第二十二章 二次函数
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.下列函数中是二次函数的是(B)
A.y=x+ B.y=3(x-1)2
C.y=ax2+bx+c D.y=-x
2.下列二次函数的图象开口向上的是(A)
A.y=x2 B.y=-x2
C.y=-2x2+1 D.y=-3x2-1
3.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是(D)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
4.已知二次函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -3 -2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 -8 -9 -5 0 40 …
则该二次函数的对称轴是(B)
A.直线x=-1 B.直线x=1
C.直线x=4 D.直线x=-4
5.若二次函数y=x2-4x+k的图象经过点(-1,y1),(3,y2),则y1与y2的大小关系为(B)
A.y1=y2 B.y1>y2
C.y16.关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法错误的是(D)
A.开口向上
B.与x轴有一个交点
C.对称轴是直线x=1
D.当x>1时,y随x的增大而减小
7.抛物线的函数解析式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移 3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为(C)
A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3
C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1
8.二次函数y=-(x+2)2-3图象的顶点所在的象限是(C)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.若二次函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则常数k的值为(C)
A.1 B.±1 C.-1 D.-
10.二次函数y=x2,当-1A.1C.-111.某超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售500千克,经市场调查反映:若每千克涨价1元,每天销售量减少20千克,设每千克涨价x(单位:元),且0≤x≤25,每天售出商品的利润为y(单位:元),则y与x的函数解析式是(B)
A.y=500-20x
B.y=(500-20x)(10+x)
C.y=(500+10x)(10-x)
D.y=(500-10x)(10+x)
12.如图所示,某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示,函数关系为y=-x2,当水面宽度AB为20 m时,水面与桥拱顶的高度CO等于(B)
A.2 m B.4 m C.10 m D.16 m
13.如图所示,在同一坐标系中,二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象大致是(D)
14.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且 m<0时,y的最小值为5m,最大值为5n,则 m+n的值为(B)
A.0 B.-3 C.-1 D.-2
15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是(C)
A.abc<0 B.b2-4ac<0
C.2a+b=0 D.a-b+c<0
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.已知二次函数y=3x2+2x-1,则该二次函数的图象与y轴的交点坐标为 (0,-1) .
17.已知二次函数y=(m+1)x2有最小值,则m的取值范围是 m>-1 .
18.已知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),与y轴的交点为(0,-5),则此抛物线的解析式是 y=-2x2-4x-5 .
19.一个小球以5 m/s的速度开始向前滚动,小球滚动的距离s(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的函数解析式是s=5t-t2,则小球从开始滚动到完全停止所用的时间是 4 s.
三、解答题(共62分)
20.(7分)已知二次函数y=x2-2x-3.
(1)将y=x2-2x-3化成y=a(x-h)2+k的形式;
(2)求图象与x轴的交点坐标,与y轴的交点坐标,顶点坐标.
解:(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.
(2)把y=0代入y=x2-2x-3,得
0=x2-2x-3,
解得x=-1或x=3,
∴图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).
令x=0,得y=-3,
∴图象与y轴的交点坐标为(0,-3),
顶点坐标是(1,-4).
21.(6分)已知抛物线y=2x2+4x-6.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度,平移后所得新抛物线经过坐标原点,求m的值.
解:(1)根据题意,得y=2x2+4x-6=2(x2+2x+1)-8=2(x+1)2-8,
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-8).
(2)令y=0,得2x2+4x-6=0,
解得x1=1,x2=-3.
又∵将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度,平移后所得新抛物线经过坐标原点,
∴-3+m=0,
解得m=3.
故m的值为3.
22.(7分)小李想用篱笆围成一个周长为60 m的矩形场地,矩形面积S(单位:m2)随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大,最大面积是多少
解:(1)S=x(30-x),
自变量x的取值范围为0(2)S=x(30-x)=-(x-15)2+225,
∴当x=15时,S有最大值为225 m2,
即当x是15时,矩形场地面积S最大,最大面积是225 m2.
23.(6分)如图所示,这是一条以y轴为对称轴,原点O为顶点的抛物线,且经过点A(-3,3).
(1)求这个函数的解析式;
(2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标,并求出△AOB的面积.
解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,
把(-3,3)代入y=ax2得3=9a,
解得a=,
∴函数的解析式为y=x2.
(2)点A(-3,3)关于y轴的对称点为B(3,3),
∴AB∥x轴,AB=3-(-3)=6.
