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专题二 确定二次函数的解析式
类型一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数y=ax2+4x+c,当x=-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5;则此二次函数的解析式为( )
A.y=2x2+4x-1
B.y=x2+4x-2
C.y=-2x2+4x+1
D.y=2x2+4x+1
A
2.已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1),求这个二次函数的解析式.
类型二 利用“顶点式”求二次函数的解析式
C
3.已知二次函数的图象的顶点是(1,-2),且经过点(0,-5),则二次函数的解析式是( )
A.y=-3(x+1)2-2
B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2
D.y=3(x-1)2-2
4.已知某二次函数的图象的顶点为(-2,2),且过点(-1,3).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)判断点P(1,9)是否在这个二次函数的图象上,并说明理由.
解:(1)由顶点(-2,2),可设抛物线为y=a(x+2)2+2,
将(-1,3)代入,得(-1+2)2a+2=3,
解得a=1.
∴二次函数的解析式为y=(x+2)2+2=x2+4x+6.
(2)点P(1,9)不在这个二次函数的图象上.理由如下:
把x=1代入y=x2+4x+6,得y=1+4+6=11≠9,
∴点P(1,9)不在这个二次函数的图象上.
类型三 利用“交点式”求二次函数的解析式
C
5.已知二次函数的图象经过(0,0),(3,0),(1,-4)三点,则该函数的解析式为( )
A.y=x2-3x B.y=2x2-3x
C.y=2x2-6x D.y=x2-6x
6.如图所示,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),
C(5,0),点P是直线AC下方抛物线上的点(不与A,C重合),连接PA,PC,设点P的横坐标为m,△PAC的面积为S,则S与m之间的函数解析式为 ;当m= 时,S有最大值( )
D
7.已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(5,0)两点,顶点为P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△ABP的面积.
解:(1)抛物线的解析式为
y=-(x+1)(x-5),
即y=-x2+4x+5.
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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和 性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
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1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与系数a,b,c的符号关系
系数 符号 图象特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧
b=0 对称轴为y轴
c c=0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
A 基础对点练
知识点 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
分层精练
1.二次函数y=x2+4x+1的图象的对称轴是( )
A.直线x=2 B.直线x=4
C.直线x=-2 D.直线x=-4
2.若函数y=x2-4x+m的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1A.y1>y2 B.y1C.y1=y2 D.y1,y2的大小不确定
C
A
3.关于二次函数y=-2x2+4x+1,下列说法正确的是( )
A.图象是开口向上的抛物线
B.图象的对称轴是直线x=-1
C.当x=1时,函数y有最大值3
D.图象可由y=-2x2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度得到
4.(2023大连)已知二次函数y=x2-2x-1,当0≤x≤3时,函数的最大值为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
C
D
5.(2023泰安)二次函数y=-x2-3x+4的最大值是 .
6.抛物线y=x2+2x+m的顶点在第二象限,则m的取值范围是 .
m>1
7.通过配方法分别写出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=x2-x;
(2)y=x2+6x+2.
(2)∵y=x2+6x+2=(x+3)2-7,
∴该函数图象开口向上,对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3,-7).
B 能力达标练
8.(2024曲靖期末)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1.下列说法正确的是( )
A.abc>0
B.b2-4ac<0
C.2a+b=0
D.am2+bm>a+b(m为任意实数)
C
9.将抛物线y=x2-6x+5先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是( )
A.y=(x-4)2-6
B.y=(x-4)2-2
C.y=(x-2)2-2
D.y=(x-1)2-3
B
10.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=a(x-b)2+c的图象大致是( )
B
11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,对称轴为直线x=-1,且经过点 (-3,0),则下列结论正确的是( )
A.b>0 B.c<0
C.a+b+c>0 D.3a+c=0
12.(易错题)二次函数y=x2-6x+c的图象的顶点与原点的距离为5,则c=
.
D
13或5
13.如图所示,抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).
(1)求此抛物线的解析式;
解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(2,0),且经过坐标原点,
∴抛物线的解析式为y=-x(x-2),
即y=-x2+2x.
(2)写出抛物线的顶点坐标及对称轴;
(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=8,求点B的坐标.
