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专题五 旋转性质的综合运用与旋转作图
类型一 “手拉手”模型
1.在Rt△ABC中,AC=BC,将线段CA绕点C旋转α(0°<α<90°),得到线段CD,连接AD,BD.
(1)如图(1)所示,将线段CA绕点C逆时针旋转α,则∠ADB的度数为 ;
解:(1)135°
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时,在图(2)中依题意补全图形,并求∠ADB的度数.
2.如图所示,点P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PC,将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置.
(1)旋转中心是点 ,点P旋转的度数是 ;
(2)连接PP′,△BPP′的形状是 ;
解:(1)B 90°
(2)等腰直角三角形
(3)若PA=1,PB=2,∠APB=135°,求PC的长.
类型二 与旋转相关的分类讨论问题
3.小明把一副三角板按如图所示组合在一起,固定三角板ABC,将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转(旋转角度不超过180°).若两块三角板有一边平行,则三角板DEF旋转的度数可能是( )
A.15°或45°
B.15°或45°或90°
C.45°或90°或135°
D.15°或45°或90°或135°
D
4.在△ABC中,∠ABC=38°,将△ABC绕点B旋转,使得点A落在直线BC上,记作点A1,点C落在点C1处,则∠BC1C= 度.
5.定义:从一个角的顶点引一条射线,把这个角分成两个角,并且这两个角的度数之比为 1∶2,这条射线叫做这个角的三分线.显然,一个角的三分线有两条.如图所示,∠AOB=120°,OC,OD是∠AOB的两条三分
线,以点O为中心,将∠COD按顺时针方向旋转n°(n<90)得到∠C′OD′,当OA恰好是∠C′OD′的三分线时,n的值为 .
19或71
6.一副三角板按如图所示的形式摆放,把含45°角的三角板固定,含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转,设旋转的角度为α(0°<α<130°).在旋转过程中,当两块三角板有两边平行时,α的度数为 .
30°或45°或120°
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=20°,将△ABC绕点C旋转至△A′B′C,点A,B分别与点A′,B′对应,如果直线A′B′⊥直线AB,那么∠B′A′A的度数为 .
65°或25°
类型三 旋转作图
9.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.
(1)尺规作图:将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′,并使点C′落在边AB上(要求:不写作法,保留作图痕迹);
解:(1)如图所示,△AB′C′即为所求.
(2)连接BB,求B′B的长.
10.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将线段CA绕点C逆时针旋转60°,得到线段CD,连接AD,BD.
(1)依题意补全图形;
解:(1)如图所示,即为补全的图形.
(2)若BC=1,求线段BD的长.
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23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
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自主导学
分层精练
1.中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转 ,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做 .
.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的
.
2.中心对称的性质
(1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 ,而且被对称中心所 ;
(2)中心对称的两个图形是 图形.
180°
自主导学
对称
中心
对称点
对称中心
平分
全等
A 基础对点练
分层精练
知识点1 中心对称的概念和性质
DO
1.如图所示,已知△ABC和△DEF关于点O对称,则AO= ,BO= , CO= .点A关于对称中心O的对称点是 ,点B关于对称中心O的对称点是 ,点C关于对称中心O的对称点是 .
EO
FO
点D
点E
点F
2.如图所示,△ABC和△A′B′C′关于点O中心对称,如果连接AA′, BB′,CC′,那么它们都经过点 ,且AB= ,∠A= , OA= .
O
A′B′
∠A′
OA′
3.如图所示,△ABO与△DCO是成中心对称的两个图形,则:
(1)对称中心是 ;
(2)点A的对称点是点 ;
(3)OB= ,AB= ;
(4)△ABO △DCO.
4.小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称.如果小明家距学校3 km,那么他们两家相距 km.
O
D
OC
DC
≌
6
知识点2 利用中心对称的性质作图
5.(2023昆明五华区期中节选)如图所示,在网格中建立如图所示的直角坐标系xOy,△ABC在第二象限内,且顶点A,B,C均在格点上,画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标.
解:如图所示.
由图可得点A1的坐标为(2,-3).
B 能力达标练
6.如图所示,已知点O是 ABCD的对称中心,S ABCD=24 cm2,线段GH和MN都经过点O,其中点M,G在AD上,点H,N在BC上,连接OA和OD,则该图中阴影部分的面积为 cm2.
6
7.如图所示,在平面直角坐标系中,若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称,则对称中心E的坐标是 .