∴S△AOB=AB·yA=×6×3=9.
24.(8分)已知二次函数y=x2-mx+m-2:
(1)求证:无论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)当二次函数的图象经过点(3,6)时,确定m的值,并写出此二次函数与坐标轴的交点坐标.
(1)证明:Δ=(-m)2-4(m-2)=(m-2)2+4,
∵(m-2)2≥0,
∴(m-2)2+4>0,即Δ>0.
∴无论m取何实数,抛物线总与x轴都有两个交点.
(2)解:∵二次函数的图象经过点(3,6),
∴6=9-3m+m-2.
∴m=.
∴y=x2-x-.
当x=0时,y=-,即该函数图象与y轴交于点(0,-).
当y=0时,x2-x-=(x+1)(2x-3)=0,
解得x1=-1,x2=.
则该函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0)、(,0),
综上所述,m的值是,该函数图象与y轴交于点(0,-),与x轴的交点坐标为(-1,0),(,0).
25.(8分)如图(1)所示的是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台,拱门的形状近似于抛物线,已知拱门的地面宽度为200 m,两侧距地面高150 m处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100 m,图(2)是从实际拱门中得出的抛物线,请你结合数据,求出拱门的高度.
解:如图所示建立平面直角坐标系,
此时,抛物线与x轴的交点为C(-100,0),D(100,0).
设这条抛物线的解析式为y=a(x-100)(x+100).
∵抛物线经过点B(50,150),
可得150=a(50-100)(50+100),
解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-(x-100)(x+100).
当x=0时,y=200.
∴拱门的高度为200 m.
26.(8分)已知某种橘子的成本为4元/千克,经过市场调查发现,一天内橘子的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)(4≤x≤10)的函数关系如图所示.
(1)当4≤x≤8时,求y与x的函数解析式.
(2)当4≤x≤8时,要使一天内获得的利润为1 200元,单价应定为
多少
(3)求橘子的单价定为多少时,一天内获得的利润最大,最大利润为
多少
解:(1)当4≤x≤8时,设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
将点(4,1 000)与点(8,200)代入,得
解得
∴当4≤x≤8时,
y与x的函数解析式为y=-200x+1 800.
(2)当4≤x≤8时,由题意,得(x-4)(-200x+1 800)=1 200,
解得x1=6,x2=7.
∴当4≤x≤8时,单价定为6元或7元,利润为1 200元.
(3)设利润为w元,
当4≤x≤8时,y=-200x+1 800,
w=(x-4)y
=(x-4)(-200x+1 800)
=-200(x-)2+1 250.
∵-200<0,4≤x≤8,
∴当x=时,w有最大值,此时w=1 250.
当8w=(x-4)y=200(x-4)
=200x-800.
∵200>0,
∴w随x的增大而增大.
又∵8∴当x=10时,w最大,此时w=1 200.
∵1 250>1 200,
∴w的最大值为1 250.
答:当橘子的单价为6.5元时,获得利润的最大,最大利润为1 250元.
27.(12分)已知二次函数y=-x2+6x-5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少
(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值.
解:(1)∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴顶点坐标为(3,4).
(2)∵a=-1<0,
∴抛物线开口向下.
∵顶点坐标为(3,4),
∴当x=3时,y最大=4.
∵当1≤x≤3时,y随着x的增大而增大,
∴当x=1时,y最小=0.
∵当3∴当x=4时,y最小=3.
∴当1≤x≤4时,函数的最大值为4,最小值为0.
(3)当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论.
①当t+3<3时,即t<0,y随着x的增大而增大,
当x=t+3时,
m=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4,
当x=t时,n=-t2+6t-5,
∴m-n=-t2+4-(-t2+6t-5)=-6t+9.
∴-6t+9=3,解得t=1(不符合题意,舍去).
②当0≤t<3时,顶点的横坐标在取值范围内,
∴m=4.
a.当0≤t≤时,在x=t时,n=-t2+6t-5,
∴m-n=4-(-t2+6t-5)=t2-6t+9.
∴t2-6t+9=3,
解得t1=3-,t2=3+(不符合题意,舍去).
b.当∴m-n=4-(-t2+4)=t2.
∴t2=3,
解得t1=,t2=-(不符合题意,舍去).