解:(2)∵y=-x2+2x=-(x-1)2+1,
∴抛物线的顶点坐标为(1,1),对称轴为直线 x=1.
C 素养提升练
D
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第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
二次函数y=a(x-h)2+k
a>0 a<0
大致 图象
开口方向
向上
向下
顶点
对称轴
增减性 当xh时,y随x的增大而 当x当x>h时,y随x的增大而
最值 当x=h时,y最小= 当x=h时,y最大=
(h,k)
直线x=h
减小
增大
增大
减小
k
k
2.二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2图象的关系
抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)平移,可得抛物线y=a(x-h)2+k,平移的方向和距离根据 的值确定.
h,k
A 基础对点练
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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1.(2024曲靖期末改编)二次函数y=- (x+2)2+3的开口方向、对称轴及顶点坐标是( )
A.向下,直线x=2,(2,3) B.向下,直线x=-2,(-2,3)
C.向上,直线x=-2,(2,-3) D.向上,直线x=2,(-2,-3)
2.二次函数y=2(x-2)2-1的图象大致是( )
B
B
3.下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是( )
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与x轴没有交点
C.当x<2时,y随x增大而增大
D.图象的顶点坐标是(2,-3)
4.二次函数y=(x-1)2-1的图象(0≤x≤3)如图所示,则y的取值范围是
.
D
-1≤y≤3
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和二次函数y=ax2的图象的关系
5.将抛物线y=-2x2向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得到的抛物线为( )
A.y=-2(x+1)2+3
B.y=-2(x-1)2+3
C.y=-2(x-1)2-3
D.y=-2(x+1)2-3
6.把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的解析式为 .
C
y=2(x+1)2-2
B 能力达标练
8.抛物线y=a(x-k)2+k的顶点总在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.直线y=x上 D.直线y=-x上
9.二次函数y=a(x-m)2-n的图象如图所示,则一次函数 y=mx+n的图象经过( )
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
C
A
10.已知二次函数y=-(x-m)2-1,当x>1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 .
11.(易错题)已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下,与其对应的函数y的最小值为5,则h的值为 .
m≤1
-1或6
解:(1)向下 (-2,-2)
(2)当x>-2时,y随x的增大而减小.
C 素养提升练
13.(模型观念)如图所示,二次函数y=(x-3)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B.若P是抛物线上的一点,且S△ABP=S△ABC,则点P的坐标为 .
(3,-4)或(4,-3)或(7,12)
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22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
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1.二次函数y=ax2的图象
(1)二次函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫
;
(2)画二次函数y=ax2的图象的步骤
①列表;② ;③连线.
抛物线
描点
2.二次函数y=ax2的图象和性质
抛物线 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0)
图象
开口方向
顶点坐标 (0,0) (0,0)
对称轴 y轴(直线x=0) y轴(直线x=0)
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外)
函数 变化 当x<0时,y随x的增大而 ;当x>0时,y随着x的增大而 当x<0时,y随x的增大而
;当x>0时,y随着x的增大而
最大(小)值 当x=0时,y最小=0 当x=0时,y最大=0
开口大小 |a|越大,抛物线的开口
向上
向下
减小
增大
增大
减小
越小
A 基础对点练
知识点 二次函数y=ax2的图象和性质
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1.(教材P32练习改编)函数y=5x2的图象可能是( )
B
2.二次函数y=-2x2的图象经过的象限是( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
3.对于抛物线y=-5x2,下列说法不正确的是( )
A.开口向下
B.对称轴为y轴
C.顶点为(0,0)
D.y随x的增大而减小
D
D
B
B
6.如图所示,从y=x2的图象上可看出当 -1≤x≤2时,y的取值范围是 ( )
A.-1≤y≤4 B.0≤y≤1
C.0≤y≤4 D.1≤y≤4
C
y2>y1>y3
8.如图所示,正方形的边长为6,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=3x2与y=-3x2的图象,则阴影部分的面积是 .
18
B 能力达标练
10.如图所示,在同一平面直角坐标系中,k≠0,函数y=kx2和y=kx-2的图象可能是( )
C
6或-2
12.二次函数y=ax2的图象与直线y=2x-1交于点P(1,m).
