第二十五章 概率初步
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.下列事件中,不是必然事件的是( )
A.垂线段最短
B.同位角相等
C.等腰三角形的两个底角相等
D.三角形任意两边之和大于第三边
2.下列说法正确的是( )
A.若你在上一个路口遇到绿灯,则在下一路口必遇到红灯
B.某篮球运动员2次罚球,投中一个,则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C.“明天昆明会下雨”是随机事件
D.若某种彩票中奖的概率是1%,则买100张该种彩票一定会中奖
3.天气预报“明天12:00下雨的概率为51%”,则下列说法正确的是( )
A.明天12:00肯定下雨
B.明天12:00下雨和不下雨的可能性几乎相同
C.明天12:00肯定不下雨
D.明天12:00下雨的可能性极大
4.(2023广东)某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习,每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为( )
A. B. C. D.
5.小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表:
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 249
若抛掷硬币的次数为1 000,则“正面朝上”的频数最接近( )
A.200 B.300 C.400 D.500
6.从,3.141 592 6,3.,,,-,中随机抽取一个数,此数是无理数的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知一个布袋里装有2个红球,3个白球和a个黄球,这些球除颜色外其余都相同.若从该布袋里任意摸出1个球,是红球的概率为,则a等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图所示,某公园有一个入口,A,B,C三个出口,甲、乙两人进入这个公园,活动后从同一个出口出来的概率是( )
A. B.
C. D.
9.有4条线段,分别为3cm,4cm,5cm,6cm,从中任取3条,能构成直角三角形的概率是( )
A. B. C. D.
10.将分别标有“七”“彩”“云”“南”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字外无其他差别,每次摸球前先搅拌均匀,随机摸出一球,不放回;再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字组成“云”“南”的概率是( )
A. B. C. D.
11.小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从1,2,…,7这7个数中任意选择一个数字,然后两人各掷一次质地均匀的骰子,谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜;若两人选择的数都不等于掷得的点数之和,就再做一次上述游戏,直至决出胜负.若你是游戏者,为了获胜,你会选择数( )
A.7 B.6 C.5 D.4
12.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示是一个用七巧板拼成的正方形,如果在此正方形中随机取一点,那么此点取自黑色部分的概率为( )
A. B. C. D.
13.现有A,B两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6).用小莉掷A立方体朝上的数字为x、小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P(x,y),那么他们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为( )
A. B. C. D.
14.如图所示,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,假设可以随机在正六边形中取点,那么这个点取在阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
15.如图所示,在甲、乙、丙三只袋中分别装有球 29个、29个、5个,先从甲袋中取出2x个球放入乙袋,再从乙袋中取出(2x+2y)个球放入丙袋,最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋,此时三只袋中球的个数都相同,则2x+y的值等于( )
A.128 B.64 C.32 D.16
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.是有理数是 (选填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”).
17.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在 0.3左右,则布袋中黄球可能有 个.
18.如图所示,半径为5的☉O,圆心O与平面直角坐标系的原点重合.有4张不透明的卡片,分别标有数字-4,0,3,5,它们除了正面上的数字不同外,其他均相同,将这四张卡片背面向上洗匀后放在桌面,从中随机抽取两张卡片,将上面的数字分别记为m,n,则点P(m,n)在☉O内部的概率为 .
19.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0),对称轴是直线x=-1,有如下结论:①abc>0,②b2-4ac>0,③2a-b=0,④3a+2c<0,从中随机选择一个是正确结论的概率为 .
三、解答题(共62分)
20.(7分)关于x的方程x2+(k+2)x+6-k=0有两个相等的实数根.
(1)求k的值;
(2)从k+2,k-2中任选一个数记作a,求使二次函数y=ax2的图象开口向上的概率.
21.(6分)一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,某课外学习小组做摸球试验:将球搅匀后从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得数据如下表
所示:
摸球 的次数 200 300 400 1 000 1 600 2 000
摸到 白球 的频数 72 93 130 334 532 667
摸到 白球 的频率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5
(1)该学习小组发现,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数是 (精确到0.01),由此估出红球有 个.
(2)怎样改变两种颜色球的数量,使得每一种颜色的球被摸出的可能性一样大
22.(7分)人工智能是数字经济高质量发展的引擎,也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型,将四个类型的图标依次制成A,B,C,D四张卡片(卡片背面完全相同),将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.
(1)随机抽取一张,抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ;
(2)从中随机抽取一张,记录卡片的内容后放回洗匀,再随机抽取一张,请用列表或画树状图法求抽取到的两张卡片内容一致的概率.
