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*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
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自主导学
分层精练
一元二次方程根与系数的关系
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2= ,
x1·x2= .
自主导学
A 基础对点练
知识点1 利用根与系数的关系求有关代数式的值
分层精练
A
2.对于一元二次方程2x2-3x+4=0,该方程根的情况为( )
A.没有实数根
B.两根之和是3
C.两根之积是-2
D.有两个不相等的实数根
3.(2023昆明盘龙区期末)若x1,x2是方程 x2+3x-4=0的两个实数根,则x1+x2-x1·x2的值为 .
A
1
4.(易错题)已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m.求m,n的值.
知识点2 利用根与系数的关系求待定字母的值
解:∵方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m,
∴(-2)2-2+n=0,-2m=n.
∴n=-2,m=1.
而Δ=1-4×(-2)=9>0,符合题意,
∴m=1,n=-2.
B 能力达标练
5.对于一元二次方程x2+6x-11=0,下列说法正确的是( )
A.这个方程有两个相等的实数根
B.这个方程有两个不相等的实数根x1,x2,且x1+x2=-6
C.这个方程有两个不相等的实数根x1,x2,且x1+x2=11
D.这个方程没有实数根
6.若m,n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根,则m2+4m+n的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.12
7.(2024昆五中期末)已知x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根,且满足x1+x2-3x1x2=5,那么b的值为( )
A.4 B.-4 C.3 D.-3
B
C
A
9.设a,b是方程x2+x-2 023=0的两个实数根,则(a-1)(b-1)的值为
.
10.对于任意实数a,b,定义:a◆b=a2+ab+b2.若方程(x◆2)-5=0的两根记为m,n,则m2+n2= .
-2 021
6
11.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你根据上述描述写出正确的一元二次方程 .
12.(易错题)已知a,b是方程x2-x-5=0的两个实数根,则a2+b+2 023的值是 .
x2-6x+6=0
2 029
13.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求m的值.
(2)由根与系数的关系,得
x1+x2=-3,x1x2=m-1.
∵2(x1+x2)+x1x2+10=0,
∴2×(-3)+m-1+10=0.
∴m=-3.
14.已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m的值.
C 素养提升练
15.(推理能力)已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1,x2两个实数根.
(1)若x1=1,求x2及m的值.
解:(1)根据题意,得x1+x2=6,x1x2=2m-1.
∵x1=1,
∴1+x2=6,x2=2m-1.
∴x2=5,m=3.
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21.2.2 公式法
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1.一元二次方程根的判别式
一般地,式子 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式.
(1)Δ>0 方程有 的实数根;
(2)Δ=0 方程有 的实数根;
(3)Δ<0 方程 实数根.
2.用求根公式解一元二次方程
当Δ≥0时,求根公式:x= .
b2-4ac
自主导学
两个不等
两个相等
无
A 基础对点练
知识点1 一元二次方程根的判别式
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1.(2024云大附中期末)方程x2-4x+9=0的根的情况是( )
A.没有实数根
B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
A
2.下列一元二次方程中,无实数根的是( )
A.x2-3=0
B.x2-3x=0
C.x2-4x+4=0
D.x2+3=0
3.(易错题)若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4=0有两个相等的实数
根,则m的值为( )
A.0 B.4
C.0或4 D.0或-4
D
B
4.用公式法解方程:
(1)(2024昆明盘龙区期末)x2-4x-3=0;
知识点2 用公式法解一元二次方程
(2)x2+4x+8=2x+11.
B 能力达标练
5.关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根,k的取值范围是( )
A.k<1且k≠0 B.k<1
C.k≤1且k≠0 D.k≤1
D
B
7.(2023广安)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
8.(云南中考)若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数 根,则实数c的值为 .
1
9.用公式法解下列方程:
(1)(2023昆明呈贡区期末)2x2-4x=-1;
(2)(3x-2)(x+1)=5x-3.
10.关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.
解:∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,
∴b2-4ac=4-4(2m-1)≥0.
解得m≤1.
∵m为正整数,
∴m=1.
