第二十四章 圆
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.下列说法错误的是( )
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
2.如图所示,将直角三角板含45°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与☉O相交于E,F两点,P是优弧上任意一点(与E,F不重合),则∠EPF的大小是( )
A.22° B.22.5° C.45° D.50°
3.如图所示,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则∠A等于( )
A.66° B.33° C.24° D.30°
4.正方形的边长是4 cm,那么它的外接圆半径为( )
A. cm B.2 cm C.2 cm D.4 cm
5.
A.2 cm B.2.5 cm
C.3 cm D.4 cm
6.已知☉O的半径为3,点O到直线m的距离为d,若直线m与☉O公共点的个数为2,则d可取( )
A.0 B.3 C.3.5 D.4
7.☉O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如果圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么这个圆锥的全面积是( )
A.12π cm2 B.15π cm2
C.20π cm2 D.24π cm2
9.如图所示,点A,B,C,D,E都是☉O上的点,=,∠B=122°,则∠D等于( )
A.58° B.116°
C.122° D.128°
10.如图所示,在△ABC中,AB=7 cm,AC=8 cm,BC=6 cm,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则△CEF的周长为( )
A.14 cm B.15 cm
C.13 cm D.10.5 cm
11.如图所示,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在上.若∠ABC
=19°,则∠BAC等于( )
A.23° B.24° C.25° D.26°
12.如图所示,☉O是锐角三角形ABC的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为( )
A.8 B.4 C.3.5 D.3
13.如图所示,在3×3的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分,小正方形边长为1,图中阴影部分的面积为( )
A.π- B.π-
C.π- D.π-
14.如图所示,在直线l上有相距12 cm的两点A和O(点A在点O的右侧),以O为圆心作半径为 2 cm 的圆,过点A作直线AB⊥l.将☉O以2 cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上),则经过 s时,☉O与直线AB相切( )
A.5 B.6 C.5或7 D.5或6
15.如图所示,在半径为6 cm的☉O中,点A是的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=3 cm;③扇形OCAB的面积为12π;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是( )
A.①③ B.①②③④
C.②③④ D.①③④
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,如果它的一个外角∠DCE=57°,那么∠BOD= .
17.如图所示,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为 .
18.如图所示,☉O是△ABC的内切圆,分别切BC,AB,AC于点D,E,F,△ABC的周长为24 cm,BC=10 cm,则AE= cm.
19.如图所示,等边三角形ABC的边长为4,☉C的半径为,P为AB边上一动点,过点P作☉C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 .
三、解答题(共62分)
20.(7分)如图所示,扇形OAB的圆心角为120°,半径OA为6 cm.
(1)求扇形OAB的弧长和扇形面积;
(2)若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.
21.(6分)如图所示,已知线段AD,BC为☉O的弦,且BC=AD,求证:AB=CD.
22.(6分)如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,求∠BOC的度数.
23.(7分)如图所示,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为E,AO=1.
(1)求∠C的大小;
(2)求阴影部分的面积.
24.(8分)如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE=AB;
(2)若AB=20,BC=16,求CD的长.
25.(8分)如图所示,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD交CD于点E,连接BE.
(1)直线BE与☉O相切吗 并说明理由.
(2)若CA=2,CD=4,求DE的长.
26.(8分)如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上的中点,CD⊥AF,垂足为D,AB,DC的延长线交于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若BE=3,CE=3,求图中阴影部分的面积.
27.(12分)如图(1)所示,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在上,AD交BC于点E,点F在AE上,满足∠AFB-∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于点G,BE=FG,连接BD,DG.设∠ACB=α.
(1)用含α的代数式表示∠BFD;
(2)求证:△BDE≌△FDG;
(3)如图(2)所示,若AD为☉O的直径,当的长为2时,求的长.第二十四章 圆
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.下列说法错误的是(B)
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
2.如图所示,将直角三角板含45°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与☉O相交于E,F两点,P是优弧上任意一点(与E,F不重合),则∠EPF的大小是(B)
A.22° B.22.5° C.45° D.50°
3.如图所示,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则∠A等于(B)
A.66° B.33° C.24° D.30°
4.正方形的边长是4 cm,那么它的外接圆半径为(B)
A. cm B.2 cm C.2 cm D.4 cm
5.