(1)求a,m的值.
(2)写出二次函数的解析式,并指出x取何值时,该函数的函数值y随x的增大而增大
(3)写出抛物线的顶点坐标和对称轴.
解:(1)将(1,m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.
∴P点的坐标为(1,1).
将(1,1)代入y=ax2,得1=a×12,解得a=1.∴a=1,m=1.
(2)二次函数的解析式为y=x2,
当x>0时,y随x的增大而增大.
(3)抛物线的顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.
C 素养提升练
13.(模型观念)已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx-2的图象相交于A,B两点,直线AB交y轴于点G,如图所示,其中点A(-1,-1).
(1)求二次函数和一次函数的解析式;
解:(1)∵一次函数y=kx-2的图象过点A(-1,-1),∴-1=-k-2,解得k=-1.∴一次函数的解析式为y=-x-2.
∵y=ax2的图象过点A(-1,-1),
∴-1=a×1,解得a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-x2.
(2)求△OAB的面积.
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22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题
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1.利用二次函数解决图形面积中的最值问题
(1)配方法:将二次函数y=ax2+bx+c配方化成y=a(x-h)2+k的形式.
若a>0,当x=h时,函数y有最 值k;
若a<0,当x=h时,函数y有最 值k;
小
自主导学
大
小
大
2.在实际问题中,图象是抛物线时,可设其解析式为y=ax2+bx+c或y=a(x-h)2+k,再寻找条件,利用二次函数的知识解决问题;如果是几何图形,将图形中的相关线段用代数式来表示,要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.
【易错提醒】利用二次函数求最值时特别要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内.
A 基础对点练
分层精练
知识点 二次函数与图形面积问题
D
1.如图所示,矩形的宽比长少25%,在四个角处各剪去一个边长为1 cm的正方形(图中阴影部分),沿图中虚线折叠得到一个无盖的长方体.若原矩形的长为x cm,折成的长方体的底面积是y cm2,则这个长方体的底面积y cm2与原矩形的长x cm之间的函数解析式为( )
A
2.将一根长2 m的铁丝首尾相接围成矩形,则围成的矩形的面积的最大值是( )
3.如图所示,某校准备投资1万元围一个矩形的运动场地,其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造,且三边的总长为50米,墙长26米,平行于墙的边的费用为200元/米,垂直于墙的边的费用为150元/米,设平行于墙的边长为x米.
(1)若运动场地面积为300平方米,求x的值.
(2)当运动场地的面积最大时,是否会超过预算
B 能力达标练
C
4.(2023天津)如图所示,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为 40 m.有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园 ABCD 面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.如图所示,把一张长10 cm、宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计),设四周小正方形的边长为x(cm).
(1)求盒子的侧面积y与x的函数关系式.
解:(1)由题意可得,
y=(8-2x)x×2+(10-2x)x×2=-8x2+36x,
即盒子的侧面积y与x的函数关系式是y=-8x2+36x.
(2)求当正方形的边长x为何值时,侧面积y有最大值,并求出y的最大值.
(3)当侧面积为40 cm2时,小正方形的边长为多少
C 素养提升练
6.(应用意识)如图所示,已知正方形ABCD的边长为8,E,F分别为边BC, CD上的点,且CE=CF.
(1)设CF=x,△AEF的面积为y,求y关于x的函数解析式.
(2)当x为多少时,△AEF的面积能够取得最大值,最大值是多少
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第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和 性质
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二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
a的符号 a>0 a<0
大致图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线
顶点坐标
增减性 当x>h时,y随x的增大而 ;当xh时,y随x的增大而
;当x最值 当x=h时, y最小= 当x=h时,
y最大=
x=h
(h,0)
增大
减小
减小
增大
0
0
A 基础对点练
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
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1.函数y=2(x-2)2的图象的顶点坐标和对称轴是( )
A.(-2,0),直线x=-2 B.(-2,2),直线x=-2
C.(2,0),直线x=2 D.(2,-2),直线x=2
2.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x+h)2(a≠0)的图象可能是( )
C
C
A
4.对于二次函数y=-4(x+3)2的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向上
B.对称轴是直线x=-3
C.当x>-4时,y随x的增大而减小
D.顶点坐标为(-2,-3)
5.已知函数y=-(x-2)2的图象上两点A(a,y1),B(1,y2),其中a<1,则y1与y2的大小关系是y1 (选填“>”“<”或“=”)y2.
