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专题八 与弧长和扇形面积有关的计算
C
D
B
C
B
D
7.如图所示,半径为30 cm的转动轮转过60°时,传送带上的物体A平移的距离为 cm.
10π
(-1,-2 022)
11.某种冰激凌的外包装可以视为圆锥[如图(1)所示],制作这种外包装需要用如图(2)所示的等腰三角形材料,其中AB=AC,AD⊥BC,将扇形AEF围成圆锥时,AE,AF恰好重合,已知这种加工材料的顶角∠BAC=90°.
(1)求图(1)中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值;
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分[图(2)中阴影部分]的面积(结果保留π).
12.(2024曲靖期末)如图所示,已知△ABC是等边三角形,AB=8,点D是AC的中点,把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△BCE,点D的对应点是点E,连接DE.
(1)试判断△BDE的形状,并说明理由;
解:(1)△BDE是等边三角形.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.
∵把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△BCE,
∴∠ABD=∠CBE,BD=BE.
∴∠ABD+∠CBD=∠CBE+∠CBD,
即∠ABC=∠DBE=60°.∴△BDE是等边三角形.
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24.3 正多边形和圆
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自主导学
分层精练
1.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ;
(2)外接圆的半径叫做正多边形的 ;
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ;
(4)中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 .
中心
自主导学
半径
中心角
边心距
A 基础对点练
分层精练
知识点1 正多边形与圆的关系
1.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆,那么这个四边形一定是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.不能确定
C
2.如图所示,已知△ABC是☉O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB.求证:五边形AEBCD是正五边形.
知识点2 与正多边形有关的计算
3.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是
( )
A.4 B.5 C.6 D.7
B
4.(数学文化)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率,开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中,作了一个如图所示的圆内接正八边形.若☉O的半径为1,则这个圆内接正八边形的面积为( )
D
5.如图所示,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=20 mm,则边长a= mm.
知识点3 与正多边形有关的作图
6.如图所示,已知☉O和☉O上的一点A,作☉O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点).
解:如图所示,四边形ABCD为内接正方形,六边形AHGCFE为内接正六边形.
B 能力达标练
7.如图所示,点A,B,C,D为一个正多边形的顶点,点O为正多边形的中
心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为( )
A.10 B.12 C.15 D.20
A
8.如图所示,边长为4的正方形ABCD外切于☉O,切点分别为E,F,G,H,则图中阴影部分的面积为 .
2π+4
9.如图所示,M,N分别是半径为R的☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
(1)图(1)中∠MON的度数为 ,S四边形OMBN= (用含R的式子表示);
(2)图(2)中∠MON的度数为 ,图(3) 中∠MON的度数为 ;
(3)①∠MON的度数与正n边形的边数n的关系是 (直接写出结果);
②当n=8,R=2时,求S四边形OMBN的值.
C 素养提升练
10.(推理能力)如图所示,正五边形ABCDE内接于☉O,对角线AC和BE相交于点M.求证:
(1)AC∥DE;
(2)ME=AE.
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24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
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自主导学
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自主导学
半径
弧
A 基础对点练
分层精练
知识点1 弧长公式及其应用
C
B
知识点2 扇形的面积公式及其应用
3.已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π,该扇形的面积为( )
A.18π B.27π C.36π D.54π
B
B
6.如图所示,在☉O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接AC,AD.若∠C=30°,OC=3,求阴影部分的面积.
B 能力达标练
C
8.(2024云大附中期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当
AC=a,BC=b时,则阴影部分的面积为 (用含有a,b的式子表示).
9.如图所示,AB为☉O的直径,AB=AC,BC交☉O于点D,AC交☉O于点E,
∠BAC=45°.
(1)求∠EBC的大小;
(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
C 素养提升练
10.(推理能力)如图所示,把Rt△ACB的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到 △A″B′C′的位置.若BC=1,
∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.