(3,-1)
8.如图所示,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE,求证:DF=BE.
9.如图所示,已知线段AB和点P,请利用中心对称的性质作平行四边
形ABCD,使点P是它的对称中心.
解:如图所示.
作法:①连接AP并延长至C,使PC=PA;
②连接BP并延长至D,使PD=PB;
③连接BC,CD,DA.
四边形ABCD即为所求.
C 素养提升练
10.(模型观念)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图(1)所示,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2
解决问题:如图(2)所示,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
(1)求证:BE+CF>EF;
(1)证明:
如图所示,延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG,EG,易得CF=BG.
∵DE⊥DF,∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,
即BE+CF>EF.
(2)若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系.
(2)解:若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°.
易知∠FCD=∠DBG.
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°.
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2.
∴BE2+CF2=EF2.
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第2课时 旋转作图
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自主导学
分层精练
旋转作图的步骤
(1)确定旋转中心、旋转角度、旋转方向;
(2)找出图形的关键点;
(3)作出关键点经旋转后的对应点;
(4)按顺序连接对应点,得到旋转后的图形.
注意:选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案,会出现不同的效果.
【方法技巧】确定旋转中心的方法(尺规作图)——任意连接两组对应点,作每组对应点所连线段的垂直平分线,其交点即为旋转中心.
自主导学
A 基础对点练
分层精练
知识点1 旋转作图
C
1.如图所示,射线OP绕端点O从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形是( )
A.扇形 B.圆弧 C.角 D.三角形
2.如图所示,将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后,得到的图形为( )
A
3.如图所示,以点O为旋转中心,把△ABC顺时针旋转120°,得到△A′B′C′,画出△A′B′C′.
解:如图所示,△A′B′C′为所求.
知识点2 平面直角坐标系中的图形旋转
(0,2)
4.在平面直角坐标系中,点(-2,0)绕原点O顺时针旋转90°后所得点的坐标是 .
5.(教材P62习题T1变式)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为 A(0,2),B(3,3),C(2,1).
(1)作出△ABC以点A为旋转中心,逆时针旋转90°后的△AB1C1;
(2)作出△ABC以点O为旋转中心,逆时针旋转180°后的△A2B2C2.
解:(1)如图所示,△AB1C1为所作三角形.
(2)如图所示,△A2B2C2为所作三角形.
B 能力达标练
C
6.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE,则下列作图正确的是( )
7.在平面直角坐标系xOy中,A点坐标为(3,4),AB垂直于x轴,垂足为B,将△OAB绕点B顺时针旋转90°,则点A的对应点的坐标是( )
A.(1,0) B.(-1,0)
C.(-7,0) D.(7,0)
8.如图所示,在正方形网格中,线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合(C,D均为格点,A的对应点是点C),若点A的坐标为(-1,5),点B的坐标为(3,3),则旋转中心O点的坐标为( )
A.(1,1) B.(4,4)
C.(2,1) D.(1,1)或(4,4)
D
A
9.(易错题)如图所示,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,若将A(5,2)绕点O逆时针旋转90°得到点A′,则点A′的坐标是 .
(-2,5)
10.问题情境:建筑模型设计选修课上,同学们探索结构稳定性模型,先需解决以下问题:如图所示,在△ABC中,∠ADC=120°.
(1)操作:将线段AC绕点A顺时针旋转60°至线段AE;
(1)解:分别以点A,点C为圆心,以AC长为半径画弧,两弧在AC下方交于点E,连接AE,则AE就是所要求作的线段,如图所示.
(2)求证:∠ACB=∠DAE.
(2)证明:∵∠ADC=120°,
∴∠ACB+∠CAD=60°.
又∵∠CAE=∠CAD+∠DAE=60°,
∴∠ACB=∠DAE.
C 素养提升练
11.(几何直观)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(3,0),点B(0,4),把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′BO′,点A,O旋转后的对应点为A′, O′,记旋转角为α.
(1)如图(1)所示,若α=90°,求AA′的长;
(2)如图(2)所示,若α=45°,求点O′的坐标.
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23.3 课题学习 图案设计
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自主导学
分层精练
1.我们可以利用平移、轴对称和 中这三种图形运动中的一种进行图案设计,还可以利用它们的组合进行图案设计.