A.2 cm B.2.5 cm
C.3 cm D.4 cm
6.已知☉O的半径为3,点O到直线m的距离为d,若直线m与☉O公共点的个数为2,则d可取(A)
A.0 B.3 C.3.5 D.4
7.☉O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如果圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么这个圆锥的全面积是(D)
A.12π cm2 B.15π cm2
C.20π cm2 D.24π cm2
9.如图所示,点A,B,C,D,E都是☉O上的点,=,∠B=122°,则∠D等于(B)
A.58° B.116°
C.122° D.128°
10.如图所示,在△ABC中,AB=7 cm,AC=8 cm,BC=6 cm,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则△CEF的周长为(A)
A.14 cm B.15 cm
C.13 cm D.10.5 cm
11.如图所示,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在上.若∠ABC
=19°,则∠BAC等于(D)
A.23° B.24° C.25° D.26°
12.如图所示,☉O是锐角三角形ABC的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为(B)
A.8 B.4 C.3.5 D.3
13.如图所示,在3×3的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分,小正方形边长为1,图中阴影部分的面积为(D)
A.π- B.π-
C.π- D.π-
14.如图所示,在直线l上有相距12 cm的两点A和O(点A在点O的右侧),以O为圆心作半径为 2 cm 的圆,过点A作直线AB⊥l.将☉O以2 cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上),则经过 s时,☉O与直线AB相切(C)
A.5 B.6 C.5或7 D.5或6
15.如图所示,在半径为6 cm的☉O中,点A是的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=3 cm;③扇形OCAB的面积为12π;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是(D)
A.①③ B.①②③④
C.②③④ D.①③④
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,如果它的一个外角∠DCE=57°,那么∠BOD= 114° .
17.如图所示,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为 3 .
18.如图所示,☉O是△ABC的内切圆,分别切BC,AB,AC于点D,E,F,△ABC的周长为24 cm,BC=10 cm,则AE= 2 cm.
19.如图所示,等边三角形ABC的边长为4,☉C的半径为,P为AB边上一动点,过点P作☉C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 3 .
三、解答题(共62分)
20.(7分)如图所示,扇形OAB的圆心角为120°,半径OA为6 cm.
(1)求扇形OAB的弧长和扇形面积;
(2)若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.
解:(1)扇形OAB的弧长==4π(cm);
扇形OAB的面积==12π(cm2).
(2)如图所示,设圆锥底面圆的半径为r cm,
∴2πr=4π,解得r=2,
在Rt△OHC中,HC=2 cm,OC=6 cm,
∴OH==4(cm).
21.(6分)如图所示,已知线段AD,BC为☉O的弦,且BC=AD,求证:AB=CD.
证明:∵BC=AD,
∴=,即+=+.
∴=.
∴AB=CD.
22.(6分)如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,求∠BOC的度数.
解:∵OA=OB,
∴∠B=∠BAO=25°.
∵OB∥AC,
∴∠CAB=∠B=25°.
∴∠BOC=2∠CAB=50°.
23.(7分)如图所示,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为E,AO=1.
(1)求∠C的大小;
(2)求阴影部分的面积.
解:(1)∵CD是☉O的直径,CD⊥AB,
∴=.
∴∠C=∠AOD.
∵∠AOD=∠COE,
∴∠C=∠COE.
∵AO⊥BC,
∴∠C=30°.
(2)如图所示,连接OB,
由(1),知∠C=30°.
∴∠AOD=60°.
∴∠AOB=120°.
在Rt△AOF中,AO=1,∠AOF=60°,
∴AF=,OF=.
∴AB=.
∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=-××=π-.
24.(8分)如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE=AB;
(2)若AB=20,BC=16,求CD的长.