∴原方程可化为x2-2x+1=0.
即(x-1)2=0,
解得x1=x2=1.
11.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.求证:方程总有两个实 数根.
证明:∵在方程x2-(k+3)x+2k+2=0中,
Δ=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0,
∴方程总有两个实数根.
C 素养提升练
x2-|x-2|-4=0.
解:当x-2≥0,即x≥2时,
x2-(x-2)-4=0.
解得x1=2,x2=-1(舍去).
当x-2<0,即x<2时,
x2-(2-x)-4=0.
解得x1=2(舍去),x2=-3.
综上,x2-|x-2|-4=0的解为x1=2,x2=-3.
13.(推理能力)已知a,b,c是△ABC的三条边长,且方程(a2+b2)x2-2cx+
1=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.
解:∵方程(a2+b2)x2-2cx+1=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-2c)2-4(a2+b2)=0,
即4(c2-a2-b2)=0.
∴c2-a2-b2=0.即c2=a2+b2.
∵a,b,c是△ABC的三条边长,
∴△ABC是直角三角形.
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第3课时 几何图形问题
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自主导学
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几何图形问题
1.矩形面积=长×宽;三角形面积= .
方法:平移法、面积法等.
2.几何图形一般从 或 相等方面找等量关系.
自主导学
面积
体积
A 基础对点练
知识点 几何图形问题
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1.学校为了对学生进行劳动教育,开辟一个面积为130 m2的矩形种植园,打算一面利用长为15 m的仓库墙面,其他三面利用长为33 m的围 栏.如图所示,如果设矩形与墙面垂直的一边长为x m,则下列方程中符合题意的是( )
A.x(33-2x)=130 B.x(15-x)=130
C.x(15-2x)=130 D.x(33-x)=130
A
B
3.如图所示,将一块长50 cm,宽40 cm的铁皮剪去四个正方形的角,就可以折成一个长方体无盖盒子.如果盒子的底面积为600 cm2,求盒子的高度.
解:设剪去小正方形的边长为x cm,即盒子的高度为x cm,
则(50-2x)(40-2x)=600,解得x1=10,x2=35(不符合题意,舍去).
答:盒子的高度为10 cm.
4.如图所示,有一块长为30 m,宽为10 m的长方形菜地,在菜地里要留出南北三条,东西两条,宽度一样的小路,并使实际种植面积为216 m2,求小路的宽.
解:设小路的宽为x m,由题意,得
(30-3x)(10-2x)=216.
解得x1=1,x2=14(舍去).
答:小路的宽为1 m.
B 能力达标练
5.如图所示,在长为32 m,宽为20 m的矩形地面上修建如图所示的道路(图中的阴影部分),余下部分铺设草坪,要使得草坪的面积为540 m2,则可列方程为 .
(32-x)(20-x)=540
6.如图所示,用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱 笆),中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域,分别种植两种花草,篱笆总长为17 m(恰好用完),围成的大长方形花圃的面积为24 m2,设垂直于墙的一段篱笆长为x m,可列出方程为 .
x(17-3x)=24
7.(2023昆明官渡区期末)2022年9月,教育部正式印发《义务教育课程方案》,《劳动教育》成为一门独立的课程,官渡区某学校率先行动,在校园开辟了一块劳动教育基地(如图所示):一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为22 m),用长为34 m的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地,在菜地的前端各设计了两个宽1 m的小门,供同学们进行劳动实践,若设菜地的AB边的长为x m.
(1)BC= m(用含x的代数式表示);
(2)若围成的菜地面积为96 m2,求此时的AB边的长.
解:(1)(36-3x)
(2)∵AB为x m,
∴AD为(34+2-3x)m.
由题意,得x(34+2-3x)=96,
解得x1=4,x2=8.
当x=4时,34+2-3×4=24>22,不符合题意,舍去;
当x=8时,34+2-3×8=12<22,符合题意.
答:此时AB边的长为8 m.
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P从点B开始沿BC向点C以1 cm/s的速度运动,点Q从点C开始沿CA向点A以 2 cm/s 的速度运动,P,Q同时出发,各自到达终点后停止运动.在整个运动过程中,设它们的运动时间为t s.
