2.3线段长短的比较 冀教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.3线段长短的比较冀教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，点、分别是线段上两点，用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为( )
A. B. C. D.
2.把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是( )
A. 过一点有无数条直线 B. 两点确定一条直线
C. 两点之间线段最短 D. 线段是直线的一部分
3.在直线上任取一点，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.如图，已知、两个城镇之间有两条线路，线路：隧道公路线段；线路：普通公路折线段，我们知道，线路的路程比线路的路程小；理由既可以是两点之间，线段最短，还可以是
A. 垂线段最短 B. 直角三角形，斜边大于直角边
C. 两点之间，直线最短 D. 三角形两边之和大于第三边
5.为了比较线段与的大小，小明将点与点重合使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上，则( )
A. B. C. D. 以上都有可能
6.如图，已知点为线段的中点，为的中点，现给出下列结论：，，，，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
7.如图，在边长为的菱形中，，点是边的中点，点是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图，矩形中，，，点为平面内一点，且，点为上一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，圆心为的动圆经过点且始终与轴相切，切点为，与轴交于点，连接、、则有个结论：
；
；
；
其中正确的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
10.小王准备从地去往地：如图，导航提供的三条可选路线长分别为、、但实际、两地之间的距离为请你试着说明“导航提供的三条路线长度都大于”这一现象的数学知识是( )
A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 两点之间，直线最短 D. 两点确定一条直线
11.如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，点到直线的距离是，则可求得的度数是，其依据可从下列条件中选择：角的平分线的定义；角的平分线的性质；角的平分线的判定；点到直线的距离的定义；两点之间，线段最短则下列选择正确的是( )
A. B. C. D.
12.如图，，两个村庄在一条河不计河的宽度的两侧，现要建一座码头，使它到，两个村庄的距离之和最小，如图中的点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是( )
A. 两直线相交只有一个交点 B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短 D. 经过一点有无数条直线
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.在一条可以折叠的数轴上，，表示的数分别是，，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是________．
14.如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，是点关于点的对称点，则点表示的数为 ．
15.延长线段至点，使得，点为线段的中点，且，则的长是______．
16.如图已知，若想求得图中所有线段长度和，只需知道图中的线段______；此时所有线段长度和为______用第一空线段表示．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，．
若求；
若为上一点，满足，请说明：点是线段的中点．
18.本小题分
如图，已知、、三点在同一条线段上，是线段的中点，是线段的中点，且，求线段的长．
19.本小题分
如图，已知线段，在的延长线上取一点，使，在的反向延长线上取一点，使．
尺规作图：根据题意作出图形；
设，求线段的长．
20.本小题分
在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”例如：和都有公共顶点和一条公共边，所以这两个角是“共边角”．
【问题解决】：
当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是______，这两个“共边角”的平分线的夹角度数为______
若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是直角，则这两个角的平分线的夹角度数为______
若、分别平分“共边角”和，试猜想与的关系，并以图或图为例说明理由．
【知识迁移】：
在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”例如：和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”若两条“共端点线段”的长度分别为和，则这两条线段的中点之间的距离为______．
21.本小题分
如图，点、在线段上，．
若点是线段的中点，求的值；
若，求的值；
若线段上有一点不与点重合，，求的长．
22.本小题分
如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．
求点，对应的数；
动点，同时从，出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度沿数轴正方向运动．为的中点，在上，且，设运动时间为秒．
求点，对应的数用含的式子表示；
为何值时，？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．由作图可得点和点分别是、的中点，再根据线段中点的定义可得答案．
【解答】
解：，，点与点恰好重合，
点和点分别是、的中点，
，，
，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，利用线段的性质是解题关键．
根据线段的性质，可得答案．
【解答】
解：把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是两点之间线段最短，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，在点同侧时如图，
是的中点，是的中点，
，，
；
，在点两侧时如图，
是的中点，是的中点，
，，
．
综上：与之间距离为或，
故选：．
画出图形，得出两种情况，分别求出和长，即可求出答案．
本题考查了求两点之间距离的应用，注意要进行分类讨论．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是线段的性质，三角形三边关系有关知识，根据三角形三边的关系即可得出答案