(1)证明:如图所示,连接OC.
∵DC切☉O于点C,
∴OC⊥CD.
∵AE⊥CD,
∴AE∥OC.
∵AO=BO,
∴EC=BC.
∴OC=AE.
∵OC=OA=OB=AB,
∴AE=AB.
(2)解:如图所示,连接AC.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACE=90°,即AC⊥BE.
由(1),知AB=AE.
∴EC=BC.
∵BC=16,
∴EC=16.
在Rt△ACB中,由勾股定理,得
AC===12.
在Rt△ACE中,S△ACE=AC·CE=AE·CD,
∵AE=AB=20,
∴×12×16=×20×CD.
∴CD=9.6.
25.(8分)如图所示,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD交CD于点E,连接BE.
(1)直线BE与☉O相切吗 并说明理由.
(2)若CA=2,CD=4,求DE的长.
解:(1)直线BE与☉O相切.理由如下:
如图所示,连接OD,
∵CD与☉O相切于点D,
∴∠ODE=90°.
∵AD∥OE,
∴∠ADO=∠DOE,
∠DAO=∠EOB.
∵OD=OA,
∴∠ADO=∠DAO.
∴∠DOE=∠EOB.
在△DOE和△BOE中,
∴△DOE≌△BOE(SAS).
∴∠OBE=∠ODE=90°.
∵OB是☉O的半径,
∴直线BE与☉O相切.
(2)设☉O的半径为r.
在Rt△ODC中,
OD2+DC2=OC2,
∴r2+42=(r+2)2.
∴r=3.
∴AB=2r=6.
∴BC=AC+AB=2+6=8.
由(1),得△DOE≌△BOE,
∴DE=BE.
在Rt△BCE中,BC2+BE2=CE2,
∴82+BE2=(4+DE)2.
∴64+DE2=(4+DE)2.
∴DE=6.
26.(8分)如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上的中点,CD⊥AF,垂足为D,AB,DC的延长线交于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若BE=3,CE=3,求图中阴影部分的面积.
(1)证明:连接OC,如图所示.
∵C为☉O上的中点,
∴∠1=∠2.
∵OA=OC,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴AD∥OC.
∵AD⊥CD,∴OC⊥CD.
∵OC为☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.
(2)解:设☉O的半径为r,
则OC=OB=r.
在Rt△OCE中,r2+(3)2=(r+3)2,
解得r=3.
∴OC=3,OE=6.
∴∠E=30°,∠COE=60°.
∴图中阴影部分的面积为S△C OE-S扇形OBC
=×3×3-
=.
27.(12分)如图(1)所示,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在上,AD交BC于点E,点F在AE上,满足∠AFB-∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于点G,BE=FG,连接BD,DG.设∠ACB=α.
(1)用含α的代数式表示∠BFD;
(2)求证:△BDE≌△FDG;
(3)如图(2)所示,若AD为☉O的直径,当的长为2时,求的长.
(1)解:∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α,①
又∵∠AFB+∠BFD=180°,②
②-①,得2∠BFD=180°-α,
∴∠BFD=90°-.
(2)证明:由(1),得∠BFD=90°-,
∵∠ADB=∠ACB=α,
∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=
90°-.
∴∠BFD=∠FBD.
∴DB=DF.
∵FG∥AC,
∴∠CAD=∠DFG.
∵∠CAD=∠DBE,
∴∠DFG=∠DBE.
在△BDE和△FDG中,
∴△BDE≌△FDG(SAS).
(3)解:∵△BDE≌△FDG,
∴∠FDG=∠BDE=α,DE=DG.
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α.
∵DE=DG,
∴∠DGE=(180°-∠FDG)=90°-.
∴∠DBG=180°-∠BDG-∠DGE=
90°-.
∵AD是☉O的直径,
∴∠ABD=90°.
∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=.
∴与所对的圆心角度数之比为3∶2.
∴与的长度之比为3∶2.
∵=2,
∴=3.