(1)下列说法正确的是 (填写所有正确结论的序号).
①PQ可以平分△ABC的周长;
②PQ可以平分△ABC的面积.
解:(1)②
(2)当t为何值时,△PCQ的面积等于7 cm2
C 素养提升练
9.(应用意识)某校准备开展清洁校园的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498 m2,绿化150 m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.
(1)该项绿化工作原计划每天完成多少平方米
(2)在绿化工作中有一块面积为170 m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3 m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米
解:(2)设矩形宽为y m,则长为(2y-3)m.
根据题意,得y(2y-3)=170,
解得y1=10,y2=-8.5(不符合题意,舍去).
∴2y-3=2×10-3=17.
答:这块矩形场地的长为17 m,宽为10 m.
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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
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自主导学
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1.一元二次方程的概念
等号两边都是 ,只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 (二次)的方程.
2.一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0),其中 是二次项, 是二次项系数; __ 是一次项, 是一次项系数; 是常数项.
3.一元二次方程的解
使方程 的未知数的值就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的 .
整式
自主导学
一个
2
ax2
a
bx
b
c
左右两边相等
根
分层精练
1.(2024曲靖期末)下列方程中是一元二次方程的是( )
2.已知(m-2)x|m|+bx-1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为 .
3.把方程x(2x-5)=4x-10化成一元二次方程的一般形式是 .
4.若方程ax2+2x-1=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是
.
C
-2
2x2-9x+10=0
a≠0
A 基础对点练
知识点1 一元二次方程的概念
知识点2 一元二次方程的解(根)
5.以-2为一根的一元二次方程可能是( )
A.x2-2x=0 B.x2-x=0
C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0
6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有一个实数根是-1,则m的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.3
7.(易错题)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则2m2-3m+2 023的值为
.
D
B
2 024
知识点3 根据实际问题列一元二次方程
8.(2024曲靖期末)毕业之际,在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念,每人送给其他同学一张照片,一共送出110张照片,设晚会上有x名同
学,则可列方程为( )
9.(数学文化)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步 意思是:矩形面积864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步 若设长为x步,则可列方程为 .
C
x(x-12)=864
B 能力达标练
10.将一元二次方程2x2-1=3x化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别是( )
A.2,-1 B.2,0
C.2,3 D.2,-3
11.(原创题)若(-a+2)x|a|-3ax+a-2=0是关于x的一元二次方程,则a的值为( )
A.0 B.-2 C.2 D.3
D
B
12.若1是关于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一个根,则a的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.0或1
13.某校准备组织一次排球比赛,参赛的每两个队之间都要比赛
一场,共比赛28场,有多少个队参赛 设有x个队参赛,则所列方程为
.
14.(2023枣庄)若x=3是关于x的方程 ax2-bx=6的解,则2 023-6a+2b的值为 .
C
2 019
15.关于x的方程(k-5)x2+(k+2)x+5=0.
(1)当k取何值时,该方程是一元一次方程
(2)当k取何值时,该方程是一元二次方程
解:(1)若方程(k-5)x2+(k+2)x+5=0为一元一次方程,
则k-5=0且k+2≠0,
解得k=5.
∴当k=5时,该方程是一元一次方程.
(2)若方程(k-5)x2+(k+2)x+5=0为一元二次方程,则k-5≠0,
解得k≠5.
∴当k≠5时,该方程是一元二次方程.
16.已知m是方程x2-2x-3=0的一个根,求(m-2)2+(m+3)(m-3)的值.
解:∵m是方程x2-2x-3=0的一个根,
∴m2-2m-3=0.
∴m2-2m=3.
∴(m-2)2+(m+3)(m-3)
=m2-4m+4+m2-9
=2(m2-2m)-5
=2×3-5
=1.
17.如图所示,某施工队要在长为32 m,宽为20 m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种植草坪,要使草坪的面积为540 m2,那么地面上修筑道路的宽应为多少米(只列方程)
解:设道路的宽为x m.则草坪部分可合成长为(32-x)m,宽为(20-x)m的长方形,
根据题意,得(32-x)(20-x)=540,
整理,得x2-52x+100=0.