(1)求点A经过的路径长是多少
(2)点A所经过的路径与l所围成的图形的面积是多少(计算结果不取近似值)
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24.1.3 弧、弦、圆心角
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1.对称性
圆是中心对称图形,对称中心是 .
2.圆心角
顶点在 的角.
3.圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量都 .
圆心
自主导学
圆心
相等
A 基础对点练
分层精练
知识点1 圆心角的概念及其计算
1.下列图形中,∠AOB为圆心角的是( )
C
2.圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
60
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
C
40°
6.如图所示,C,D是以AB为直径的☉O上的两点,且OD∥BC.求证:AD=DC.
证明:∵OD∥BC,
∴∠AOD=∠B,∠DOC=∠OCB.
∵OB=OC,
∴∠B=∠OCB.
∴∠AOD=∠DOC.
∴AD=DC.
B 能力达标练
7.下列语句中,正确的有( )
①相等的圆心角所对的弧相等;
②等弦对等弧;
③长度相等的两条弧是等弧;
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
8.如图所示,AB和DE是☉O的直径,弦 AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE= .
3
(2)求证:OC∥BD.
C 素养提升练
(2)作半径ON⊥AB于点M,若AB=12,MN=3,求OM的长.
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24.1.4 圆周角
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1.定义
顶点在圆上,并且两边都与圆 的角.
2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .
3.推论
同弧或等弧所对的圆周角 ;半圆(或直径)所对的圆周角是
;90°的圆周角所对的弦是 .
4.圆内接多边形
(1)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做
,这个圆叫做这个多边形的 ;
(2)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角 .
相交
自主导学
一半
相等
直角
直径
圆内接多边形
外接圆
互补
A 基础对点练
分层精练
知识点1 圆周角的概念
1.下列四个图中,∠x是圆周角的是( )
C
D
知识点2 圆周角定理
知识点3 圆周角定理的推论
3.如图所示,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD=38°,则∠ABD等于( )
A.38° B.52° C.54° D.62°
B
4.一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作如图所示的测量,测得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为 cm.
知识点4 圆内接四边形
6.如图所示,已知四边形ABCD内接于☉O,若∠ADC=110°,则∠AOC等于( )
A.130° B.140°
C.150° D.160°
B
7.如图所示,在圆内接四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2∶4∶7,则 ∠D= .
100°
B 能力达标练
D
10.如图所示,△ABC与☉O交于D,E两点,AB是直径,且长为12,OD∥BC.
(1)若∠B=40°,求∠A的度数;
(2)证明:CD=DE.
(2)证明:∵四边形ABED内接于☉O,
∴∠ADE+∠B=180°,∠DEB+∠A=180°.
又∵∠ADE+∠CDE=180°,∠DEB+∠DEC=180°,
∴∠CDE=∠B,∠DEC=∠A.
∴∠CDE=∠AOD.
∵∠C=180°-∠CDE-∠DEC,
∠ADO=180°-∠A-∠AOD,
∴∠C=∠ADO=∠A.
∴∠C=∠DEC.∴CD=DE.
C 素养提升练
(2)若OF=1,求AD的长.
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24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
第二十四章 圆
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1.圆的定义
圆的旋转定义:在一个平面内,线段绕它固定的一个端点旋转 ,另一个端点所形成的图形叫做圆;
圆的集合定义:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于 的点的集合.
2.相关概念
弦:连接圆上任意两点的 ;经过圆心的弦叫做 .
弧:圆上任意两点间的 ,包括半圆、优弧( 半圆的弧)、劣弧( 半圆的弧);
等圆:能够 的两个圆( 相等的两个圆是等圆);
等弧:在同圆或等圆中,能够互相 的弧.
