2.7角的和与差 冀教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.7角的和与差冀教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点在直线上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.已知：，，且的补角等于的余角，则下列结论一定正确的是( )
A. 是锐角 B. 是钝角 C. D.
3.如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，则下列结论中正确的个数( )平分；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点图中所有角均指小于的角下列结论：其中正确结论的个数有( )
；
；
；
．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
5.如图，，点，分别在，上运动不与点重合，平分，的反向延长线与的平分线交于点，在，的运动过程中，的度数( )
A. 变大 B. 变小 C. 等于 D. 等于
6.如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则
A. B. C. D.
7.如图，在中，平分，于点，交的延长线于点已知，，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知直线，平分，，则的度数是
A. B. C. D.
9.如图，为的平分线，下列等式错误的是．( )
A. B.
C. D.
10.如图，为直径，，，平分，则( )
A. B. C. D.
11.如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：，，，的面积，其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 __．
14.如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：平分；；与互余的角有个；若，则其中正确的有____把你认为正确结论的序号都填上
15.如图，在的内部有条射线、、，若，，，则 用含的代数式表示
16.如图，在中，是三角形角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为_______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
数学小组学完角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论．
如图，射线固定位置，，平分，平分．
知识再现：
______；
探究升华：
将图中的绕点旋转，当旋转到图位置时，的结论是否成立？若成立？请说明理由；
将图中的绕点旋转一周，当时，求的度数．
18.本小题分
已知，，，，分别是内的射线．
如图，若平分，平分，，则 ______；
如图，若平分，平分，求的度数；
如图，是内的射线，若，平分，平分，当射线在内时，求的度数．
19.本小题分
如图，，，平分求的度数．
20.本小题分
如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中与互余
在哪种摆放方式中与互补在哪种摆放方式中与相等
21.本小题分
如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，平分，且．
判断的形状并说明理由；
平分交于点，若，求的度数．
22.本小题分
如图，在中，，是的角平分线，，垂足为求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查角的计算，邻补角的性质，正确求出是解题的关键．
根据已知条件求出，再根据邻补角的性质求解即可．
【解答】
解：．，
，
，
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键．
根据余角和补角的定义进行判断即可．
【解答】
解：的补角：；
的余角：
则
则
则是钝角，是锐角，，没有互补的关系．
则C正确．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线，全等三角形的性质，直角三角形全等的判定，角平分线的性质有关知识，过作于，根据角平分线的性质得出，，求出，求出，根据全等三角形的判定得出≌，≌，再逐个判断即可．
【解答】
解：过作于，
、的角平分线、交于点，，，
，，
，
在的角平分线上，即平分，故正确；
，，，
，，
在和中，
≌，
，
同理≌，
，
，
，
，
，故正确；
平分，平分，
，
又，
，
，故正确；
≌，≌，
，故正确；
即正确的个数是．
4.【答案】
【解析】解：，
，
而，
，所以正确；
，所以正确；
，
而，所以不正确；
平分，
，
而，
，即点、、共线，
，
，所以正确．
综上所述，正确的有共个．
故选：．
由根据等角的余角相等得到，而，即可判断正确；
由，而，即可判断，确；
由，没有，即可判断不正确；
由平分得，由得，根据周角的定义得到，即点、、共线，又，即可判断正确．
本题考查了角度的计算：周角，平角，等角的余角相等．也考查了角平分线的定义．
5.【答案】
【解析】平分，平分，
，．
又是的外角，
，
即，
又是的外角，
，
，
．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、补角的定义以及三角形的内角和定理，难度适中．根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．
【解答】
解：是中的平分线，是的外角的平分线，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质有关知识，由，，根据三角形内角和等于，可得的度数，因为平分，从而可得的度数，进而求得的度数，由，可得的度数，从而求得的度数．
【解答】
解：，，．
，
平分，
，
，
又，
，
．
．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：，
，
平分，
，
，
．
故选：．
由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．
本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．根据角平分线定义即可求解．
【解答】
解：为的平分线，
，，．
故选C．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆周角定理，勾股定理等知识的综合运用．
连接，由圆周角定理可得，利用勾股定理可求解的长，由角平分线的定义可得，即可得为等腰直角三角形，进而可求解的长．
【解答】
解：连接，
为直径，
，
，，
，
，
平分，
，
劣弧，
即为的中点，
，
，
故选C．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
故正确；
，
，
，
，
故正确；
作于，作交的延长线于，
则，
，
，
，
，
故错误；
的面积，
故错误；
故选：．
根据正方形的性质和平角的定义可求；
根据正方形的性质可求，再根据线段的和差关系可求的长；
作于，作交的延长线于，根据含的直角三角形的性质可求，根据勾股定理可求，，即可求解；
根据三角形面积公式即可求解．
考查了正方形的性质，含的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．
12.【答案】
【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出，由垂线的定义得出，即可得解．
本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的性质，关键是平行性性质的熟练掌握．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，属于中档题．
证明，得，进而根据三角形内角和定理得结果．
【解答】
解：平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
求出，，求出，根据角平分线的定义即可判断；根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定即可判断；根据余角的定义即可判断；根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，即可判断．
【解答】
解：，
，
，，
平分，
，
，
即平分，故正确；
，
，
平分，
，
，
，
，故正确；
与互余的角有，，，，共个，故错误；
，，
，
，
，
，
，
，故正确；
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
根据角的和差可求得，进而可求解．
本题主要考查角的计算，利用角的和差转化求角的度数是解题的关键．
【解答】
解：因为，
所以，
因为，，
所以．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】
解：连接，
，
，
，
是三边垂直平分线的交点，
，，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
17.【答案】
【解析】解：如图：
平分，
，
平分，
，
，
即：，
，
；
故答案为：；
成立，理由如下：
平分，平分，
，，
；
故结论仍成立；
设，则，
如图，，
，
，
，
如图，
，
，
，
．
答：的度数为：或．
由角平分线得到，，结合图形，得到结果；
根据图，同样利用角平分线的关系，得到角的关系，结合图形，得到结果；
根据条件，，设，列出方程，求出的度数，根据图、图两种情况，分别计算的度数即可．
本题考查了角平分线的定义及应用，以及根据图形，结合角度的计算，得到结果，关键是能要结合图形的变换，分辨出角与角之间的关系．
18.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
故答案为：．
平分，平分，
，，
，
．
设，则，
平分，平分，
，，
．
求出即可求解；
根据，，即可求解；
结合中的推理过程即可求解．
本题考查了角平分线的有关计算，旨在考查学生的举一反三能力，正确找到各角度之间的和差关系是解题关键．
19.【答案】解：，，
，
又平分，
，
，
的度数是．
【解析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．由角平分线的定义，结合角的运算，易求的度数．
20.【答案】解：根据平角的定义得：
，
，
即与互余
根据两个直角的位置得：
根据三角尺的特点和摆放位置得：
，，
根据图形可知与是互补，
答：中与互余中与互补中，．
【解析】本题考查了余角和补角的定义仔细观察图形，弄清两个角的关系是解题的关键．
根据每个图中的三角尺的摆放位置，容易得出和的关系．
21.【答案】解：是等腰三角形；
理由：平分，
，
，
，，
，
，即是等腰三角形；
，
，
平分，
，
，
．
【解析】由平分得到，由得到，，从而，根据“等角对等边”即可证得，即是等腰三角形；
由可求得，再根据角平分线的定义求得，根据即可求得．
本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22.【答案】证明：是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
：：，
．
【解析】本题考查了三角形相似的判定及性质，同时也考查了对顶角相等这样性质．
若要证明则问题可转化为证明比例线段所在的三角形相似即可，即∽．
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