由方程x2-52x+100=0可得出地面上修筑道路的宽.
C 素养提升练
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21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题、握手问题及数字问题
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自主导学
分层精练
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
(1)审:审清题意,明确已知量、未知量之间的 关系;
(2)设:用字母表示题目中的未知量,一般有直接设未知数和间接设未知数的方法;
(3)列:根据 列出一元二次方程;
(4)解:用适当方法解一元二次方程;
(5)验:检验所求解是否符合题意;
(6)答:回答题目中要解决的问题.
等量
自主导学
等量关系
2.传播问题
电脑病毒传播,设每轮传播中平均一台会感染x台电脑,则第一轮后共有 台被感染,第二轮后共有 台被感染,即
台被感染,利用方程即可求出x的值.
3.握手问题
分为单循环与双循环两种类型.
4.数字问题
若个位数字用a表示,十位数字用b表示,则该两位数可以表示为 .
(1+x)
(1+x)+x(1+x)
(1+x)2
10b+a
A 基础对点练
知识点1 传播问题
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1.有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242个人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则x满足的方程是( )
A.(1+x)2=242
B.(2+x)2=242
C.2(1+x)2=242
D.(1+2x)2=242
C
2.(教材P22T4改编)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干上长出x个支干,每个支干上再长出x个小分支.若主干、支干和小分支的数量之和是 31个,则可列方程 .
1+x+x2=31
3.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮的传播就会有144台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑
解:设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,
根据题意,得1+x+(1+x)x=144.
整理,得x2+2x-143=0.
解得x1=11,x2=-13(不符合题意,舍去).
答:每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑.
知识点2 握手问题
B
5.(易错题)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1 892张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( )
A.x(x+1)=1 892
B.x(x-1)=1 892×2
C.x(x-1)=1 892
D.2x(x+1)=1 892
6.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为( )
A.9人 B.10人 C.11人 D.12人
C
C
知识点3 数字问题
7.(数学文化)中国民歌不仅脍炙人口,而且许多还有教育意义,有一首民歌包含着一个数学问题:牧童王小良,放牧一群羊.问他羊几只,请你仔细想.头数加只数,只数减头数.只数乘头数,只数除头数.四数连加起,正好一百数.如果设羊的只数为x,则根据民歌的大意,你能列出的方程是 .
8.两个数的积为12,和为7,设其中一个数为x,则依题意可列方程
.
x2+2x+1=100
x(7-x)=12
B 能力达标练
9.中国男子篮球职业联赛(简称:CBA),分常规赛和季后赛两个阶段进行,采用主客场赛制(也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛).
2022-2023CBA常规赛共要赛240场,则参加比赛的队共有( )
A.80个 B.120个 C.15个 D.16个
D
10.(跨学科融合)某生物实验室需培植一群有益菌.现有60个活体样 本,经过两轮培植后,总和达24 000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌
解:(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌.
根据题意,得60x2=24 000.
解得x1=20,x2=-20(不符合题意,舍去).
答:每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出20个有益菌.
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌
解:(2)60×203=480 000(个).
答:经过三轮培植后共有480 000个有益菌.
11.已知三个连续正整数的平方和为50,求这三个正整数.
解:设这三个连续正整数依次为n-1,n,n+1,其中n为正整数,
依题意列方程,得
(n-1)2+n2+(n+1)2=50,
化简,得n2=16.
解得n1=4,n2=-4(不符合题意,舍去),
∴n-1=3,n+1=5.
答:这三个正整数为3,4,5.
C 素养提升练
12.(方程思想)(1)过n(n>3)边形中任意一个顶点的对角线有 条.
(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形
解:(1)(n-3)
(3)是否存在有21条对角线的凸多边形 如果存在,它是几边形 如果不存在,说明理由.