一周
自主导学
定长r
线段
直径
部分
大于
小于
重合
半径
重合
A 基础对点练
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知识点1 圆的定义
D
1.下列条件中,能确定圆的是( )
A.以已知点O为圆心
B.以1 cm长为半径
C.经过已知点A,且半径为2 cm
D.以点O为圆心,1 cm长为半径
2.把圆规的两脚分开,两脚间的距离是3 cm,再把有针尖的一只脚固定在一点上,把装有铅笔尖的一只脚旋转一周,就画出一个圆,则这个圆的( )
A.半径是3 cm B.直径是3 cm
C.周长是3π cm D.面积是3π cm2
A
3.如图所示,BD,CE是△ABC的高,O为BC的中点,连接OD,OE.求证:B,C, D,E四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
知识点2 与圆有关的概念的应用
D
4.下列说法中,不正确的是( )
A.过圆心的弦是圆的直径,且直径是圆中最长的弦
B.等弧的长度一定相等
C.周长相等的两个圆是等圆
D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧
5.如图所示,点M是☉O上的任意一点,有下列结论:①以M为端点的弦只有一条;②以M 为端点的直径只有一条;③以M为端点的弧只有一条.则下列说法正确的是( )
A.①,②错误,③正确
B.②,③错误,①正确
C.①,③错误,②正确
D.①,②,③错误
C
6.如图所示,OA,OB为☉O的半径,C,D分别为OA,OB的中点.求证:AD=BC.
B 能力达标练
7.如图所示,AB是☉O的直径,D,C在☉O上,AD∥OC,∠DAB=60°,连接AC,则∠DAC等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
B
D
9.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,则AB的长是 .
10
10.如图所示,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,∠E=18°,求∠AOC的度数.
解:如图所示,连接OD.
∵AB为☉O的直径,OC,OD为半径,AB=2DE,
∴OC=OD=DE.
又∠ODC=∠DOE+∠E,∴∠OCE=∠ODC=2∠E.
∵∠E=18°,∴∠OCE=36°.
∴∠AOC=∠OCE+∠E=36°+18°=54°.
11.如图所示,已知AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,CD⊥AB于点D, ADC 素养提升练
=
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第2课时 圆锥的侧面积和全面积
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自主导学
1.圆锥的基本认识
圆锥是由一个 和一个 围成的几何体,连接圆锥 和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
2.圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个 ;扇形的半径为圆锥的 ;扇形的弧长为圆锥底面圆的 .
底面
侧面
顶点
扇形
母线
周长
3.圆锥的计算
如图所示,若设圆锥底面半径为r,高是h,母线长是l, 则有:
(1)圆锥的侧面积S侧=S扇形= ;
(2)圆锥的全面积S全=S底+S侧= .
πrl
πr(r+l)
A 基础对点练
分层精练
知识点 圆锥的侧面积及全面积
1.(2023东营)如果圆锥侧面展开图的面积是15π,母线长是5,则这个圆锥的底面半径是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.用一张半圆形铁皮,围成一个底面半径为 4 cm 的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则圆锥的母线长为( )
A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm
A
B
120
3π
180°
6.如图所示,蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成的,现想用毛毡搭建底面积为9π m2,高为6 m,外围高为2 m的蒙古包,求至少需要多少平方米的毛毡(结果保留π)
B 能力达标练
D
C
9.(2023娄底)如图所示,在△ABC中,AC=3,AB=4,BC边上的高AD=2,将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 (结果保留π).
14π
11.如图所示,圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍.
(1)求它的侧面展开图的圆心角;
(2)当圆锥的底面半径r=4时,求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长.
12.(几何直观)如图所示,把扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起,且∠AOB=∠COD,连接AC,BD.
(1)求证:△AOC≌△BOD;
C 素养提升练
(3)在(2)的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高.
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专题七 切线的判定和性质的综合应用
1.如图所示,在△ABE中,AB=AE,以AB为直径作☉O,与边BE交于点C,过点C作CD⊥AE,垂足为D.
类型一 连半径,证垂直
(1)证明:如图所示,连接OC,
∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.
∵AB=AE,∴∠E=∠B.
∴∠OCB=∠E.∴OC∥AE.
∵CD⊥AE于点D,
∴∠CDE=90°.∴∠OCD=∠CDE=90°.