23.(6分)国庆长假期间,云南旅游热度不减,昆明野生动物园更成为众多游客的必选景点之一.九年级的小明和来自杭州的表哥小华打算在长假期间到野生动物园与动物们来一次亲密接触.小明认为徒步游览可以充分观赏各种动物自然的生活状态,小华则认为时间有限,乘坐观光车可以游览尽可能多的园区.因两人意见不统一,他们决定用以下方法决定游览方式:选取四张外观完全相同的纸片,分别写上“欢”“度”“国”“庆”四个字,把纸片混合均匀后,小华随机抽出一张不放回,小明再从余下的纸片中随机抽出一张,若两人抽到的两张纸片上的汉字组成“欢度”或“国庆”两个词中的任意一个,则采取徒步游览,否则就采取乘坐观光车游览.
(1)小华随机抽取一张纸片,抽到“国”字的概率是 ;
(2)请你用画树状图或者列表的方法,求出两人选择乘坐观光车游览园区的概率.
24.(8分)某商场为了吸引顾客,设计了一种促销活动.在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球,球上分别标有“0元”“10元”“20元”和“40元”的字样.规定:顾客在本商场同一日内,消费每满300元,就可以从箱子里先后摸出两个球(每次只摸出一个球,第一次摸出后不放回).商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券,可以重新在本商场消费.某顾客消费刚好满300元,则在本次消费中:
(1)该顾客最少可得 元购物券,最多可得 元购物券;
(2)请用画树状图法或列表法,求出该顾客所获购物券的金额不低于40元的概率.
25.(8分)如图所示,地面上有一个不规则的封闭图形ABCD,为求得它的面积,小明在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆后,在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似看成点),记录如下:
掷小石子 所落的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆 内(含圆上)的 次数m 14 48 89 …
小石子落在圆 外的阴影部分 (含外边缘)的 次数n 30 95 180 …
(1)当投掷的次数很大时,m∶n的值越来越接近 (结果保留一位小数);
(2)若以小石子所落的有效区域里的次数为总数(即m+n),则随着投掷次数的增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在 附近;
(3)如果你掷一次小石子(小石子投进封闭图形ABCD内),求小石子落在圆内(含圆上)的概率;
(4)请你利用(2)中所得频率,估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米(结果保留π).
26.(8分)(2022云南改编)某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目,计划用葫芦丝合奏一首乐曲.要合奏的乐曲是用游戏的方式在甲曲与乙曲中确定一首.游戏规则如下:在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2,3,4的四个小球(除标号外,其余都相同),甲从口袋中任意摸出1个小球,小球上的数字记为a.在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2的两张卡片(除标号外,其余都相同),乙从口袋里任意摸出1张卡片,卡片上的数字记为b.然后计算这两个数的和,即a+b.若a+b为奇数,则演奏甲曲;否则,演奏乙曲.
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法,求(a,b)所有可能出现的结果总数.
(2)你认为这个游戏公平吗 如果公平,请说明理由;如果不公平,哪一首乐曲更可能被选中
27.(12分)“强国必须强语,强语助力强国.”为全面落实国家语言文字方针政策,弘扬中华民族优秀传统文化,某学校组织学生参加了以“推广普通话,奋进新征程”为主题的朗诵比赛.该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计,将成绩分为四个等级:A(优秀),B(良好),C(一般),D(不合格),并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中所给信息解答下列问题:
(1)条形统计图中的m= ;“C”等级所在扇形的圆心角的度数为
度;
(2)请将条形统计图补充完整(要求在条形图上方表明人数);
(3)学校要从比赛成绩为A等级且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中,随机抽出两名学生去做“推广普通话宣传员”,请用列表或画树状图法,求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率.第二十五章 概率初步
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.下列事件中,不是必然事件的是(B)
A.垂线段最短
B.同位角相等
C.等腰三角形的两个底角相等
D.三角形任意两边之和大于第三边
2.下列说法正确的是(C)
A.若你在上一个路口遇到绿灯,则在下一路口必遇到红灯
B.某篮球运动员2次罚球,投中一个,则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C.“明天昆明会下雨”是随机事件
D.若某种彩票中奖的概率是1%,则买100张该种彩票一定会中奖
3.天气预报“明天12:00下雨的概率为51%”,则下列说法正确的是(B)
A.明天12:00肯定下雨
B.明天12:00下雨和不下雨的可能性几乎相同
C.明天12:00肯定不下雨
D.明天12:00下雨的可能性极大
4.(2023广东)某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习,每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为(C)
A. B. C. D.
5.小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表:
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 249
若抛掷硬币的次数为1 000,则“正面朝上”的频数最接近(D)
A.200 B.300 C.400 D.500
6.从,3.141 592 6,3.,,,-,中随机抽取一个数,此数是无理数的概率是(A)