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专题一 一元二次方程的解法
类型一 用直接开平方法解方程
1.解方程:
(1)(x-2)2=9;
(2)(2x-1)2=16;
解:(1)(x-2)2=9,
两边开平方,得x-2=±3.
即x1=5,x2=-1.
(2)(2x-1)2=16,
两边开平方,得2x-1=±4,
即x1=2.5,x2=-1.5.
(3)(2y-1)2=(3y+4)2;
(4)3(2x-1)2-12=0.
类型二 用配方法解方程
2.解方程:
(1)x2-2x-5=0;
(2)x2-6x+6=0;
(3)16x2-8x+1=2;
(4)2x2-4x-7=0.
类型三 用公式法解方程
3.解方程:
(1)x2-x-7=0;
(2)2x2+4x-3=0;
(3)3x2-x+1=0;
(3)由题意可知a=3,b=-1,c=1,
∴Δ=b2-4ac=1-4×3×1=1-12=
-11<0.
∴此方程无解.
(4)x2+x-1=0.
4.解方程:
(1)2x(x-1)=3(x-1);
(2)(2x-3)2=5(2x-3);
类型四 用因式分解法解方程
(2)(2x-3)2-5(2x-3)=0,∴(2x-8)(2x-3)=0.
∴2x-8=0,或2x-3=0.
∴x1=4,x2=1.5.
(3)(2x-1)2-x2=0.
类型五 用适当方法解方程
5.解方程:
(1)(x+1)2-4=3(x+1);
解:(1)(x+1)2-4-3(x+1)=0,
设t=x+1,∴t2-3t-4=0.
∴(t-4)(t+1)=0.∴t=4,或t=-1.
∴x+1=4,或x+1=-1.
∴x1=3,x2=-2.
(2)(x+1)(x-3)=2x+5;
(3)2(x-3)2=x2-9.
解:(3)2(x-3)2=(x+3)(x-3),
(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0,
(x-3)(x-9)=0,
x1=3,x2=9.
6.(2024昆明盘龙区期末)将关于x的一元二次方程x2-px+q=0变形为x2=px-q,就可以将x2表示为关于x的一次多项式,从而达到“降次”的目的,例如x3=x·x2=x(px-q)=…;将该方程变形为x2-px=-q,也可以实现“降次”目的,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.请利用“降次法”解决下列问题:
已知:x2-2x-1=1,且x>0,求x4-2x3-3x的值.
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21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
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自主导学
分层精练
1.解一元二次方程的思想方法
解一元二次方程,实质上是通过“ ”,结合平方根的意义,把一元二次方程转化为两个 求解.
2.直接开平方法解一元二次方程
一般地,对于方程x2=p(或(mx+n)2=p).
(1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当p<0时,方程 .
降次
自主导学
一元一次方程
无实数根
A 基础对点练
知识点1 形如x2=p或(mx+n)2=p的方程的解法
分层精练
1.方程x2=4的解是( )
A.x1=x2=2 B.x1=x2=-2
C.x1=2,x2=-2 D.无实数根
C
B
3.若一元二次方程(x+6)2=64可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=8,则另一个一元一次方程是( )
A.x-6=-8 B.x-6=8
C.x+6=8 D.x+6=-8
4.一元二次方程3(x-2)2-27=0的根是( )
A.5 B.-1
C.5或-1 D.3
D
C
5.请用直接开平方法解下列方程:
(1)x2=9;
(2)4x2-25=0;
解:(1)x1=3,x2=-3.
(3)(2024云大附中期末)(x+1)2-4=0;
(4)(2y-3)2-64=0.
解:(3)(x+1)2-4=0,
移项,得(x+1)2=4,
直接开平方,得x+1=±2,
解得x1=1,x2=-3.
知识点2 直接开平方法解一元二次方程的应用
6.下列方程中,有两个不相等实数根的是( )
A.x2=0 B.x-3=0
C.x2-5=0 D.x2+2=0
7.关于x的方程(x-2)2=1-m无实数根,那么m满足的条件是( )
A.m>2 B.m<2
C.m>1 D.m<1
C
C
B 能力达标练
8.关于一元二次方程2 023(x-2)2=2 024的两个根判断正确的是( )
A.一根小于1,另一根大于3
B.一根小于-2,另一根大于2
C.两根都小于0
D.两根都小于2
9.一元二次方程x2=(-4)2的解为 .