B
<
6.已知抛物线y=a(x+2)2过点(1,-3).
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标.
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大
(2)抛物线的对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).
(3)当x<-2时,y随x的增大而增大.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2的图象和二次函数y=ax2的图象的关系
7.抛物线y=2(x-3)2可以看作是由抛物线y=2x2按下列何种变换得到的 ( )
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
B
2
解:如图所示.
①向右平移2个单位长度得到②,
②的开口方向向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).
B 能力达标练
10.抛物线y=-(x-1)2一定经过( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
11.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为( )
D
B
12.已知A(-4,y1),B(-3,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 .
13.(易错题)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为 .
y36或1
14.将抛物线y=ax2向右平移后所得抛物线的顶点的横坐标为3,且新抛物线经过点(-1,-4),求a的值.
C 素养提升练
15.(模型观念)已知点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,且点P在第一象限内.
(1)求m的值;
解:(1)∵点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,
∴a=a(m-1)2,
解得m1=2,m2=0.
∵点P在第一象限内,
∴m=2.
(2)过点P作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,若a的值为3,试求点P,点Q及原点O围成的三角形的面积.
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第2课时 二次函数与商品利润问题
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1.用二次函数的知识解决实际问题时,关键是先将实际问题抽象成数学问题,即先建立二次函数关系,然后再利用二次函数的图象及性质进行解答.
2.本课时常见数量关系:
(1)利润=售价-成本;
(2)总利润=每件商品的利润×销售量;
自主导学
A 基础对点练
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知识点 二次函数与商品利润问题
A
1.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时,能卖出200个,已知该商品单价每上涨2元,其销售量就减少10个.设这种商品的售价为x元
时,获得的利润为y元,则下列解析式正确的是( )
A.y=(x-35)(400-5x)
B.y=(x-35)(600-10x)
C.y=(x+5)(200-5x)
D.y=(x+5)(200-10x)
B
2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅游团的人数每增加一人,每人的单价就降低10元,若这个旅行社要获得最大营业额,则这个旅游团的人数是( )
A.56 B.55 C.54 D.53
121
3.某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量 y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示,当10≤
x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元(利润=总销售额-总成本).
4.某商品的利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-x2+
8x+9,且销售单价x的范围是1≤x≤3,则最大利润是 元.
24
5.(2024昆明盘龙区期末)2023年9月17日,中国“普洱景迈山古茶林文化景观”申遗成功,成为全球首个茶主题世界文化遗产.景迈山古树茶成本为每饼400元,当售价为每饼480元时,每月可销售100饼.为庆祝申遗成功,让更多的人了解景迈山古树茶,商家决定降价销售.据市场调查反映:销售单价每降5元,则每月多销售10饼.设每饼古树茶的售价为x元,每月的销售量为y饼.
(1)直接写出y与x的函数关系式.
(2)设每月获得的利润为w元,当销售单价为多少元时,每月获得的利润最大
解:(2)由题意,得
w=(x-400)(-2x+1 060)
=-2x2+1 860x-424 000
=-2(x-465)2+8 450,
∵-2<0,
∴当x=465时,w有最大值.
答:当销售单价为465元时,每月获得的利润最大.
B 能力达标练
D
6.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:
y1=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为( )
A.30万元 B.40万元
C.45万元 D.46万元
7.(2023辽宁)商店出售某品牌护眼灯,每台进价为40元,在销售过程中发现,月销量 y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的2倍,其部分对应数据如下表所示:
销售单价x/元 … 50 60 70 …
月销量y/台 … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月利润为多少元
C 素养提升练
8.(应用意识)丹东是我国的边境城市,拥有丰富的旅游资源.某景区研发一款纪念品,每件成本为30元,投放景区内进行销售,规定销售单价不低于成本且不高于54元,销售一段时间调研发现,每天的销售数量y
(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表所示:
销售单价x/元 … 35 40 45 …
每天的销售数量y/件 … 90 80 70 …
(1)写出y与x的函数解析式.