自主导学
旋转
重合
A 基础对点练
分层精练
知识点1 图案的形成过程
B
1.下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是
( )
D
2.(教材P76习题T6变式)如图所示,将甲图经图形变换到乙图,下列说法错误的是( )
A.可以通过平移和旋转实现
B.可以通过轴对称和旋转实现
C.必须通过旋转才能实现
D.不必通过旋转就能实现
3.下列图案设计的四个图案中,是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
4.(教材P76习题T5变式)如图所示,已知等边三角形ABC和等边三角
形BDE,其中A,B,D三个点在同一条直线上,且ABA.△BDE可看作是△ABC沿AB方向平移所得
B.△ABC和△BDE关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称
C.△BCD可看作是由△ABE绕点B顺时针方向旋转60°所得
D.△ABC和△BDE关于点B成中心对称
C
5.在冬奥会开幕式上,美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质.如图所示,雪花图案本身的设计呈现出充分的美感,它是一个中心对称图形.其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的,这个角的度数可以是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
6.如图所示的图案绕中心旋转n°后能与原来的图案完全重合,则n的最小值为 .
45
知识点2 图案设计
B
7.在3×3的正方形网格中,把3个小正方形涂上阴影.下列各图中,这三个小正方形组成的图案不是轴对称图形的是( )
8.如图所示是由全等的小等边三角形组成的网格,其中有3个小三角形被涂成了黑色(用阴影表示).若平移其中1个阴影三角形到空白网格
中,使阴影部分构成的图形为轴对称图形,则平移的方法共有( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
C
9.下列正方形网格图中,部分方格涂上了阴影,请按照不同要求作图.
(1)如图(1)所示,整个图形是轴对称图形,画出它的对称轴;
解:(1)如图①所示,直线m即为所求.
(2)如图(2)所示,将某一个方格涂上阴影,使整个图形有两条对称轴;
(3)如图(3)所示,将某一个方格涂上阴影,使整个图形有四条对称轴.
解:(2)如图②所示,图形即为所求.
(3)如图③所示,图形即为所求.
B 能力达标练
6
10.(2023淄博)在边长为1的正方形网格中,右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的,则平移的距离是 .
11.如图所示,在正方形网格中,图①经过 变换可以得到图②;图③是由图②绕点 (选填“A”“B”或“C”)顺时针旋转 度得到的.
平移
A
90
12.(易错题)如图所示,这是一个风车图案,这个图案绕它的中心旋转相同的角度后能够与它本身重合,则旋转角度最小是 .
90°
13.如图(1)、图(2)所示,都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中,分别按下列要求选取一个涂上阴影.
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形;
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.
(请将两个小题依次作答在图(1),图(2)中,均只需画出符合条件的一种情形)
解:(1)轴对称图形如图①所示(答案不唯一).
(2)中心对称图形如图②所示(答案不唯一).
C 素养提升练
14.(模型观念)如图所示的是用围棋子摆出的图案(把棋子的位置用有序数对表示,如A点在(5,1)),如果再摆一黑一白两枚棋子,使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,则下列摆放正确的是
( )
A.黑(3,3),白(3,1)
B.黑(3,1),白(3,3)
C.黑(1,5),白(5,5)
D.黑(3,2),白(3,3)
B
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23.2.3 关于原点对称的点的坐标
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自主导学
分层精练
1.关于原点对称的点的坐标特征
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号 ,即点P(x,y)关于原点的对称点为点P′ .
2.图形的变换
平面图形的变换主要包括 、 、 .
自主导学
相反
(-x,-y)
平移变换
对称变换
旋转变换
A 基础对点练
分层精练
知识点1 关于原点对称的点的坐标特征
C
1.在平面直角坐标系中,点P(-3,-5)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(3,-5) B.(-3,5)
C.(3,5) D.(-3,-5)
2.在平面直角坐标系中,点A(7,2)与点B关于原点对称,则点B的位置在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2023昆明官渡区期中)若点A(-2,3)与点B关于原点对称,则点B的坐标为 .
C
(2,-3)
知识点2 平面直角坐标系中的图形变换
4.如图所示,△ABC的顶点坐标分别为 A(-2,5),B(-4,1)和C(-1,3).
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标;
(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点A2,B2,C2的坐标.
解:(1)如图所示,△A1B1C1为所求.点A1,B1,C1的坐标分别为(-2,-5), (-4,-1),(-1,-3).
(2)如图所示,△A2B2C2为所求.点A2, B2,C2的坐标分别为(2,-5),(4,-1), (1,-3).