10.(易错题)方程(x-1)2=2 0242的根是 .
A
x1=4,x2=-4
x1=2 025,x2=-2 023
11.若关于x的方程(ax-1)2-16=0的一个根为2,则a的值为 .
12.根据如图所示的程序,当输入一元二次方程x2=9的解x时,输出的结果是y= .
1或-7
13.用直接开平方法解下列方程:
(1)2(3x-2)2-18=0;
(2)(2x+3)2=(3x+2)2.
(2)开方,得2x+3=3x+2,或
2x+3=-3x-2.
解得x1=1,x2=-1.
14.(分类讨论)已知一元二次方程(x-3)2=1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,求△ABC的周长.
解:∵(x-3)2=1,∴x-3=±1.
∴x1=4,x2=2.
又∵一元二次方程(x-3)2=1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,
∴①当底边长为4,腰长为2时,4=2+2,此时不能构成三角形;
②当底边长为2,腰长为4时,可以构成三角形,此时△ABC的周长为2+4+4=10.
∴△ABC的周长为10.
C 素养提升练
15.(整体思想)若关于x的一元二次方程 a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为x1=-2,x2=1,则关于x的一元二次方程a(x+m-2 022)2+n=0(a≠0)的两根分别为( )
A.x1=-2,x2=1
B.x1=2 020,x2=2 023
C.x1=-2 020,x2=2 023
D.x1=-2 024,x2=-2 019
B
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第2课时 平均变化率问题及销售问题
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1.平均变化率问题
若增长前的数量为a,以后每次的平均变化率为x,则第一次变化后的数量为 ,第二次变化后的数量为 .
a(1±x)
自主导学
a(1±x)2
进价
利润率
利润率
利润率
销售量
A 基础对点练
知识点1 平均增长率问题
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1.(2024昆明盘龙区期末)某热播电影上映以来,全国票房创佳绩.据不完全统计,第一天票房收入约1.2亿元,第三天票房收入达3亿元,设票房收入平均每天的增长率为x,则下列方程正确的是( )
A.(1+x)2=3 B.1.2(1+x)2=3
C.(1-x)2=3 D.1.2(1-x)2=3
B
2.某果农2021年的年收入为2万元,由于技术的改进,2023年年收入增加到4.5万元,求平均每年年收入的增长率.
解:设平均每年年收入的增长率为x.
由题意,得2(1+x)2=4.5,
解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不符合题意,舍去).
答:平均每年年收入的增长率为50%.
知识点2 商品销售类问题
3.某商店将进价为30元/件的文化衫以50元/件售出,每天可卖200件,在换季时期,预计单价每降低1元,每天可多卖10件,则销售单价定为多少元时,商店每天可获利3 000元 设销售单价定为x元,可列方程为
(方程不需化简).
(x-30)[200+10(50-x)]=3 000
4.某商场销售某种商品,每件进货价为40元,市场调研表明:当销售价为80元时,平均每天能售出 20件;在每件盈利不少于25元的前提下,当销售价每降低1元时,平均每天就能多售出2件.
(1)若降价2元,则平均每天销售数量为 件.
解:(1)24
(2)当每件商品定价多少元时,该商场平均每天销售利润达到1 200元
解:(2)设每件商品降价x元,则平均每天可销售(20+2x)件.
由题意,得(80-40-x)(20+2x)=1 200.
整理,得x2-30x+200=0,
解得x1=10,x2=20.
当x=20时,80-40-20=20<25,
∴x=20舍去.∴x=10,80-10=70(元).
答:当每件商品定价为70元时,该商场平均每天销售利润达到1 200元.
