5.1等式与方程 冀教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.1等式与方程冀教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.已知，则表示的式子是( )
A. B. C. D.
3.下列说法中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.下列运用等式的性质变形错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.下列运用等式的性质变形正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.下列变形一定正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.下列等式变形错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.下列式子正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
9.下列变形中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.满足等式的一组自然数是( )
A. 、 B. 、
C. 、 D. 、
11.有五张写有数字的卡片，分别记为，，，，，将它们按如图所示放置在桌上，下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号
两数的和
则写有最大数卡片的编号是( )
A.
B.
C.
D.
12.中央电视台某节目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与个球体相等质量的正方体的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.颗同样大小的珍珠，一颗较轻，用天平称至少次能找到次品．______判断对错
14.如图，王明家的住房平面图是一个长方形，被分割成个正方形和个长方形，其中标号相同的两个图形形状大小一样，若原住房平面图长方形的周长为，则标号为的正方形边长为 ．
15.如图，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有个各克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图，则被移动的玻璃球的质量为______．
16.若，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知方程的两个实数根分别为、求：
；
18.本小题分
利用等式的性质解下列方程：
．
．
19.本小题分
对于有理数，，，，规定一种运算，如若，求的值．
20.本小题分
用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？
若，则________；
若，则________；
若，则________；
若，则________．
21.本小题分
福建泉州晋江期末在等式中，当时，．
求的值；
若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，求的最小值．
22.本小题分
阅读以下解题过程：
已知，，为的三边长，且满足，试判断的形状．
解：，
，
，
为直角三角形．
上述解题过程从哪一步开始出现错误？该步的序号为 ．
错误的原因是 ．
本题正确的结论是 ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将的两边同时除以，得，
A正确，不符合题意；
当时，将的两边同时除以，得，
当，，等式成立，
或，
B错误，符合题意；
将的两边同时减，得，
C正确，不符合题意；
将若的两边同时乘以，得，
D正确，不符合题意．
故选：．
利用等式的基本性质计算即可；
C.利用等式的基本性质计算即可．
本题考查等式的性质，掌握等式的个基本性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
两边同时减去，得：，
即，
两边同时乘以，得．
故选：．
根据等式的性质，先两边同时减去，再两边同时乘以计算即可．
本题考查根据等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：若，当，则，故此选项错误；
B.若，则，正确；
C.若，则，故此选项错误；
D.若，则，故此选项错误；
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握利用等式的性质对等式进行变形，
根据等式的基本性质进行判断即可得出结论．
【解答】
解：若，则，正确，
B.若，则，正确，
C.若，则，即，正确，
D.若，当时，故D错误；
故选D．
5.【答案】
【解析】解：：若，则，故A不正确，不合题意；
：若，则，故B不正确，不合题意；
：若，则，故C正确，符合题意；
：若，则时，故D不正确，不合题意；
故选：．
根据等式的基本性质进而判断即可．
本题考查等式的基本性质，正确把握相关性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、若，则，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、若，则，原变形正确，故本选项符合题意；
C、若，则，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、若，则或，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：。
根据等式是性质进行计算。
本题考查了等式的性质。解题的关键是掌握等式的性质：性质、等式两边加减同一个数或式子结果仍得等式；
性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式。
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立．
根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立，可得答案．
【解答】
解：、若，则，正确；
B、若，则 ，正确；
C、若，则，正确；
D、若，则，时，两边都除以无意义，错误；
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质，以及等式的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．根据不等式的基本性质，以及等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：若，则时，，时，，
选项A不符合题意；
B.若，则时，，时，，
选项B不符合题意；
C.若，则，
选项C符合题意；
D.若，且，则或，
选项D不符合题意．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：若，
则，或．
故A选项不符合题意．
若，
显然，
则等式两边都乘以得，
．
故B选项符合题意．
若，
则等式两边都乘以得，
．
所以选项不符合题意．
若，
则当时，．
故选：．
根据等式的性质对所给选项依次进行判断即可．
本题主要考查了等式的性质，熟知等式的基本性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：．
分别将的值代入计算即可．
本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是关键．
11.【答案】
【解析】解：，，，， ，
，得，，得．
，得．
，得，，得．
，．
把的值代入、、、得，，．
故选：．
由题意得关于的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论．
本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是等式的性质，由图可知：球体的重量圆柱体的重量，正方体的重量圆柱体的重量．可设一个球体重，一个圆柱重，一个正方体重，根据等量关系列式，然后结合等式的性质即可得出答案
【解答】
解：设一个球体重，一个圆柱重，一个正方体重
根据等量关系列方程：
；，
即：；，
则：
即个球体的重量等于个正方体的重量．
13.【答案】
【解析】解：个球分成、、，进行天平称量，先把是个球的两组放在天平上称量，
如果平衡，较轻的球就在个球的那组，然后把个球放在天平上，找出较轻的；如果不平衡，找出较轻的一组；然后拿出较轻组其中的两个进行称量，如果平衡，剩下的一个就是较轻的球，如果不平衡，位置较高的一个就是较轻的球．所以颗同样大小的珍珠，一颗较轻，用天平称至少需次就能找到次品．
故答案为：．
个球分成、、，进行天平称量，先把是个球的两组放在天平上称量，如果平衡，较轻的球就在个球的那组，然后把个球放在天平上，找出较轻的；如果不平衡，找出较轻的一组，然后拿出较轻组其中的两个进行称量，如果平衡，剩下的一个就是较轻的球，如果不平衡，位置较高的一个就是较轻的球．解答此题的关键是：将乒乓球进行合理的分组，进而能逐步找出次品，并求得需要的次数．
本题考查了等式的性质，熟练掌握等式性质和理解题意是关键．
14.【答案】
【解析】解：设标号为的长方形长为，宽为，标号为的正方形边长为，
根据题意得：，，
整理得：，，
把第二个式子代入第一个式子得：，
解得：，
则标号为的正方形边长为
故答案为：
设标号为的长方形长为，宽为，标号为的正方形边长为，根据已知周长及图形中的数量关系列出等式，计算即可．
此题考查了整式的加减，弄清图中各长度之间的关系是解本题的关键．
15.【答案】克
【解析】解：设被移动的玻璃球的质量为克，
根据题意得：，
解得：．
答：被移动的玻璃球的质量为克．
故答案为：克．
设被移动的玻璃球的质量为克，根据天平平衡的条件，可列出等式，即可求解．
本题考查了等式的性质，根据天平平衡的条件，列出等式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的性质，熟练利用等式的性质得出是解题关键．首先将常数项移项，根据等式的性质方程两边同除以，进而得出答案．
【解答】
解：因为，
所以，
即．
故答案为．
17.【答案】解：方程的两个实数根分别为、，
，，
；
方程的两个实数根分别为、，
，
，
；
，
，
．
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，等式的基本性质，整式的计算，完全平方公式等知识点．
若方程两根为，，则，根据根与系数的关系得出，，再结合完全平方公式进行计算即可；
将代入方程中有，结合等式的基本性质可得，整理即可得出答案；
根据完全平方公式可得，代入计算即可．
18.【答案】解：将方程的两边同时减去，得：，
合并同类项，得：；
将方程的两边同时加上，得：，
合并同类项，得：，
将方程的两边同时除以，得：．

