3.3数量之间的关系 冀教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.3数量之间的关系冀教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.苯是一种石油化工基本原料，其产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一，如图，小明用根相同的木棒搭建的第个图形就是类似于苯的结构简式，他继续用相同的木棒搭建与苯有关联的各个图形，按此规律，用含的式子表示搭建第为正整数个图形所需木棒的根数( )
A. B. C. D.
2.用同样大小的黑色棋子，按如图所示规律摆放：
则第个图形有多少颗黑色棋子？( )
A. B. C. D.
3.按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要根小棒，搭两个小正方形需要根小棒，搭个这样的小正方形需要的小棒根数是( )
A. B. C. D.
4.如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，，照此规律，摆成第个图案需要的三角形个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.将从开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是( )
A. B. C. D.
6.我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：，系数为；
，系数分别为，；
，系数分别为，，；
，系数分别为，，，；
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是( )
A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期天
7.用大小相同的按如图所示的规律拼图案，其中第个图案用了个，第个图案用了个，第个图案用了个，第个图案用了个，，按此规律排列下去，则第个图案中用的个数为( )
A. B. C. D.
8.大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，则分裂出的奇数中最大是( )
A. B. C. D.
9.若，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图中的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有个五角星，第个图形共有个五角星，第个图形一共有个五角星，，则第个图形中五角星的个数为( )
A. B. C. D.
11.已知一列数：，，，，，，，，将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第行从左边数第个数是( )
A. B. C. D.
12.观察下面一列数：，，，，，，将这列数排成下列形式：照上述规律排下去，则第行中左边第个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.观察下列一组数：，它们是按照一定的规律排列的，用代数式表示第个数是______．
14.园林设计师为公园设计了种植月季花的正方形造型：最外层种黄花，用表示；里面种红花，用表示请你观察如图，当红花列数为时，红花有______朵，黄花有______朵
15.如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组的，第行有个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第行第个数为______．
16.如图，用形状大小相同的菱形组成一组有规律的图案，其中第个图案中有个菱形；第个图案中有个菱形；第个图案中有个菱形；按此规律排下去，第个图案中有______个菱形用含的代数式表示
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
当你记不住九九乘法表中乘的口诀是，你可以进行如下的操作：例如，伸出两只手，做运算时，如图，从左手开始数下，数到第根手指向下弯这时，如图该手指左边有根手指，右边有根手指，可得，即类似的，做运算时，从左手开始数下，数到第根手指向下弯，这时，该手指左边有根手指，右边有根手指，可得，即
在计算时，从左手开始数，数到第______根手指向下弯下，这时，该手指左边有______根手指，右边有______根手指；
将问题一般化，我们可以解决，且为整数的问题从左手开始数下，数到第根手指向下弯，此时该手指左边有______根手指，右边有______根手指，由此即可得 ______；
小郭同学在研究的过程中发现，若是一个特殊两位数时，如，，等，当这样的两位数与相乘时，也能够通过指算法求解如图是的指算法过程，假设是这个两位数的个位数字，请用含有的等式表示上述规律，并说明它的正确性．
18.本小题分
观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______．
写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并证明．
19.本小题分
如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第个图形由个正方形组成．
图形标号
火柴棒根数 ______ ______ ______
按图示规律填表：
按照这种方式拼下去，则拼第个图形需要火柴棒的根数为______；含的代数式表示
按照这种方式拼下去，用中的代数式求第个图形需要的火柴棒根数．
20.本小题分
下列是小朋友用火柴棒拼出的一组图形：
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
第四个图中共有______根火柴棒，第六个图中共有______根火柴棒；
按照这样的规律，第个图形中共有______根火柴棒用含的代数式表示；