B 能力达标练
5.(2024昆五中期末)进入夏季后,某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为972元,原价为1 200元,则可列出关于x的一元二次方程为( )
A.972(1-2x)=1 200
B.1 200(1-2x)=972
C.972(1-x)2=1 200
D.1 200(1-x)2=972
D
6.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元,则3月份到5月份营业额的平均增长率是( )
A.10% B.20% C.22% D.25%
B
7.(数学文化)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题,其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( )
A.3(x-1)x=6 210
B.3(x-1)=6 210
C.(3x-1)x=6 210
D.3x=6 210
A
8.(易错题)某商品进货价为每件10元,售价每件30元时平均每天可售出20件,经调查发现,如果每件每降价2元,那么平均每天可以多出售 4件,若想每天盈利450元,设每件降价x元,可列出方程为 .
.
9.云南某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株 时,平均每株盈利4元;若每盆每增加1株,平均每株盈利减少 0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株 设每盆多植x株,若每盆多植一株,则平均每株盈利为 元;可列出的方程是 .
.
(30-10-x)
(20+2x)=450
3.5
(3+x)(4-0.5x)=15
10.某商场销售一款消毒湿巾,这款消毒湿巾的成本价为每包6元,当销售单价定为10元时,每天可售出80包,根据市场行情,现决定降价销售,市场调研反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20包.为使每天这种消毒湿巾的利润达到 360元,商场应把这种消毒湿巾降价多少元
C 素养提升练
11.(应用意识)某商店将进价为10元/件的某种商品以14元/件售出,平均每天能售出220件.调查发现,这种商品的售价每上涨1元,其销售量就将减少20件.该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润.
(1)若物价部门规定此种商品的每件利润不能超过进价的80%,且商店想要获得平均每天1 080元的利润,则这种商品的售价应定为多少
解:(1)设这种商品的售价应定为x元/件,则每件的销售利润为(x-10)元,
日销售量为220-20(x-14)=(500-20x)件.
由题意,得(x-10)(500-20x)=1 080,
整理,得x2-35x+304=0,
解得x1=16,x2=19.
∵10×(1+80%)=18(元),16<18<19,
∴x=19不符合题意,舍去.
∴x=16.
答:这种商品的售价应定为16元/件.
(2)该商店平均每天盈利能否为1 200元
解:(2)设这种商品的售价应定为y元/件,则每件的销售利润为(y-10)元, 日销售量为220-20(y-14)=(500-20y)件.
由题意,得(y-10)(500-20y)=1 200,
整理,得y2-35y+310=0.
∵Δ=(-35)2-4×1×310=-15<0,
∴该方程无实数根.
∴该商店平均每天盈利不能为1 200元.
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21.2.3 因式分解法
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自主导学
分层精练
1.因式分解法的概念
将一元二次方程化为两个 的 等于0的形式,再使这两个 分别等于 ,从而实现 .这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.选择适当方法解一元二次方程
解一元二次方程,首先看能否用 ;再看能否用
法;配方法和公式法适用于任何一元二次方程;当二次项系数是1,一次项系数是偶数时,适合用 .
一次式
自主导学
乘积
一次式
0
降次
直接开平方法
因式分解
配方法
A 基础对点练
知识点1 因式分解法解一元二次方程
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1.用因式分解法解下列方程,变形正确的是( )
A.(x+3)(x-1)=1,可得x+3=1或x-1=1
B.(x-3)(x-4)=0,可得x-3=0或x-4=0
C.(x-2)(x-3)=6,可得x-2=2或x-3=3
D.x(x+2)=0,可得x+2=0
2.一元二次方程x2=x的解是 .
B
x1=0,x2=1
解:(1)(x+3)(x-3)=0,
∴x1=-3,x2=3.
(3)(2024昆五中期末)x(2x-1)=3(2x-1).
4.用适当的方法解下列方程:
(1)(x-1)2=9; (2)x2+4x-5=0;
知识点2 选择适当方法解一元二次方程
解:(1)两边开平方,得x-1=±3,
解得x1=4,x2=-2.
(2)方法一:方程可化为(x+5)(x-1)=0,
即x+5=0,或x-1=0,解得x1=-5,x2=1.
方法二:x2+4x=5,
∴x2+4x+4=5+4,∴(x+2)2=9.