(2)若每天销售所得利润为1 200元,那么销售单价应定为多少元
解:(2)根据题意,得(x-30)·(-2x+160)=1 200,
解得x1=50,x2=60,
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元,
∴x=50.
答:销售单价应定为50元.
(3)当销售单价为多少元时,每天获利最大 最大利润是多少元
解:(3)设每天获利w元.
w=(x-30)·(-2x+160)=-2x2+220x-4 800=-2(x-55)2+1 250,
∵-2<0,对称轴是直线x=55,
而x≤54,
∴当x=54时,w取最大值,最大值是-2×(54-55)2+1 250=1 248(元).
答:当销售单价为54元时,每天获利最大,最大利润为1 248元.
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22.2 二次函数与一元二次方程
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自主导学
分层精练
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的 就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系
横坐标
自主导学
根的判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的情况 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况
Δ>0 有 个公共点 有 的实数根
Δ=0 有 个公共点 有 的实数根
Δ<0 公共点 实数根
两
两个不相等
一
两个相等
没有
没有
A 基础对点练
分层精练
知识点1 二次函数的图象与x轴的公共点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系
A
知识点2 二次函数的图象与x轴的公共点个数与对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系
C
2.二次函数y=2x2+8x-6的图象与x轴的交点情况为( )
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.无法确定
3.(2023郴州)已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,则m= .
9
4.已知二次函数y=ax2+x+1(a为常数).
(1)该二次函数必过定点 ;
(2)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点,求a的取值范围.
解:(1)(0,1)
知识点3 利用二次函数的图象解不等式
5.如图所示的是二次函数y=-x2-2x+3的图象,使y<0成立的x的取值范围是( )
A.x<-3或x>1 B.x≤-3或x≥1
C.-3A
6.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于A,B两点,则关于x的不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集为
.
-1≤x≤2
B 能力达标练
B
7.(2023衡阳)已知m>n>0,若关于x的方程 x2+2x-3-m=0的解为x1, x2(x1A.x3B.x1C.x1D.x38.抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 .
9.(易错题)已知函数y=(m-2)x2+2x-m的图象与坐标轴有且只有两个交点,则m= .
10.已知函数y=-x2+mx+(m+1)(其中m为常数).
(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是 个;
x1=-2,x2=1
2或1或0
解:(1)1或2
(2)若该函数图象的对称轴是直线x=1,顶点为点A,求此时函数的解析式及点A的坐标.
C 素养提升练
11.(模型观念)如图所示,抛物线y=-x2-2x+3与x轴相交于点A和点B,与y轴交于点C.
(1)求点A、点B和点C的坐标.
解:(1)令y=0,则-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1,
∴A(-3,0),B(1,0).
令x=0,则y=3.
∴C(0,3).
(2)求直线AC的解析式.
(3)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从B向A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t s,请求出△APQ的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,△APQ的面积最大,最大面积是多少
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第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
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自主导学
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自主导学
用待定系数法求二次函数的解析式的方法
(1)一般式: ,已知抛物线上三个点的坐标求解析式时常用这种方法,把三个点的坐标分别代入解析式,列方程组求出系数a,b,c的值;
(2)顶点式: ,已知抛物线的顶点和另一个点的坐标,通常设顶点式,列出方程求解.
(3)交点式
已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0)及抛物线上任意一点的坐标,可设二次函数的解析式为 (a≠0).
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)
A 基础对点练
知识点1 利用一般式确定二次函数的解析式
分层精练
1.(教材P40练习T2变式)已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1),则这个二次函数的解析式为( )
A.y=-6x2+3x+4
B.y=-2x2+3x-4
C.y=x2+2x-4
D.y=2x2+3x-4
D
2.(2023宁波节选)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,-2)和B(0,-5),求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标.