按照这样的规律，第个图形中共有多少根火柴棒？
21.本小题分
把正整数，，，，，排列成如图所示的一个表．
用一正方形在表中随意框住个数，把其中最小的记为，另三个数用含的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______．
当被框住的个数之和等于时，的值是多少？
被框住的个数之和能否等于？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由．
22.本小题分
观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
请解答下列问题：
按以上规律列出第个等式： ______ ______；
用含有的代数式表示第个等式： ______ ______为正整数；
求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：第个图形有：，
第个图形有：，
第个图形有：，
第个图形有：根，
故选：．
根据前个图形总结规律：第个图形有根．
本题考查了规律型图形类规律与探究，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由所给图形可知，
第个图形中黑色棋子的个数为：；
第个图形中黑色棋子的个数为：；
第个图形中黑色棋子的个数为：；
，
所以第个图形中黑色棋子的个数为个，
当时，
个，
即第个图形中黑色棋子的个数为个．
故选：．
根据所给图形，依次求出图形中黑色棋子的个数，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发下你黑色棋子的个数依次增加是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：搭个小正方形需要根小棒，
搭个小正方形需要根小棒，
搭个小正方形需要根小棒，
，
搭个小正方形需要根小棒，
搭个这样的小正方形需要根小棒．
故选：．
根据给出的图形，抽象概括出数字规律，利用规律进行计算即可．
本题考查了规律型：图象的变化，解题关键是要发现各个正方形的联系，找出其中的规律．
4.【答案】
【解析】解：第个图案有个三角形，即，
第个图案有个三角形，即，
第个图案有个三角形，即，
，
按此规律摆下去，
第个图案有个三角形．
第个图案有个三角形．
故选：．
根据图形的变化发现规律，即可用含的代数式表示．
本题考查了规律型图形的变化类、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
5.【答案】
【解析】解：第行的第一个数字：，
第行的第一个数字：，
第行的第一个数字：，
第行的第一个数字：，
第行的第一个数字：，
，
设第行的第一个数字为，得，
设第行的第一个数字为，得，
设第行，从左到右第个数为，
当时，
，
，
为整数，
，
，
，
表示的有序数对是．
故选：．
分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．
本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．
6.【答案】
【解析】解：，
可有，
的余数为，
即的余数为，
若今天是星期三，则经过天后是星期四．
故选：．
结合一个星期天，利用所给规律求得天的尾数，即可获得答案．
本题主要考查数字类规律探索，解题关键是理解题意，求得的余数．
7.【答案】
【解析】解：第个图案的个数为：，
第个图案的个数为：，
第个图案的个数为：，
，
第个图案中的个数为：，
第个图案的个数为：．
故选：．
由所给的图形可得到第个图案中的个数为：，从而可求解．
本题考查了规律型：图形的变化类，正确地推出第个图案中用的个数为是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现所分裂成连续奇数的个数及最中间一个或两个数平均数的大小是解题的关键．
根据题中所给等式，发现等式右边连续奇数的个数与左边的底数相同，且等式右边中间两个数的平均数或一个数为左边底数的平方，据此可解决问题．
【解答】
解：由题知，
等式右边连续奇数的个数与左边的底数相同，
所以可分裂成连续个奇数的和．
又因为等式右边最中间一个或两个奇数的平均数为左边底数的平方，
所以所分裂成的个奇数最中间一个奇数为：，
则，
即分裂出的奇数中最大是．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：当时，．
故应选：．
把代入，发现规律即可得．
本题主要考查了数字变化的规律，解题关键是找到规律并正确应用．
10.【答案】
【解析】解：第个图形一共有个五角星，
第个图形一共有：个五角星，
第个图形一共有个五角星，
，
第个图形一共有：
，
，
则第个图形一共有：
个五角星；
故选：．
先根据题意求找出其中的规律，即可求出第个图形中五角星的个数．
本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：第行：
第行：，
第行：，，
第行：，，，
第行：，，，，
第行第一个数为，
第行，，，．
故选：．
分析可知第行有个数，此行的第一个数的绝对值为；且奇数时为正，偶数时为负，先判断第行第一个数按规律写出第个数即可．
本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：通过观察，第行数最后一个数是，
第行数最后一个数是，即，
第行数最后一个数是，即，
，
第行数最后一个数是，即，
第行数的第一个数是，
故选：．
根据观察，可发现：第行数的最后一个数为，可得答案．
本题考查了规律型，发现规律：第行数的最后一个数为，是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：观察可知，第个数的分子为，分母为，
因此第个数是．
故答案为：．
观察可知：分子为连续奇数，分母为连续平方数，由此可解．