【解析】此题主要考查了利用等式的性质解一元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解决问题的关键．
根据等式的基本性质分别解方程即可．
19.【答案】解：根据新运算，得 ，所以
方程两边都减，得， 即 方程两边都除以，得．
【解析】本题考查了等式的性质及新定义，根据新定义得到，再根据等式的性质解方程即可．
20.【答案】【小题】解：；根据等式的性质，等式两边减．
【小题】解： ；根据等式的性质，等式两边除以．
【小题】解：；根据等式的性质，等式两边加．
【小题】解：；根据等式的性质，等式两边乘．

【解析】 【分析】
本题考查了等式的性质，等式的两边都减去解答即可．
【解答】
解：根据等式的性质，等式的两边都减去得：．
故答案为：；根据等式的性质，等式两边减．
【分析】
本题考查了等式的性质，根据等式的性质，等式两边除以解答即可．
【解答】
解：根据等式的性质，等式两边除以得：．
故答案为： ；根据等式的性质，等式两边除以．
【分析】
本题考查了等式的性质，根据等式的性质，等式两边加即可解答．
【解答】
解：根据等式的性质，等式两边加得：．
故答案为：；根据等式的性质，等式两边加．
【分析】
本题考查了等式的性质，根据等式的性质，等式两边乘即可解答．
【解答】
解：根据等式的性质，等式两边乘得：．
故答案为：；根据等式的性质，等式两边乘．
21.【答案】【小题】
解：把，代入可得，，
所以．
【小题】
解：当时，原不等式组可化为 解得
所以这个不等式组的解集为．
因为恰有个整数解，
所以整数解为，，，
所以，所以最小值为．

【解析】 本题主要考查了等式的知识．
根据等式的性质解答即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集和已知得出关于的不等式是解此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集和已知得出的范围即可．
22.【答案】【小题】
【小题】
不能确定是不是等于
【小题】
是等腰三角形或直角三角形

【解析】
，
，
，
或，或，
为等腰三角形或直角三角形．故从第步开始出现错误，其原因是不能确定是不是等于，正确的结论是是等腰三角形或直角三角形．
略
略
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