B 能力达标练
5.(2024曲靖期末)点M(a,5)与点 N(-3,b)关于原点对称,则点(a,b)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.(易错题)已知点A(-3,4)与点B关于y轴对称,点P与点B关于原点对
称,则点P的坐标为( )
A.(-3,4) B.(3,-4)
C.(3,4) D.(-3,-4)
D
D
7.若点P(a+1,a-2)关于原点对称的点位于第二象限,则a的取值范围表示正确的是( )
8.(2023昆明西山区期中)已知点A(2,4)与点 B(b-1,2a)关于原点对
称,则a-b= .
9.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(a,3),点B的坐标是(4,b),若点A与点B关于原点O对称,则ab= .
C
-1
12
(-3,4)
(-3,5)
12.(教材P69练习T3变式拓展)在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点C1的坐标是
.
(4,-1)
13.已知点P(2x,y2+4)与Q(x2+1,-4y)关于原点对称,求x+y的值.
解:∵点P(2x,y2+4)与Q(x2+1,-4y)关于原点对称,
∴x2+1+2x=0,y2+4-4y=0.
∴(x+1)2=0,(y-2)2=0,
解得x=-1,y=2.∴x+y=1.
14.(2023官渡区期中变式)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点在格点上(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1,
并写出B1点的坐标;
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,画出旋转后
得到的△A2B2C2;
(3)求△ABC的面积.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,B1点的坐标为(-4,-2).
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
C 素养提升练
15.(模型观念)如图所示, ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,以O为坐标原点,建立平面直角坐标系,点A的坐标为(-3,2),点B的坐标为(2,2).
(1)求点C,D的坐标;
解:(1)∵ ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,O为坐标原点,
∴点D与点B、点C与点A关于原点O对称.
∵点A的坐标为(-3,2),点B的坐标为(2,2),
∴点D的坐标为(-2,-2),点C的坐标为(3,-2).
(2)求S ABCD.
解:(2)作BE⊥CD于点E,如图所示.
∵点A的坐标为(-3,2),点B的坐标为(2,2),
∴AB=2+3=5.
∵点C的坐标为(3,-2),
∴BE=2+2=4.
∴S ABCD=AB·BE=5×4=20.
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23.2.2 中心对称图形
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自主导学
分层精练
1.中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的
.
2.中心对称图形和轴对称图形的区别
180°
自主导学
对称中心
名称 中心对称图形 轴对称图形
区别 对称中心—— 对称轴——
图形绕对称中心旋转 ,旋转后与原图形 图形沿对称轴折叠后,对称轴 重合
点
直线
180°
重合
两边的部分
A 基础对点练
分层精练
知识点1 中心对称图形
1.(2024曲靖期末)下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A
2.(2024云大附中期末)数学世界奇妙无穷,其中曲线是微分几何的研究对象之一,下列数学曲线是中心对称图形的是( )
C
3.(教材P67练习T1变式)在①平行四边形;②正方形;③等边三角形;
④等腰梯形;⑤菱形;⑥圆;⑦正八边形这些图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (填序号).
4.(教材P76练习T3变式)汉字“一、中、王、木”它们都是 图形,其中“ ”几个字也可看成中心对称图形.
②⑤⑥⑦
轴对称
一、中、王
知识点2 中心对称图形的性质
5.如图所示,直线EF经过 ABCD的对角线的交点O,若AE=3 cm,四边形AEFB的面积为15 cm2,则CF= ,四边形EDCF的面积为 .
3 cm
15 cm2
B 能力达标练
6.(2023昆明五华区期中)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.以下剪纸中,为中心对称图形的是( )
C
7.如图所示的是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形,则此图形的对称中心是( )
A.P点 B.M点 C.N点 D.Q点
8.线段是中心对称图形,对称中心是 .
A
线段的中点
9.如图所示,△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形,点A的对称点是点A1,已知AO=4 cm,那么AA1= cm.
10.正方形是中心对称图形,它绕它的中心旋转一周和原来的图形重合
次.
11.(易错题)将数字“6”旋转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字“6”,现将数字“689”整体旋转180°,得到的数字是 .
8
4
689
12.如图所示,在直角坐标系中,A(0,4),B(-3,0).
(1)①画出线段AB关于y轴对称的线段AC;
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角,得到对应线段CD,
连接AD,使得AD∥x轴,请画出线段CD;
(2)判断四边形ABCD的形状: .
解:(1)①如图所示.②直线CD如图所示.