【解答】
解：线路的路程比线路的路程小；理由既可以是两点之间，线段最短，还可以是三角形两边之和大于第三边
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线段的长短比较，
根据线段的长短比较，点与点重合使两条线段在一条直线上，点在的延长线上，可得答案．
【解答】
解：由点与点重合使两条线段在一条直线上，点在的延长线上，得．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：点为线段的中点，为的中点，
，
，，故正确；
，
，故正确；
，
，故正确；
故选：．
先由线段中点的定义得到，则，，即可判断；根据即可判断；根据即可判断．
本题主要考查了两点间的距离，解答本题的关键是熟练掌握两点间的距离公式．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了菱形的性质，翻折变换，勾股定理以及含角的直角三角形性质，得出点位置是解题关键过点作交的延长线于点，根据题意，在的运动过程中在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时、、三点共线，得出的位置，进而利用勾股定理和含角的直角三角形性质即可求出的长．【解答】
解：如图所示：是定值，长度取最小值时，即在上，
过点作交的延长线于点，
在边长为的菱形中，，为中点，
，，
，
，
，，
，
．
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等有关知识，，由已知得点在以为圆心，为半径的上，延长到，使，连接，连接交于点，推出的最小值为，再根据勾股定理求出的长即可解决问题．
【解答】
解：点为平面内一点，且，
点在以为圆心，为半径的上，
延长到，使，连接，连接交于点，
四边形是矩形，
垂直平分，
，
，
的最小值为，
在中，
，，
由勾股定理，得，
的最小值为
9.【答案】
【解析】解：连接，，
则有，
，，
，整理得：，故正确；
，
轴，
，
，故正确；
延长交于点，连接，
，
，
，
为直径，
，
在中，由勾股定理得：，
，故正确；
综上正确，共个，
故选：．
连接，，延长交于点，连接，则，根据两点间的距离得判断；由轴得即可判断；由圆周角定理即可判断．
此题考查了圆周角定理，两点间的距离和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是线段的性质的有关知识，根据线段的性质：两点之间、线段最短即可解答．
【解答】
解：“导航提供的三条路线长度都大于”这一现象的数学知识是两点之间，线段最短
11.【答案】
【解析】解：作于，于，
点是内一点，平分，于点，，
，
点到直线的距离是，
，
，
点在的角平分线上，
．
故选：．
点到直线的距离的定义作于，于，根据角平分线的定义，利用角平分线的性质即可求得，利用角的平分线的判定得到是的角平分线，即可求得的度数是．
本题主要考查了角的平分线的判定与性质，点到直线的距离，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
利用线段的性质解答即可．
【解答】
解：图中所示的点即为所求的码头的位置，这样做的理由是两点之间，线段最短．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查数轴，解决此题的关键是能利用数轴的对折找到距离相同的点．先根据折叠得出折叠后的点表示的数，再根据折叠的特点可得点表示的数．
【解答】
解：由题可知，折叠后的点表示的数为，
所以数与数到点的距离相等，
所以折叠后的点到点的距离是，
所以点表示的数应为：，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．
先根据已知条件可以确定线段的长度，然后根据点、点关于点对称，设设点所表示的数为，列出方程即可解决．
【解答】
解：设点所表示的数为，
数轴上、两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点，
，，
根据题意，
，
解得．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：如图，
为的中点，且，
，
，，
，
．
故答案为：．
根据线段中点的定义，由为的中点，可得到，由于，而，则，解方程即可求出的长度．
本题考查与线段中点有关的计算，正确进行计算是解题关键．
16.【答案】的长度
【解析】解：，以、、、、这个点为端点的所有线段的和为：
，
若想求得图中所有线段长度和，只需知道图中的线段的长度；此时所有线段长度和为．
故答案为：的长度；．
找出图中以、、、、这个点为端点的所有线段，求出所有线段的和即可．
本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
17.【答案】解：为中点，，
，
为中点，，
，
．
为中点，，
，
，
，
，
为中点，
．
，
，
为中点．
【解析】根据线段中点的性质得出，，进而根据即可求解；
根据线段中点的性质，分别表示出，，得出，即可求解．
本题考查了线段的和差，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
18.【答案】解：是线段的中点，是线段的中点，
，，
．
【解析】据线段中点的概念分别求出、，结合图形计算即可．
本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的性质是解题的关键．
19.【答案】解：如图：点、即为所求；
，，
，
，

【解析】根据线段的和差作图；
根据线段的和差求解．
本题考查了复杂作图，掌握线段的和差是解题的关键．
20.【答案】或 或 或 或
【解析】解：如图，，，
则，
；
如图，，，
，
；
故答案为：或，或；
、分别是，的平分线，，如图，
、分别是，的平分线，
，，
，
，
；
如图，
、分别是，的平分线，
，，
，
，
；
故答案为：或；
我选择图：
猜想：．
理由如下：
、分别平分和，
，，
，
，
；
我选择图：
猜想：．
理由如下：
、分别平分和，
，，
，
；
当点位于点、间时，如图，，，
，
；
当点位于点、间外，如图，，，
，
；
故答案为：或．
分的角在的内部和外部两种情况求解即可；
分两种情况求解即可；
利用角平分线性质分图或图分别说明；
分点位于点、间和点位于点、外两种情况求解即可．
本题考查了新定义，以及角平分线的有关计算，根据题意画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
21.【答案】解：设，，则．
是中点，
，
，即．
，即，
，
，即．
设，，
，
，即．
【解析】设，，则．
根据构建方程即可解决问题；
根据，构建方程即可解决问题；
设，根据，构建方程即可解决问题；
本题考查两点间距离，线段的中点、线段的和差定义等知识，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键，学会利用参数构建方程解决问题．
22.【答案】【小题】
对应的数是，对应的数是；
【小题】
，，
是的中点，，
，，
点所对应的数是，点所对应的数是；
由题意，知，
则，
解得或，
当秒或秒时，．

【解析】 见答案
见答案
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