2.8平面图形的旋转 冀教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.8平面图形的旋转冀教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则点与点之间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到是点的对应点，若，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.在中，，点为中点．，绕点旋转，、分别与边、交于，两点．下列结论：
，始终为等腰直角三角形，
，
．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在扇形中，，，为的中点，将扇形绕点顺时针旋转得到扇形，连接，当时，阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，把含的直角三角板绕点顺时针旋转至如图，使在上，延长交于，若，则的长为
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，过点作直线交射线，于点，对于结论：若点与点重合，则；线段长度的最小值是下面判断正确的是( )
A. 和都对 B. 和都不对 C. 不对，对 D. 对，不对
9.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，若，，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，直线过等边的顶点，连接、，，，若：：，时，则 ______．
14.将等腰直角三角板绕点顺时针方向旋转得到，若，则阴影部分的面积为______．
15.如图，在中，，，，将它绕着的中点顺时针旋转一定角度小于后得到，恰好使，与交于点，则的长为______．
16.如图，为矩形的对角线，，，把绕点旋转，点的对应点为点，当时，的长为______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点均在网格线的交点上以点为旋转中心将按顺时针方向旋转，得到，请画出并求旋转过程中的长度．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、．
按下列要求作图：
将向左平移个单位，得到；
将绕点逆时针旋转得到得到；
求点从开始到点的过程中所经过的路径长．
19.本小题分
在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，的顶点在网格线的交点上，点的坐标为．
画出向上平移个单位长度得到的，并写出点的对应点的坐标；
画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出点的对应点的坐标．
20.本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度．
按要求作图：
画出关于原点的中心对称图形；
画出将绕点顺时针旋转得到．
按照中作图，回答问题：若为边上一点，则点对应的点的坐标为______．
21.本小题分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上．
将绕点顺时针旋转得到，画出F.
若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
22.本小题分
课堂上，老师在平面直角坐标系中画出了，且的三个顶点，，均在边长为的正方形网格的格点上，如图所示．
请你按照老师的要求解答下列问题：
作出绕点顺时针旋转后的，并直接写出点的坐标．
作出以点为位似中心，的位似图形，使与的位似比为：，且与位于点的两端．
点，之间的距离为______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，连接，
在中，，，，
，
，
，
是由绕点按逆时针方向旋转所得，
，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
是等边三角形，
．
故选：．
连接，则长度即为所求，根据直角三角形角所对直角边等于斜边的一半，求出的值，再利用勾股定理求出的值，然后根据旋转的性质证明是等边三角形，再证，证得是等边三角形即可得出答案．利用勾股定理求出的值．
本题考查了含角的直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形判定“有一个内角是度的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形是解本题关键．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
由已知，绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
故选：．
利用旋转前后对应角相等的性质求角度即可．
本题考查旋转图形的性质、等腰三角形的性质和平行线的性质，解答过程中利用旋转前后对应角相等的性质求角度是解题关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，再利用平行线的性质得到，然后计算即可．
【解答】
解：绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：由旋转的性质可知，，
，
为等边三角形，
，
，
故选A．
根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
，点为中点，，
，，，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，，．
，
，
．
，
．
，，
，
，故正确；
，，
始终为等腰直角三角形，故正确；
，
，
又，
，故正确；
，，
，
又，
，故正确；
正确的有．
故选A．
连接根据等腰直角三角形的性质，就可以得出≌，根据全等三角形的性质得出，进而得出，就有，再由勾股定理就可以求出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理以及三角形的面积公式的运用，根据证明≌是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：连接．
，
，
，
为的中点，，
，
根据旋转的性质，得，
是等边三角形，
，，
，
，
点、、共线．
设与交于点，
则．
过点作，交于点．
，
，
阴影部分的面积为．
故选：．
连接，根据平行线的性质和旋转的性质证明是等边三角形，从而证明点、、共线；设与交于点，根据扇形面积公式求出扇形的面积；过点作，交于点，由三角形函数求出，根据三角形面积公式求出的面积，再根据“阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可．
本题考查扇形面积的计算、平行线和旋转的性质，掌握平行线和旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查旋转的基本性质及线段垂直平分线的性质和勾股定理及含角的直角三角形的性质，连接，旋转的基本性质得到，含的直角三角板中，，得到，由，得到，，进而得到，，再利用勾股定理求得
【解答】
解：连接
把含的直角三角板绕点顺时针旋转至如图
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选C
8.【答案】
【解析】解：如图，
将绕点逆时针旋转得到，
，
，
的度数为，
；故结论正确；
取中点，连接，如图，
点是斜边的中点，
，
即的值最小时，有最小值，
当点与点重合时，的值最小，
的最小值为，
结论正确．
故选：．