(2)平行四边形
(3)若直线y=kx平分(1)中四边形ABCD的面积,请求出实数k的值.
C 素养提升练
13.(推理能力)如图所示,在△ABC中,点D是AB边上的中点,已知AC=4,
BC=6,
(1)画出△BCD关于点D的中心对称图形;
解:(1)所画图形如图所示.△ADE就是所作的图形.
(2)根据图形说明线段CD长的取值范围.
解:(2)由(1)知△ADE≌△BDC,则CD=DE,AE=BC,
∴AE-AC<2CD即BC-AC<2CD∴2<2CD<10,
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23.1 图形的旋转
第1课时 认识图形的旋转
第二十三章 旋 转
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自主导学
分层精练
旋转的概念和性质
(1)概念:把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度,叫做图形的旋转.这一点叫做 ,转动的角叫做 .如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点;
(2)性质:①对应点到旋转中心的距离 ;
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ;
③旋转前、后的图形 .
【归纳总结】图形作旋转运动时,有n组对应点(除重合点外),便有n个相等的旋转角.
旋转中心
自主导学
旋转角
相等
旋转角
全等
A 基础对点练
分层精练
知识点1 生活中的旋转现象
C
1.下列现象:①地下水位逐年下降;②传送带的移动;③方向盘的转动;④水龙头开关的转动;⑤钟摆的运动;⑥荡秋千运动.其中属于旋转的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
①②③
2.(教材P59练习T1变式)下列现象:①转动的陀螺;②飞行中的直升机螺旋桨;③运动中的龙卷风;④流水线上的电视机.其中属于旋转的有
(填序号).
知识点2 旋转的概念和性质
B
3.如图所示,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上,则∠B的大小为( )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
4.(2023昆明期中)如图所示,把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,∠1=30°,则∠BAE等于( )
A.70° B.40°
C.30° D.10°
A
5.如图所示,一个直角三角板ABC绕其直角顶点C旋转到△DEC的位置,若∠BCD=29°30′,则下列结论错误的是( )
A.∠ACD=119°30′
B.∠ACD=∠BCE
C.∠ACE=150°30′
D.∠ACE-∠BCD=120°
D
6.如图所示,△AOB绕着点O旋转至△A′OB′,此时,点B的对应点是
;旋转中心是 ,旋转角为 ;∠A的对应角是 ,线段OB的对应线段是 .
点B′
点O
∠AOA′或∠BOB′
∠A′
OB′
7.(2024云师大实验期末)如图所示,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是 °.
60
B 能力达标练
8.(教材9上P61习题T1变式)如图所示,小明坐在秋千上,秋千旋转了
76°,小明的位置也从A点运动到了A′点,则∠OAA′的度数为( )
A.28° B.52°
C.74° D.76°
B
9.(2024昆五中期末)如图所示,已知 ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到 △BA′E′,连接
DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为( )
A.140° B.150°
C.160° D.170°
C
10.(2024昆明盘龙区期末)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=
50°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到 △A′BC′,使点C的对应点C′恰好落在边AB上,则∠CAA′的度数是( )
A.50° B.70°
C.110° D.120°
D
11.时钟的时针在不停地转动,一小时时间,时针转动 度,从上午6时到上午10时,时针旋转的角度为 度.
12.如图所示,四边形ABCD是正方形,点P在CD上,△ADP旋转后能够与△ABP′重合,若 AB=3,DP=1,则 PP′= .
30
120
13.(2023昆明五华区期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE,点C,A的对应点分别为E,F,点E落在BA上,连接AF.
(1)若∠BAC=40°.则∠BAF的度数为 ;
解:(1)65°
(2)若AC=8,BC=6,求AF的长.
C 素养提升练
14.(模型观念)将两块全等的含30°角的直角三角板按如图(1)所示的方式放置,已知∠BAC=∠B1A1C=30°,AB=2BC.固定三角板A1B1C,然后将三角板ABC绕点C顺时针旋转至如图(2)所示的位置,AB与A1C,A1B1分别交于点D,E,AC与A1B1交于点F.
(1)当旋转角等于20°时,∠BCB1= 度.
解:(1)160
(2)当旋转角等于多少度时,AB与A1B1垂直
解:(2)∵AB⊥A1B1,
∴∠A1DE=90°-∠B1A1C=90°-30°=60°.
∴∠ACA1=∠A1DE-∠BAC=60°-30°=30°,
即旋转角为30°时,AB与A1B1垂直.
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