∵OC是☉O的半径,且CD⊥OC,
∴CD是☉O的切线.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.
2.如图所示,已知△ABC是等边三角形,以AB为直径作☉O,交BC边于点D,交AC边于点F,作DE⊥AC于点E.
(1)证明:如图①所示,连接OD.
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.
∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°.∴∠EDC=30°.
∵OB=OD,∴∠ODB=∠B=60°.
∴∠ODE=180°-60°-30°=90°.
∴OD⊥DE.
又∵OD是☉O的半径,
∴DE是☉O的切线.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若△ABC的边长为4,求EF的长度.
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB的平分线CO交AB于点O,以点O为圆心的☉O与AC相切于点D.
类型二 作垂直,证半径
(1)证明:如图所示,过点O作OF⊥BC,垂足为F,连接OD.
∵AC是☉O的切线,
∴OD⊥AC.
又∵CO为∠ACB的平分线,
∴OF=OD,
即OF是☉O的半径.
∴BC与☉O相切.
(1)求证:BC与☉O相切;
(2)若AC=3,BC=6,求☉O的半径.
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O是AB边上的一点,以OA为半径的☉O与边BC相切于点E.
类型三 切线性质的应用
(1)若AB=8,☉O的半径为3,求AC的长;
(2)过点E作弦EF⊥AB于点G,连接AF,若∠AFE=2∠ABC.求证:四边形ACEF是菱形.
(2)证明:由圆周角定理,得∠AOE=2∠AFE,
∵∠AFE=2∠ABC,
∴∠AOE=4∠ABC.
∵∠AOE=90°+∠ABC,
∴∠ABC=30°.
∴∠AFE=60°.
∵EF⊥AB,
∴∠FEB=60°.
∴∠AFE=∠FEB.
∴AF∥BC.
∵∠BAC=90°,EF⊥AB,
∴AC∥EF.
∴四边形ACEF为平行四边形.
∵CA=CE,
∴四边形ACEF为菱形.
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专题六 与圆的基本性质有关的计算与
证明
C
1.如图所示,弦AB的长为16,圆的半径为10,则圆心O到弦AB的距离为
( )
A.10 B.8 C.6 D.4
C
B
4.如图所示,在☉O中,∠AOB=58°,OB⊥AC于点D,则∠OBC= 度.
5.(易错题)已知,☉O的直径CD=10,弦AB=8,AB⊥CD,垂足为M,则DM的长为 .
61
8或2
(2)若☉O的半径为3,求BC的长.
解:(2)如图所示,连接OB,OC.
∵∠BDC=30°,
∴∠BOC=60°.
∵OC=OB,
∴△OBC是等边三角形.
∴BC=OB=3.
7.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,DB=DC.求证:AD是△ABC外角∠EAC的平分线.
证明:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠DCB+∠DAB=180°.
又∵∠EAD+∠DAB=180°,
∴∠DCB=∠EAD.
∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB.
∵∠DBC=∠DAC,∴∠DAC=∠EAD.∴AD平分∠EAC.
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A
D
B
C(共17张PPT)
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
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自主导学
分层精练
1.直线和圆的位置关系
(1)相交:直线和圆有 公共点.我们说直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线;
(2)相切:直线和圆 公共点,我们说直线和圆相切,这条直线叫做圆的 ,这个点叫做切点;
(3)相离:直线和圆 公共点,我们说这条直线和圆相离.
2.利用圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系
设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有
(1)d r 直线l和☉O ;
(2)d r 直线l和☉O ;
(3)d r 直线l和☉O .