A. B. C. D.
7.已知一个布袋里装有2个红球,3个白球和a个黄球,这些球除颜色外其余都相同.若从该布袋里任意摸出1个球,是红球的概率为,则a等于(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图所示,某公园有一个入口,A,B,C三个出口,甲、乙两人进入这个公园,活动后从同一个出口出来的概率是(B)
A. B.
C. D.
9.有4条线段,分别为3cm,4cm,5cm,6cm,从中任取3条,能构成直角三角形的概率是(C)
A. B. C. D.
10.将分别标有“七”“彩”“云”“南”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字外无其他差别,每次摸球前先搅拌均匀,随机摸出一球,不放回;再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字组成“云”“南”的概率是(B)
A. B. C. D.
11.小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从1,2,…,7这7个数中任意选择一个数字,然后两人各掷一次质地均匀的骰子,谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜;若两人选择的数都不等于掷得的点数之和,就再做一次上述游戏,直至决出胜负.若你是游戏者,为了获胜,你会选择数(A)
A.7 B.6 C.5 D.4
12.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示是一个用七巧板拼成的正方形,如果在此正方形中随机取一点,那么此点取自黑色部分的概率为(C)
A. B. C. D.
13.现有A,B两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6).用小莉掷A立方体朝上的数字为x、小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P(x,y),那么他们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为(B)
A. B. C. D.
14.如图所示,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,假设可以随机在正六边形中取点,那么这个点取在阴影部分的概率是(B)
A. B. C. D.
15.如图所示,在甲、乙、丙三只袋中分别装有球 29个、29个、5个,先从甲袋中取出2x个球放入乙袋,再从乙袋中取出(2x+2y)个球放入丙袋,最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋,此时三只袋中球的个数都相同,则2x+y的值等于(A)
A.128 B.64 C.32 D.16
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.是有理数是 必然事件 (选填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”).
17.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在 0.3左右,则布袋中黄球可能有 15 个.
18.如图所示,半径为5的☉O,圆心O与平面直角坐标系的原点重合.有4张不透明的卡片,分别标有数字-4,0,3,5,它们除了正面上的数字不同外,其他均相同,将这四张卡片背面向上洗匀后放在桌面,从中随机抽取两张卡片,将上面的数字分别记为m,n,则点P(m,n)在☉O内部的概率为 .
19.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0),对称轴是直线x=-1,有如下结论:①abc>0,②b2-4ac>0,③2a-b=0,④3a+2c<0,从中随机选择一个是正确结论的概率为 .
三、解答题(共62分)
20.(7分)关于x的方程x2+(k+2)x+6-k=0有两个相等的实数根.
(1)求k的值;
(2)从k+2,k-2中任选一个数记作a,求使二次函数y=ax2的图象开口向上的概率.
解:(1)∵x2+(k+2)x+6-k=0有两个相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=(k+2)2-4(6-k)=0.
∴k=-10或k=2.
(2)由(1)可知k=-10或k=2,
∵a≠0,
∴k+2,k-2对应的所有值为-8,-12,4.
∴二次函数y=ax2的图象开口向上的概率为.
21.(6分)一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,某课外学习小组做摸球试验:将球搅匀后从中任意摸出1个球,记下颜色后放回、搅匀,不断重复这个过程,获得数据如下表
所示:
摸球 的次数 200 300 400 1 000 1 600 2 000
摸到 白球 的频数 72 93 130 334 532 667
摸到 白球 的频率 0.360 0 0.310 0 0.325 0 0.334 0 0.332 5 0.333 5
(1)该学习小组发现,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数是 (精确到0.01),由此估出红球有 个.
(2)怎样改变两种颜色球的数量,使得每一种颜色的球被摸出的可能性一样大
解:(1)0.33 2
(2)因为不透明袋子中装有1个白球,2个红球,要想使得每一种颜色的球被摸出的可能性一样大,则把一个红球换成黄球就可以(答案不唯一).
22.(7分)人工智能是数字经济高质量发展的引擎,也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型,将四个类型的图标依次制成A,B,C,D四张卡片(卡片背面完全相同),将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.
(1)随机抽取一张,抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ;
(2)从中随机抽取一张,记录卡片的内容后放回洗匀,再随机抽取一张,请用列表或画树状图法求抽取到的两张卡片内容一致的概率.
解:(1)
(2)根据题意画树状图如下:
共有16种等可能的结果数,其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4,
∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为 =.
23.(6分)国庆长假期间,云南旅游热度不减,昆明野生动物园更成为众多游客的必选景点之一.九年级的小明和来自杭州的表哥小华打算在长假期间到野生动物园与动物们来一次亲密接触.小明认为徒步游览可以充分观赏各种动物自然的生活状态,小华则认为时间有限,乘坐观光车可以游览尽可能多的园区.因两人意见不统一,他们决定用以下方法决定游览方式:选取四张外观完全相同的纸片,分别写上“欢”“度”“国”“庆”四个字,把纸片混合均匀后,小华随机抽出一张不放回,小明再从余下的纸片中随机抽出一张,若两人抽到的两张纸片上的汉字组成“欢度”或“国庆”两个词中的任意一个,则采取徒步游览,否则就采取乘坐观光车游览.