由旋转的性质得出，求出的度数为，可判断结论正确；
由直角三角形的性质可得，即的值最小时，有最小值，即可判断结论．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，
由旋转的性质可知≌，
，，
，
，
，
设，，
作，则，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由≌，得到，设，，作，则，根据勾股定理可得，进而可求．
本题主要考查全等三角形的性质，勾股定理的应用、配方法最值的判断，正确作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据图形旋转的性质可知，
．
故选：．
根据图形旋转的性质可知，据此即可求得答案．
本题考查了旋转的性质，解题的关键是明确旋转角的意义，对应边旋转后的夹角等于旋转角．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形、扇形的面积，旋转的性质，勾股定理等知识点的应用，解此题的关键是把求不规则图形的面积转化成求规则图形如三角形、扇形的面积．
解直角三角形得到，，根据旋转推出的面积等于的面积，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：在中，，，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
的面积等于的面积，，，，
，
阴影部分的面积
．
故选D．
12.【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，
由折叠的性质可知，，，
是等腰三角形，
，
，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
延长交于点，由折叠的性质可知，，，再由等腰三角形的性质，得到，，进而得出，进而证明是等边三角形，得到，即可求出的面积．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，证明出是等边三角形是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：将绕逆时针旋转到，与重合，延长交于，过作于，交于，
，
，
，
由旋转得：，
中，，
，
，
：：，
设，，则，
，
，
中，，
由旋转得：，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
在中，；
故答案为：．
作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，由旋转得：，，根据：：，设，，则，根据三角函数表示、、、的长，根据列式求的长，得，在中，利用勾股定理求得的长．
本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形、特殊的三角函数等知识的运用，熟练掌握特殊角的三角函数值，巧妙运用旋转作辅助线，利用等边三角形角将三角形平移到另一位置中，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半解决此题．
14.【答案】
【解析】解：是等腰直角三角形，
，，
将等腰直角三角板绕点顺时针方向旋转得到，
，，，
，
设，交于，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
设与交点为，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质求出，，然后求出，再根据直角三角形角所得到直角边等于斜边的一半可得，然后利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，过点作，
在中，，，，
，
将绕着的中点顺时针旋转一定角度小于后得到，
，，，
，
，且，
四边形是矩形，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作，可证四边形是矩形，可得，通过证明∽，可得，可求，即可求解．
此题主要考查旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
16.【答案】或
【解析】解：四边形是矩形，
，，
当，且点在上方时，连接，过点作，交于点，
，
，
，即：，
设，，
根据旋转的性质，，
在中，，即：，解得：，
，，，
在中，，
当，且点在下方时，连接，过点作，交延长线于点，
，
，
，即：，
设，，
根据旋转的性质，，
在中，，即：，
解得：，
，，，
在中，，
故答案为：或．
分点在上方，和点在下方两种情况讨论，由，得到，，在中，求出，的长，当点在上方时，，当点在下方时，，中，根据勾股定理，即可求解．
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：分情况讨论．
17.【答案】解：如图：即为所求：
的半径，
的弧长．
【解析】根据旋转的性质，画出图形即可，再根据弧长公式计算即可．
本题考查了作图旋转变换，弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握旋转变换的性质．
18.【答案】解：如图，为所作；
如图，将为所作；
从点到所经过的路径长为，
从点到所经过的路径长，
所以点从开始到点的过程中所经过的路径长为．
【解析】本题考查了作图平移变换，作图旋转变换，弧长公式，坐标与图形的性质．
利用点平移的坐标规律写出点、、的坐标，然后描点即可得到；
利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点、、，从而得到；
计算线段的长和弧的长即可．
19.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；
如图，为所作；点的坐标为．

【解析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
利用点平移的坐标变换规律写出点、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点、、即可．
20.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
由图形可得：的坐标为，
故答案为：．
找出点、、关于原点的对称点的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构以及平面直角坐标系的特点，找出点、绕点顺时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可；
由图形再根据平面直角坐标系的特点写出点的坐标即可．
本题考查了作图旋转变换，熟悉网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：如图所示，即为所求．
如图所示，点即为所求，其坐标为．
分别作出点、绕绕点顺时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可；
根据旋转变换的性质可确定旋转中心．
本题主要考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
22.【答案】解：如图，为所作，点点的坐标为；
如图，为所作．．

【解析】【分析】
本题考查了作图位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
延长到使，延长到使，从而得到；
利用勾股定理计算的长度．
【解答】
解：见答案；
点，之间的距离．
故答案为．
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