自主导学
两个
只有一个
切线
没有
<
相交
=
相切
>
相离
A 基础对点练
分层精练
知识点1 直线与圆的位置关系的判断
1.已知☉O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为6.5 cm,则直线l和☉O的公共点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.无法确定
C
2.(2024昆明盘龙区期末)如图所示,∠AOB=30°,C为OB上一点,且OC=
3,CD⊥OA于点D,以点C为圆心,半径为1的圆与OA的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上三种情况均有可能
C
3.在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆( )
A.与x轴相交,与y轴相切
B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交
D.与x轴相切,与y轴相离
C
知识点2 直线与圆的位置关系的应用
4.直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是( )
A.r<6 B.r=6
C.r>6 D.r≥6
C
5.如图所示,已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm.
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,直线AB与☉C相切
(2)分别以点C为圆心,2 cm和4 cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系
B 能力达标练
C
8.如图所示,半径为2的☉P的圆心在直线y=2x-1上运动.
(1)当☉P和x轴相切时,写出点P的坐标,并判断此时y轴与☉P的位置关系.
解:(1)∵☉P的圆心在直线y=2x-1上,
∴圆心坐标可设为(x,2x-1).
当☉P和x轴相切时,2x-1=2或2x-1=-2,
解得x1=1.5,x2=-0.5.
∴点P的坐标为(1.5,2)或(-0.5,-2).
∵1.5<2,|-0.5|<2,
∴y轴与☉P相交.
(2)当☉P和y轴相切时,写出点P的坐标,并判断此时x轴与☉P的位置关系.
解:(2)当☉P和y轴相切时,x=2或-2.
得2x-1=3或2x-1=-5.
则点P的坐标为(2,3)或(-2,-5).
∵|-5|>2,3>2,
∴x轴与☉P相离.
C 素养提升练
9.(模型观念)如图所示,有两条公路OM,ON相交成30°角,沿公路OM方向离O点80 m处有一所学校A,重型运输卡车P从点O出发沿公路ON方向行驶,在以点P为圆心,50 m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.已知重型运输卡车P沿公路ON方向行驶的速度为18 km/h.
(1)求对学校A的噪声影响最大时,卡车P与学校A的距离;
(2)求卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.
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24.1.2 垂直于弦的直径
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自主导学
分层精练
1.对称性
圆是轴对称图形,任何一条 都是圆的对称轴.
2.垂径定理
垂直于弦的直径 弦,并且 弦所对的两条弧.
3.推论
平分弦(不是直径)的直径 于弦,并且平分弦所对的两条弧.
直径所在的直线
自主导学
平分
平分
垂直
A 基础对点练
分层精练
知识点1 圆的对称性
C
1.下列语句中,不正确的是( )
A.圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形
B.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57′时,不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
知识点2 垂径定理
D
2.如图所示,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是
( )
3.(2024昆五中期末)如图所示,在半径为 5 cm 的☉O中,弦AB=6 cm,
OC⊥AB于点C,则OC= .
4 cm
知识点3 垂径定理的推论
D
4.下列说法正确的是( )
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
5.如图所示,☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AM=BM,OM∶OC=3∶5,则AB的长为( )
A
6.如图所示,AB是☉O的直径,∠BAC=42°,D是弦AC的中点,则∠DOC=
°.
48
B 能力达标练
7.如图所示,☉O的半径为5,弦AB=8,点M是弦AB上的动点,则( )
A.4≤OM≤5 B.3≤OM<5
C.3D
8.(2024曲靖期末)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,以AB为直径的☉D经过点O,连接OD,过点D作 DE⊥AO于点E,若 ∠ADO=120°,AB=4,则圆心点D的坐标是 .
9.已知:如图所示,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3 cm,DB=
10 cm,以DB为直径作☉O交射线AP于E,F两点.
(1)求圆心O到AP的距离;
(2)求弦EF的长.
C 素养提升练
10.(模型观念)某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为24 m,拱顶高出水面8 m(即CD=8 m),OC⊥AB于点D(点O为圆心).
(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径.
(2)现有一艘宽10 m,船舱高出水面7.5 m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座桥吗
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
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自主导学
分层精练
1.点和圆的位置关系
设☉O的半径为r,点P到圆心O的距离是d,则有
(1)点P在☉O外 d r;
(2)点P在☉O上 d r;
(3)点P在☉O内 d r.