本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出分子和分母的变化规律是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：第个图形中红花的朵数是，黄花的朵数是，
第个图形中红花的朵数是，黄花的朵数是，
第个图形中红花的朵数是，黄花的朵数是，
第个图形中红花的朵数是，黄花的朵数是，
，
所以，第个图形中红花的朵数是，黄花的朵数是，
故答案为：，．
观察图形不难发现，红花数为相应红花列数的平方，再求出各个图形中黄花的数，并找出规律写出黄花的朵数．
本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，找到变化规律并写出第个图形中的表达式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意得：第行第一个数为，第个数为；
第行第一个数为，第个数为．
每个数是它下一行左右相邻两数的和，
第行第个数为：．
故答案为：．
观察图中三角形的数阵，易得第行第一个数为，第二个数为：，分别得到第行和第行的前两个数，根据每个数是它下一行左右相邻两数的和可得第行第个数．
本题主要考查了数字的变化规律．理解第行第个数等于第行第个数减去第行第个数是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：第个图案中有个菱形，
第个图案中有个菱形，
第个图案中有个菱形，
按此规律排下去，
第个图案中有个菱形，
故答案为：．
根据图形规律求得第个图案中有个菱形．
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中菱形个数的变化规律．
17.【答案】
【解析】解：在计算时，从左手开始数，数到第根手指向下弯下，这时，该手指左边有根手指，右边有根手指，
故答案为：，，．
从左手开始数下，数到第根手指向下弯，此时该手指左边有根手指，右边有根手指，
由此即可得，
故答案为：，，．
由题意得：这个两位数的十位数字为，
则这个两位数为，
计算，且为整数的问题，从左手开始数下，数到第根手指向下弯，此时该手指左边有根手指，右边有根手指，由此即可得，
说明它的正确性的过程如下：
，，
．
根据题中的操作求解即可得；
根据题中的操作求解即可得；
先求出这个两位数的十位数字为，则这个两位数为，再参照图分析出计算，且为整数的问题，然后利用整式的加减法进行验证即可得．
本题考查了整式加减法的应用，读懂手指的操作方法是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：由题意得，第个等式为，
故答案为：；
第个等式为，证明如下：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
，
以此类推，第个等式为，
左边，
左边等于右边，
第个等式为．
通过题干中的式子，进行推理求解即可；
观察可以得到规律第个式子右边为，右边为，把等式左边的式子利用完全平方公式去括号，然后合并同类项，看是否和右边的式子相等即可得到结论．
本题主要考查了数字类的规律、有理数的混合运算、列代数式，正确理解题意找到规律是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：第个图形中，火柴棒的根数是；
第个图形中，火柴棒的根数是；
第个图形中，火柴棒的根数是；
填表如下；
图形标号
火柴棒根数
每增加一个正方形火柴棒数增加，
第个图形中应有的火柴棒数为：；
故答案为：；
当时，解得：．
答：第个图形需要的火柴棒根数为根．
根据图形列出算式，求出即可；
根据的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正方形火柴棒数增加个，则第个图形中应用的火柴棒数为．
将代入求解即可．
本题考查了图形类规律探索题，根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，用此规律求解在第个图形中的火柴棒的个数．
20.【答案】
【解析】解：由所给图形可知，
第一个图中，火柴棒的根数为：；
第二个图中，火柴棒的根数为：；
第三个图中，火柴棒的根数为：；
，
所以第一个图中，火柴棒的根数为根，
当时，
根，
即第四个图中，火柴棒的根数为根．
当时，
根，
即第六个图中，火柴棒的根数为根．
故答案为：，．
由知，
第个图中，火柴棒的根数为根．
故答案为：．
令得，
根，
即第个图中，火柴棒的根数为根．
根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．
根据中发现的规律即可解决问题．
根据中发现的规律即可解决问题．
本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：把其中最小的数记为，则另三个数分别是，，．
故答案为：，，．
依题意得：，
解得：．
答：的值为；
在前提下，被框住的个数之和不能等于，理由如下：
依题意得：，
解得：，
又，
在最后一列，不符合题意，
在前提下，被框住的个数之和不能等于．
把其中最小的数记为，则另三个数分别是，，；
根据被框住的个数之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
在前提下，被框住的个数之和不能等于，根据框住的个数之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，结合此时在第七列，可得出被框住的个数之和不能等于．
本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：根据题目三个等式的规律可得，
第个等式：，
故答案为：；；
：，
故答案为：；；
．
根据题目中三个等式的规律，可以写出第五个等式和第个等式；根据中的结果，可以计算得出所求式子的值．
本题主要考查根据数字的变化规律进行计算的方法．解答本题的关键根据题目中三个等式的规律，写出第五个等式和第个等式．
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