(1)小华随机抽取一张纸片,抽到“国”字的概率是 ;
(2)请你用画树状图或者列表的方法,求出两人选择乘坐观光车游览园区的概率.
解:(1)
(2)画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中两张纸片上的汉字组成“欢度”或“国庆”两个词中的任意一个的结果数为4种,
∴两人选择乘坐观光车游览园区的概率为=.
24.(8分)某商场为了吸引顾客,设计了一种促销活动.在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球,球上分别标有“0元”“10元”“20元”和“40元”的字样.规定:顾客在本商场同一日内,消费每满300元,就可以从箱子里先后摸出两个球(每次只摸出一个球,第一次摸出后不放回).商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券,可以重新在本商场消费.某顾客消费刚好满300元,则在本次消费中:
(1)该顾客最少可得 元购物券,最多可得 元购物券;
(2)请用画树状图法或列表法,求出该顾客所获购物券的金额不低于40元的概率.
解:(1)10 60
(2)列表如下:
0 10 20 40
0 - (0,10) (0,20) (0,40)
10 (10,0) - (10,20) (10,40)
20 (20,0) (20,10) - (20,40)
40 (40,0) (40,10) (40,20) -
∵两次摸球可能出现的结果共有12种,每种结果出现的可能性相同,而所获购物券的金额不低于40元的结果共有6种.
∴该顾客所获购物券的金额不低于40元的概率是.
25.(8分)如图所示,地面上有一个不规则的封闭图形ABCD,为求得它的面积,小明在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆后,在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似看成点),记录如下:
掷小石子 所落的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆 内(含圆上)的 次数m 14 48 89 …
小石子落在圆 外的阴影部分 (含外边缘)的 次数n 30 95 180 …
(1)当投掷的次数很大时,m∶n的值越来越接近 (结果保留一位小数);
(2)若以小石子所落的有效区域里的次数为总数(即m+n),则随着投掷次数的增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在 附近;
(3)如果你掷一次小石子(小石子投进封闭图形ABCD内),求小石子落在圆内(含圆上)的概率;
(4)请你利用(2)中所得频率,估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米(结果保留π).
解:(1)0.5 (2)
(3)小石子落在圆内(含圆上)的概率约为.
(4)设封闭图形的面积为a,
根据题意,得圆的面积为π m2,则=,
解得a=3π,
∴估计整个封闭图形ABCD的面积是3π m2.
26.(8分)(2022云南改编)某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目,计划用葫芦丝合奏一首乐曲.要合奏的乐曲是用游戏的方式在甲曲与乙曲中确定一首.游戏规则如下:在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2,3,4的四个小球(除标号外,其余都相同),甲从口袋中任意摸出1个小球,小球上的数字记为a.在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2的两张卡片(除标号外,其余都相同),乙从口袋里任意摸出1张卡片,卡片上的数字记为b.然后计算这两个数的和,即a+b.若a+b为奇数,则演奏甲曲;否则,演奏乙曲.
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法,求(a,b)所有可能出现的结果总数.
(2)你认为这个游戏公平吗 如果公平,请说明理由;如果不公平,哪一首乐曲更可能被选中
解:(1)按游戏规则计算两个数的和,列表如下:
b a
1 2 3 4
1 1+1=2 2+1=3 3+1=4 4+1=5
2 1+2=3 2+2=4 3+2=5 4+2=6
从表中可以看出共有8种等可能的结果.
(2)我认为这个游戏公平.理由如下:
从表中可以看出共有8种等可能的结果,其中和为奇数与和为偶数的等可能的结果各有4种,
∴P(和为奇数)=P(和为偶数).
∴这个游戏公平.
27.(12分)“强国必须强语,强语助力强国.”为全面落实国家语言文字方针政策,弘扬中华民族优秀传统文化,某学校组织学生参加了以“推广普通话,奋进新征程”为主题的朗诵比赛.该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计,将成绩分为四个等级:A(优秀),B(良好),C(一般),D(不合格),并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中所给信息解答下列问题:
(1)条形统计图中的m= ;“C”等级所在扇形的圆心角的度数为
度;
(2)请将条形统计图补充完整(要求在条形图上方表明人数);
(3)学校要从比赛成绩为A等级且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中,随机抽出两名学生去做“推广普通话宣传员”,请用列表或画树状图法,求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率.
解:(1)7 108
(2)A等级的人数为
16÷32%×24%=12(人).
补全条形统计图如图所示.
(3)画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果有2种,
∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率为 =.