③当t≥3时,y随着x的增大而减小,
当x=t时,m=-t2+6t-5,
当x=t+3时,
n=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4,
m-n=-t2+6t-5-(-t2+4)=6t-9.
∴6t-9=3,
解得t=2(不符合题意,舍去).
综上所述,t=3-或.第二十二章 二次函数
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.下列函数中是二次函数的是( )
A.y=x+ B.y=3(x-1)2
C.y=ax2+bx+c D.y=-x
2.下列二次函数的图象开口向上的是( )
A.y=x2 B.y=-x2
C.y=-2x2+1 D.y=-3x2-1
3.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
4.已知二次函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -3 -2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 -8 -9 -5 0 40 …
则该二次函数的对称轴是( )
A.直线x=-1 B.直线x=1
C.直线x=4 D.直线x=-4
5.若二次函数y=x2-4x+k的图象经过点(-1,y1),(3,y2),则y1与y2的大小关系为( )
A.y1=y2 B.y1>y2
C.y16.关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法错误的是( )
A.开口向上
B.与x轴有一个交点
C.对称轴是直线x=1
D.当x>1时,y随x的增大而减小
7.抛物线的函数解析式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移 3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为( )
A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3
C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1
8.二次函数y=-(x+2)2-3图象的顶点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.若二次函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则常数k的值为( )
A.1 B.±1 C.-1 D.-
10.二次函数y=x2,当-1A.1C.-111.某超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售500千克,经市场调查反映:若每千克涨价1元,每天销售量减少20千克,设每千克涨价x(单位:元),且0≤x≤25,每天售出商品的利润为y(单位:元),则y与x的函数解析式是( )
A.y=500-20x
B.y=(500-20x)(10+x)
C.y=(500+10x)(10-x)
D.y=(500-10x)(10+x)
12.如图所示,某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示,函数关系为y=-x2,当水面宽度AB为20 m时,水面与桥拱顶的高度CO等于( )
A.2 m B.4 m C.10 m D.16 m
13.如图所示,在同一坐标系中,二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象大致是( )
14.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且 m<0时,y的最小值为5m,最大值为5n,则 m+n的值为( )
A.0 B.-3 C.-1 D.-2
15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.abc<0 B.b2-4ac<0
C.2a+b=0 D.a-b+c<0
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.已知二次函数y=3x2+2x-1,则该二次函数的图象与y轴的交点坐标为 .
17.已知二次函数y=(m+1)x2有最小值,则m的取值范围是 .
18.已知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),与y轴的交点为(0,-5),则此抛物线的解析式是 .
19.一个小球以5 m/s的速度开始向前滚动,小球滚动的距离s(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的函数解析式是s=5t-t2,则小球从开始滚动到完全停止所用的时间是 s.
三、解答题(共62分)
20.(7分)已知二次函数y=x2-2x-3.
(1)将y=x2-2x-3化成y=a(x-h)2+k的形式;
(2)求图象与x轴的交点坐标,与y轴的交点坐标,顶点坐标.
21.(6分)已知抛物线y=2x2+4x-6.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度,平移后所得新抛物线经过坐标原点,求m的值.
22.(7分)小李想用篱笆围成一个周长为60 m的矩形场地,矩形面积S(单位:m2)随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大,最大面积是多少
23.(6分)如图所示,这是一条以y轴为对称轴,原点O为顶点的抛物线,且经过点A(-3,3).
(1)求这个函数的解析式;
(2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标,并求出△AOB的面积.
24.(8分)已知二次函数y=x2-mx+m-2:
(1)求证:无论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)当二次函数的图象经过点(3,6)时,确定m的值,并写出此二次函数与坐标轴的交点坐标.
25.(8分)如图(1)所示的是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台,拱门的形状近似于抛物线,已知拱门的地面宽度为200 m,两侧距地面高150 m处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100 m,图(2)是从实际拱门中得出的抛物线,请你结合数据,求出拱门的高度.
26.(8分)已知某种橘子的成本为4元/千克,经过市场调查发现,一天内橘子的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)(4≤x≤10)的函数关系如图所示.
(1)当4≤x≤8时,求y与x的函数解析式.
(2)当4≤x≤8时,要使一天内获得的利润为1 200元,单价应定为
多少
(3)求橘子的单价定为多少时,一天内获得的利润最大,最大利润为
多少
27.(12分)已知二次函数y=-x2+6x-5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少
(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值.