知识点2 利用顶点式确定二次函数的解析式
3.一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的解析式为( )
A.y=-2(x+2)2+4
B.y=2(x+2)2-4
C.y=-2(x-2)2+4
D.y=2(x-2)2-4
4.(易错题)抛物线的形状与y=x2相同,顶点是(-2,3),该抛物线的函数解析式为 .
C
y=-(x+2)2+3或y=(x+2)2+3
5.某二次函数的图象的顶点坐标是(1,-4),且经过点(0,-3).
(1)求该二次函数的解析式;
解:(1)已知二次函数图象的顶点坐标是(1,-4),可设解析式为y= a(x-1)2-4.
把(0,-3)代入上式,得-3=a-4,即a=1,
∴y=(x-1)2-4.
故该二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
(2)在平面直角坐标系xOy中,画出该二次函数的图象并标出其对称轴及顶点.
解:(2)当y=0时,即x2-2x-3=0.
即(x+1)(x-3)=0,
解得x1=-1,x2=3.
∴与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).
二次函数图象如图所示:
知识点3 利用交点式确定二次函数的解析式
6.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于 A(-2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点 C(0,-3),则抛物线的解析式为 .
7.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于 A(3,0),B(-1,0)两点,与y轴交于点 C(0,3),求这条抛物线所对应的二次函数的解析式及顶点D的坐标.
解:∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0),B(-1,0),C(0,3),
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0).
把(0,3)代入解析式,得
3=a(0+1)(0-3),解得a=-1.
∴抛物线的解析式为
y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4).
B 能力达标练
8.已知抛物线与二次函数y=2x2的图象的开口大小相同,方向相反,且顶点坐标为(-1,2 023),则该抛物线对应的函数解析式为( )
A.y=-2(x-1)2+2 023
B.y=2(x-1)2+2 023
C.y=2(x+1)2+2 023
D.y=-2(x+1)2+2 023
9.(易错题)如果抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与y轴交于点C,若OC=2,则这条抛物线的解析式是 .
D
y=x2-x-2或y=-x2+x+2
10.(2023杭州)设二次函数y=ax2+bx+1(a≠0,b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示:
x … -1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若m=4,
①求二次函数的解析式;
②写出一个符合条件的x的取值范围,使得y随x的增大而减小;
解:②∵y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而减小.
(2)若在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数,求a的取值范围.
C 素养提升练
11.(几何直观)如图所示,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-4经过A(-4,0),C(2,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数解析式,并求出S的最大值.
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第3课时 生活中的抛物线
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自主导学
分层精练
根据建立的坐标系选择合适的二次函数解析式
(1)顶点在原点,对称轴为y轴,可设解析式: ;
(2)对称轴为y轴,可设解析式: ;
(3)顶点在x轴,对称轴平行于y轴,可设解析式: ;
(4)抛物线过原点,对称轴平行于y轴,可设解析式: .
自主导学
y=ax2
y=ax2+c
y=a(x-h)2
y=ax2+bx
A 基础对点练
分层精练
知识点1 用二次函数解决建筑类问题
1.(2023滨州)某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管(如图所示),使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m,那么水管的设计高度应为 .
2.(2024昆五中期末)如图所示是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下降2 m,水面宽度增加 m.
3.如图所示,已知一抛物线形大门,其地面宽度AB=18 m,一同学站在门内离门脚B点1 m远的D处,垂直地面立起一根1.7 m 长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件,请你求出该大门的高h.
知识点2 用二次函数解决运动问题
4.(2024昆明盘龙区期末)小明打高尔夫球,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(m)与飞行时间 t(s)之间满足函数关系h=20t-5t2.则小球从飞出到落地瞬间所需要的时间为( )
A.2 s B.3 s
C.4 s D.5 s
C
10 m
B 能力达标练
8
7.一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图所示),桥高为8 m,拱高6 m,跨度20 m.相邻两支柱间的距离均为5 m,则支柱MN的高度为 m.
3.5
(2)已知在一次表演中,人梯高BC=4 m,人梯到起跳点A的水平距离是
6 m,问这次表演是否成功 请说明理由.
C 素养提升练
(1)c= .
解:(1)5
(2)求该隧道截面的最大跨度(即AB的长度).
(3)该隧道为双向车道,现有一辆运货卡车高4 m、宽3 m,问这辆卡车能否顺利通过隧道 请说明理由.