2.三角形的外接圆
(1)不在同一条直线上的 确定一个圆;
>
自主导学
=
<
三个点
(2)经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做这个三角形的 ,外心到三角形 的距离相等;
(3)三角形的外心是三角形 的交点,其中直角三角形的外心是 的中点,锐角三角形的外心在三角形的 ,钝角三角形的外心在三角形的 .
外心
三个顶点
三条边的垂直平分线
斜边
内部
外部
A 基础对点练
分层精练
知识点1 点与圆的位置关系
1.已知☉O的半径为4,OP=3,则点P与☉O的位置关系是( )
A.点P在☉O内 B.点P在☉O上
C.点P在☉O外 D.不能确定
2.若点A在☉O内,点B在☉O外,OA=3,OB=5,则☉O的半径r的取值范围是
( )
A.0C.35
A
C
知识点2 过已知点作圆
3.下列条件中不能确定一个圆的是( )
A.圆心与半径
B.直径
C.三角形的三个顶点
D.平面上的三个已知点
4.过A,B,C三点能确定一个圆的条件是( )
①AB=2,BC=3,AC=5;②AB=3,BC=3,AC=2;③AB=3,BC=4,AC=5.
A.①② B.①②③
C.②③ D.①③
D
C
5.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了(如图所示),其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的碎片应该是( )
A.① B.② C.③ D.④
A
知识点3 三角形的外接圆与外心
6.如图所示,点O是△ABC的外心(三角形三边垂直平分线的交点),若∠BOC=96°,则∠A的度数为( )
A.49° B.47.5°
C.48° D.不能确定
C
B
8.已知一个三角形三边分别为13 cm,12 cm,5 cm,则此三角形外接圆半径为 cm.
6.5
知识点4 反证法
9.用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”时应假设( )
A.三角形中有一个内角小于或等于60°
B.三角形中有两个内角小于或等于60°
C.三角形中有三个内角小于或等于60°
D.三角形中没有内角小于或等于60°
D
B 能力达标练
C
30°或150°
45°或135°
解:(1)点O为所求圆的圆心,如图所示.
(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=8 cm,腰AB=5 cm.求圆片的半径R.
C 素养提升练
13.(推理能力)我们知道,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此,我们可以引入如下新定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=5,AB=3,△ABC的准外心P在△ABC的直角边上,试求AP的长.
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第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
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自主导学
分层精练
1.切线长定理
(1)切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长;
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的 相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的 .
2.三角形的内切圆
(1)与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆;
(2)内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的 ,内心到三角形三条边的距离相等.
自主导学
切线长
夹角
相切
内心
A 基础对点练
分层精练
知识点1 切线长定理
B
2.如图所示,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,OP交☉O于点C,下列结论
中,错误的是( )
A.∠1=∠2 B.PA=PB
C.AB⊥OP D.∠PAB=2∠1
D
3.如图所示,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.AB=5,AC=3,则BD的长为 .
2
4.如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,若∠APB=60°,PO=2,则☉O的半径等于 .
1
知识点2 三角形的内切圆
C
6.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为( )
A.4 B.3 C.1 D.2
7.(教材P100例2变式)如图所示,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=18 cm,BC=28 cm,CA=26 cm,求AF,BD,CE的长.
C
解:根据切线长定理,得AE=AF,BF=BD,CE=CD.
设AF=AE=x cm,则CE=CD=(26-x) cm,
BF=BD=(18-x) cm.
∵BC=28 cm,∴BD+CD=28 cm.
即(18-x)+(26-x)=28,解得x=8.
则18-x=10,26-x=18.
∴AF的长为8 cm,BD的长为10 cm,CE的长为18 cm.
