90°-∠DAF=90°-65°=25°.
又∵∠CAE=∠GAF=65°,∠ACB=90°,
∴∠CEF=90°-∠CAE=90°-65°=25°.
(3)解:∵C,A,G三点共线,AE,AN为角平分线,
∴∠EAN=90°,∠EAB=∠EAC,
∴∠MAE=∠CAM+∠CAE=90°.
∴∠M+∠CEF=90°.
∵∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE.
∴∠M+∠CFE=90°.
∴∠CFE=90°-∠M=90°-35°=55°.