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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
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自主导学
分层精练
自主导学
二次函数y=ax2+k的图象和性质
a的符号 a>0 a<0
大致图象
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴
顶点坐标
增减性 当x>0时,y随x的增大而 ;当x<0时,y随x的增大而 当x>0时,y随x的增大而
;当x<0时,y随x的增大而
最值 当x=0时, y最小= 当x=0时,
y最大=
(0,k)
增大
减小
减小
增大
k
k
A 基础对点练
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
分层精练
B
2.二次函数y=-x2+1的图象可能是( )
D
3.关于二次函数y=2x2-3的说法中,不正确的是( )
A.图象的开口向上
B.图象的对称轴是直线x=3
C.图象经过点(1,-1)
D.当x<0时,y随x的增大而减小
4.(2023广州)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=x2-3上,且0”“<”或“=”).
B
<
知识点2 二次函数y=ax2+k的图象和二次函数y=ax2的图象的关系
5.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+8,下列叙述正确的是( )
A.向上平移8个单位长度
B.向下平移8个单位长度
C.向左平移8个单位长度
D.向右平移8个单位长度
A
(0,-2)
B 能力达标练
8.若抛物线y=-x2+4与x轴交于A,B两点,则线段AB的长度为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9.函数y=ax2-a与y=ax+a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A
C
10.(易错题)如图所示,抛物线y=2x2-m的顶点为P,与x轴交于点A,B,且
△ABP是等腰直角三角形,则m的值是 .
11.已知二次函数y=ax2+1的图象过点(-2,-3).
(1)求这个二次函数的解析式;
解:(1)∵二次函数y=ax2+1的图象过点 (-2,-3),
∴4a+1=-3,解得a=-1.
∴这个二次函数的解析式为y=-x2+1.
(3)求出抛物线上纵坐标为-15的点的坐标.
解:(3)当y=-15时,-15=-x2+1,
解得x1=4,x2=-4,
∴抛物线上纵坐标为-15的点的坐标为(4,-15),(-4,-15).
C 素养提升练
(1)当△POF的面积为4时,求点P的坐标;
(2)求△PMF周长的最小值.
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专题四 二次函数与几何图形综合
类型一 二次函数与三角形结合
1.如图所示,抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
解:(1)∵点A(-1,0)在抛物线y=x2+bx-3上,∴b=-2.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点D的坐标为(1,-4).
(2)点M是对称轴上的一个动点,当△ACM的周长最小时,求点M的坐标.
解:(2)对于y=x2-2x-3,当x=0时,y=-3,∴点C的坐标为(0,-3),
当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.∴B点的坐标为(3,0),
由抛物线的性质,可知点A和点B关于抛物线的对称轴对称,
2.(昆明五华区月考)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线经过
A(-1,0),B(3,0)和C(0,3),连接BC,点P是直线BC上方的一个动点(且不与B,C重合).
(1)求抛物线的解析式;
解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0).
把C(0,3)代入,得3=a×1×(-3),
解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.
(2)求△PBC面积的最大值.
类型二 二次函数与四边形结合
3.(2023广安节选)如图所示,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A, B,交y轴于点C,点B的坐标为(1,0),对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点,PM⊥x轴,交直线AC于点M,交抛物线于点N.
(1)求这个二次函数的解析式;
解:(1)∵抛物线对称轴是直线x=-1,点B的坐标为(1,0),
∴点A的坐标为(-3,0).
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.
(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合),求四边形ABCN面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
4.如图所示,已知抛物线经过点A(1,0),B(-3,0),与y轴交于点
C(0,-3),抛物线的顶点为D,连接BD,点P在线段BD上,过点P作y轴的平行线交x轴于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的坐标为(-2,-2),点M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,G为抛物线上一动点,当以F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形时,求出满足条件的点M的坐标.
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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
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自主导学
分层精练
自主导学
【方法技巧】 判断二次函数的条件
(1)函数的解析式是整式;
(2)自变量的最高次数是2;
(3)二次项系数不等于0.