∴x+2=3,或x+2=-3,
∴x1=1,x2=-5.
(3)2x2-7x+3=0.
B 能力达标练
5.如果二次三项式x2+px+q能分解成(x-2)(x+1)的形式,则方程x2+px+q=0的两个根为( )
A.x1=-2,x2=1 B.x1=-2,x2=-1
C.x1=2,x2=-1 D.x1=2,x2=1
6.(易错题)方程(x+2)2-(x+2)=0的解为 .
7.方程x2-4x=0的实数解是 .
C
x1=-2,x2=-1
x1=0,x2=4
8.一元二次方程4x(x-2)=x-2的解为 .
9.已知矩形的长和宽是方程x2-9x+20=0的两个实数根,则矩形的面积为 .
10.对于实数a,b,定义运算“*”如下:a*b=(a+b)2-(a-b)2,若(m+2)*
(m-3)=24,则m= .
20
-3或4
11.根据要求,解下列方程:
(1)x2+12x+25=0(配方法);
(2)4x2+1=4x(公式法);
(3)(x-2)2+2=x(因式分解法);
(4)(2024云大附中期末)x2-7x+6=0(不限方法).
解:(3)移项,得(x-2)2+2-x=0,
方程可化为(x-2)2-(x-2)=0.
(x-2)(x-3)=0.
∴x-2=0,或x-3=0.
解得x1=2,x2=3.
(4)x2-7x+6=0,
因式分解,得(x-6)(x-1)=0,
解得x1=6,x2=1.
13.已知代数式x(x-2)的值与6-3x的值互为相反数,求x的值.
解:根据题意,得x(x-2)=3x-6.
整理,得x2-5x+6=0.
因式分解,得(x-2)(x-3)=0.
解得x=2或3.
则x的值为2或3.
C 素养提升练
B
D
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第2课时 配方法
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自主导学
分层精练
1.配方法
通过配成 形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项:将一元二次方程ax2+bx+c=0化为 的形式;
(2)二次项系数化为1:将方程的两边同除以 ;
(3)配方:在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方,把方程左边写成 的形式;
(4)开平方:用 解方程.
完全平方
自主导学
ax2+bx=-c
二次项系数
完全平方
直接开平方法
A 基础对点练
知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
分层精练
B
2.(2023赤峰)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是( )
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17
C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17
C
3.将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别是( )
A.-4,21 B.-4,11
C.4,21 D.-8,69
4.用配方法解关于x的一元二次方程x2-4x-3=0,配方后的方程可以是
.
A
(x-2)2=7
知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
6.把一元二次方程2x2-8x-7=0化成(x+m)2=n的形式是 .
1
8.用配方法解下列方程:
(1)(2024昆五中期末)2x2+4x+1=0;
(2)3x2-8x+3=0;
B 能力达标练
9.一元二次方程x2+6x+c=0通过配方后为(x+b)2=16,则b,c的值分别为( )
A.3,-7 B.-3,7
C.-3,-7 D.3,-2
A
1
11.若一元二次方程x2-ax+b=0配方后为(x-4)2=3,则ab= .
12.一元二次方程x2-2x+m=0配方后得(x-1)2=n,则m+n的值是 .
104
1
C 素养提升练
14.(应用意识)“a2≥0”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如:x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1,
∵(x+2)2≥0,∴(x+2)2+1≥1,∴x2+4x+5≥1.试利用“配方法”解决下列问题.
(1)填空:x2-4x+5=(x )2+ ;
解:(1)-2 1
(2)已知x2-4x+y2+2y+5=0,求x+y的值;
(3)比较代数式x2-1与2x-3的大小.
解:(2)x2-4x+y2+2y+5=0,
∴x2-4x+4+y2+2y+1-4-1+5=0,即(x-2)2+(y+1)2=0.
∴x-2=0,y+1=0,
解得x=2,y=-1,则x+y=2-1=1.
(3)(x2-1)-(2x-3)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
∵(x-1)2≥0,
∴(x-1)2+1>0,
∴x2-1>2x-3.
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