B 能力达标练
8.如图所示,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N,若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是( )
A.7.5 cm B.10 cm
C.12.5 cm D.15 cm
D
9.(2024昆明盘龙区期末)在《九章算术》卷九中记载了一个问题:
“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何 ”其意思是:“如图所
示,今有直角三角形勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步 ”根据题意,该内切圆的直径为 步.
6
10.(教材P102T11变式)如图所示,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6,OC=8.求:
(1)∠BOC的度数;
解:(1)连接OF,如图所示.
根据切线长定理,得BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∴∠OBF+∠OCF=90°.
∴∠BOC=90°.
(2)BE+CG的长;
(3)☉O的半径.
C 素养提升练
11.如图所示,四边形ABCD外切于☉O,切点分别是E,F,G,H.
(1)请探索四边形ABCD四边AB,BC,CD,AD之间的关系;
解:(1)∵四边形ABCD外切于☉O,切点分别是E,F,G,H,
∴AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH.
∴AH+DH+CF+BF
=AE+DG+CG+BE.
∴AD+BC=AB+CD.
(2)圆的外切平行四边形是 形;
(3)圆的外切矩形是 形;
(4)若AB∶BC∶CD∶DA=1∶3∶4∶x,且四边形ABCD的周长为20 cm,求x的值与AD的长.
解:(2)菱
(3)正方
(4)∵AB∶BC∶CD∶DA=1∶3∶4∶x,AD+BC=AB+CD,
∴1+4=3+x.则x=2.
∵四边形ABCD的周长为20 cm,
∴20÷(1+3+4+2)=2.
∴AD=2×2=4(cm).
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第2课时 切线的判定和性质
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自主导学
分层精练
1.切线的判定
经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理
圆的切线垂直于过 的半径.
自主导学
外端
垂直
切点
A 基础对点练
分层精练
知识点1 切线的判定
1.下列说法中,正确的是( )
A.AB垂直于☉O的半径,则AB是☉O的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线
D
2.如图所示,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.
证明:连接OC,如图所示.
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC⊥AB.
∴直线AB是☉O的切线.
知识点2 切线的性质
3.如图所示,直线PA为☉O切线,连接OP,OA.若∠A=50°,则∠POA的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
B
4.如图所示,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,OB,OB与☉O交于点C,D为☉O上一点,连接AD,CD.若∠B=28°,则∠D的度数为( )
A.28° B.30° C.31° D.36°
C
5.如图所示,CD切☉O于点B,若∠C=36°,则∠ABD的度数是 .
63°
B 能力达标练
7.如图所示,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,下列说法不正确的是( )
A.若DE=DO,则DE是☉O的切线
B.若AB=AC,则DE是☉O的切线
C.若CD=DB,则DE是☉O的切线
D.若DE是☉O的切线,则AB=AC
A
12
9.(2024昆明盘龙区期末)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,BD是☉O的直径,过点A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE.
(1)求证:AE是☉O的切线;
(1)证明:如图所示,连接OA.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE,∴∠ODA=∠EDA.
∴∠OAD=∠EDA.∴EC∥OA.
∵AE⊥CD,∴OA⊥AE.
∵OA是☉O的半径,∴AE是☉O的切线.
(2)已知AE=4 cm,CD=6 cm,求☉O的半径.
C 素养提升练
10.(推理能力)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E, 过点E作直线BE的垂线交AB于点F,☉O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是☉O的切线;
证明:(1)如图所示,连接OE.
∵BE⊥EF,
∴∠BEF=90°.
∴BF是圆O的直径.
∴OB=OE.
∴∠OBE=∠OEB.
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠OBE.
∴∠OEB=∠CBE.∴OE∥BC.
∴∠AEO=∠C=90°.
∴AC是☉O的切线.
(2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:EF平分∠AEH.
证明:(2)∵∠C=∠BHE=90°,∠EBC=∠EBA,
∴∠BEC=∠BEH.
又∵∠BEF=90°,
∴∠FEH+∠BEH=90°,
∠AEF+∠BEC=90°.
∴∠FEH=∠FEA.
∴EF平分∠AEH.
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