3.1.1函数的概念 教学设计

教学设计 函数的概念
课时教学内容
函数的概念．
课时教学目标
（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；
（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养．
教学重点与难点
教学重点：用集合语言和对应关系建立函数概念．
教学难点：通过实例，归纳、概括、抽象出函数的概念．
教学过程设计
一、复习回顾，引入概念
问题1：初中学过哪些函数？
师生活动：教师提问，学生回答．
追问1：是什么函数？是什么？是什么？给定一个值能确定几个值？
师生活动：预设学生回答：是一次函数，是自变量，是因变量．唯一一个．
追问2：初中是如何描述函数的？
师生活动：让学生1回答初中的函数概念，师生一起完善概念.
追问3：是函数吗？与是同一个函数吗？
师生活动：教师提出的问题，与学生的认知可能相悖，学生回答不出来，教师接着说进一步学习从现有的知识（集合）上学习函数概念的必要性．
设计意图：直接回顾初中的函数概念对学生来说有一定困难，故设计了问题1、追问1作为铺垫．整个问题串的设计，意在从学生已有的知识出发，激发学生的学习兴趣．
二、设计情境，抽象概念
情境1：某种作业本的单价是4元，某同学准备购买本用来完成部分学科的作业（每科最多买一本，共9科），设花费为元．那么：
①是的函数吗？如何表示？
②该问题中涉及几个变量？各个变量的取值范围是什么？
③该问题的对应关系是什么？两个变量是如何对应的？
师生活动：预设学生回答：①是，；②两个，，；③解析式，对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应．
情境2：国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，那么2008年到2012年中国创新指数的情况如下表所示：
以表示年度值，表示中国创新指数的取值．那么：
①是的函数吗？如何表示？
②该问题中涉及几个变量？各个变量的取值范围是什么？
③该问题的对应关系是什么？两个变量是如何对应的？
师生活动：预设学生回答：①是，学生不知如何回答；②两个，，；③表格，对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应．
情境3：如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．
以表示这一天内任一时刻，表示空气质量指数值．那么：
①是的函数吗？如何表示？
②该问题中涉及几个变量？各个变量的取值范围是什么？
③该问题的对应关系是什么？两个变量是如何对应的？
师生活动：预设学生回答：①是，学生不知如何回答；②两个，，；③图象，对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应．
追问1：上述三个问题中的函数关系有哪些共同特征？
师生活动：预设学生回答：①都包含两个非空数集；②都有一个对应关系；③对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应．
追问2：能用集合语言和对应关系重新描述函数吗？
师生活动：预设学生回答：一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作，，其中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围（即数集）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合称为函数的值域．
设计意图：情境1从学生身边的例子入手，学生能写出函数的解析式，从而很容易得出是的函数，但往往不注意自变量的取值范围，需要教师及时补充，这也为用集合描述函数做铺垫．情境2、情境3不易使用函数解析式描述函数关系，但能帮助学生体会到用集合与对应关系的语言刻画函数关系的必要性，也说明函数有不同的表示方法．追问1中的函数关系共同特征的讨论意在引导学生发现函数的要素，为抽象出函数概念做好准备，并在此过程中培养学生数学抽象的核心素养．
三、设计问题，辨析概念
问题2：函数的本质是什么？
师生活动：预设学生回答：对应关系．
追问1：现在能回答问题1的追问3吗？
师生活动：预设学生回答：是函数，与不是同一个函数．
追问2：与是同一个函数吗？
师生活动：预设学生回答：是同一个函数．
追问3：、和是同一个函数吗？
师生活动：预设学生回答：是同一个函数．
追问4：判断两个函数为同一个函数的依据是什么？
师生活动：预设学生回答：定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等）．
设计意图：引导学生关注函数的本质，并通过对“是否是函数”的判断，以及对“同一个函数”的辨析，加深对函数概念的理解．
四、例题解析，应用概念
例1：求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）.
师生活动：预设学生回答：（1）；（2）；（3）．
师生小结求函数定义域的常用依据：
（1）若函数的表达式是整式，则其定义域为；
（2）若函数的表达式有分式，则分母不能为零；
（3）若函数的表达式有二次根式，则被开方数要大于或等于零；
（4）若函数的表达式是由几个数学式子构成的，则需使各部分都有意义；
（5）符合实际意义．
设计意图：帮助学生对定义域的常用求解方法进行梳理，并强调最后的结果一定要写成集合的形式（可以表示为区间）．
例2：已知，求函数的值域．
师生活动：预设学生回答：函数的值域为．
设计意图：让学生会求函数值和简单的值域，并通过具体函数的“数”来帮助学生理解“对应”，并强调最后的结果也要写成集合的形式（可以表示为区间）．
五、课堂小结
设集合，那么下列的4个图形中，能表示定义在集合上的函数的是 ，它们是同一个函数吗？函数②的定义域是 ，对应关系是 ，值域是 ．
师生活动：预设学生回答：②③，不是，，图象，．
设计意图：通过一道检测题，串联本节课的主要内容，让学生在解题中梳理所学知识．
六、布置作业
1、阅读教材第86页的“拓展阅读”，了解函数定义的演变过程，结合高中学习的函数概念谈谈你对函数有什么新的认识？
设计意图：了解函数定义的演变过程，加深学生对函数概念的理解．
2、教材93页练习A第2、5题，94页练习B第4题．
设计意图：练习A第2题，意在检测学生能否判断所给情境是否为函数，如果是函数，能否写出定义域和值域；练习A第5题，意在检测学生是否会求函数的定义域；练习B第4题意在检测学生能否判断所给函数是否为同一个函数．
目标检测设计
1、下列图形中，不能确定是的函数的是（ ）
设计意图：检测学生是否理解函数的概念．
2、下列函数中，与有相同图象的一个是（ ）
设计意图：检测学生能否判断所给函数是否为同一个函数，以及能否准确求出函数的定义域．
3、已知，求．
设计意图：检测学生能否准确求出函数值．