A 基础对点练
知识点1 二次函数的定义
分层精练
B
-6
解:(1)y=3(x-1)2+1=3x2-6x+4是二次函数,二次项系数是3,一次项系数是-6,常数项是4.
(3)s=3-2t2是二次函数,二次项系数是-2,一次项系数是0,常数项是3.
(4)y=(2x+1)2-4x2=4x+1不是二次函数.
知识点2 实际问题中的二次函数
4.下列关系中,是二次函数关系的是( )
A.当距离s一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C.圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D.正方形的周长C与边长a之间的关系
C
5.为响应国家传统文化进校园的号召,某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生.某文具超市为让利给学校,经过两次降价,每支毕加索笔单价由121元降为y元,两次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x,根据题意列方程得( )
A.y=121(1-x2) B.y=121(1+x)2
C.y=121(1-2x) D.y=121(1-x)2
6.已知有一个长为20 cm,宽为14 cm的相框,相框内部的镶边的宽为 x cm,未镶边部分的面积为y cm2,则y与x之间的函数关系式为 .
.
D
y=4x2-
68x+280
7.如图所示,有长为24 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度a为10 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为 x m,面积为 S m2.
求S与x的函数解析式.并指出自变量x的取值范围.
B 能力达标练
8.(易错题)如果函数y=(m-2)是二次函数,则m的值为( )
A.2或-3 B.-2或3
C.2 D.-3
9.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是( )
A.3 B.5
C.-3或5 D.3或-5
10.(易错题)设y1与y2都是x的二次函数,且y1+y2=-x2-8x+4,已知当x=m时,y1=y2=-8,当x=-m时,y1=y2=8,则m的值为 .
D
D
2
11.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+2-2m.
(1)若这个函数是二次函数,求m的取值范围.
解:(1)若这个函数是二次函数,
则m2-m≠0,解得m≠0且m≠1,
∴若这个函数是二次函数,
则m的取值范围是m≠0且m≠1.
(2)若这个函数是一次函数,求m的值.
(3)这个函数可能是正比例函数吗 为什么
解:(2)若这个函数是一次函数,
则m2-m=0且m-1≠0,
解得m=0,
∴若这个函数是一次函数,则m的值为0.
(3)这个函数不可能是正比例函数.理由如下:
∵当此函数是正比例函数时,由(2),得 m=0,且2-2m=0,无解,
∴此函数不可能是正比例函数.
C 素养提升练
12.(模型观念)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=8 cm,动点P从点A开始沿边AB向B以1 cm/s 的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,设运动的时间为x s,四边形APQC的面积为S cm2.
(1)求S与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围.
(2)运动几秒后PQ的长度为5 cm
(2)在Rt△PBQ中,由勾股定理,得
4x2+(5-x)2=25,
解得x1=0,x2=2.
∴运动2 s后PQ的长度为5 cm.
(3)四边形APQC的面积能否等于13 cm2.若能,求出运动的时间;若不 能,说明理由.
解:(3)不能.理由如下:
由题意,得x2-5x+20=13,
整理得x2-5x+7=0,
∵Δ=b2-4ac=25-28=-3<0,
∴此方程无解.
∴四边形APQC的面积不能等于13 cm2.
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专题三 二次函数的图象与字母系数之间的关系
类型一 判断函数图象
1.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为( )
C
2.(2023株洲)如图所示,直线l为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是( )
A.b恒大于0 B.a,b同号
C.a,b异号 D.以上说法都不对
C
3.一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
C
类型二 二次函数的图象与字母系数之间的关系
4.(2024昆五中期末)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点 A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )
A.b2<4ac
B.ac>0
C.2a-b=0
D.a-b+c=0
D
5.(2023齐齐哈尔)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(3,0),对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论:①abc>0;②b=2a;③3a+c=0;④关于x的一元二次方程ax2+bx+
c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根;⑤若点(m,y1),(-m+2,y2)均在该二次函数图象上,则y1=y2.其中正确结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
B
6.(2023营口)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点
A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.下列结论:①abc<0;②抛物线的对称轴为直线x=-1;③当-30;④当x>1时,y随x的增大而增大;⑤am2+bm≤a-b(m为任意实数).其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
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