2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高三上学期月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高三上学期月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.已知，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
8.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间单位：时的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数已知，给氧小时后，血氧饱和度为若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间单位：时为 精确到，参考数据：
A. B. C. D.
9.已知函数且，若存在实数使得函数有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A. 存在，使得是偶函数
B. 存在，使得在上单调递减
C. 存在，使得在处取极大值
D. 存在，使得的最小值是
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知，，且，则的最小值为 ．
13.设是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是 ．
14.已知函数在区间上存在增区间，则的取值范围是 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
对任意实数，函数总存在零点；
存在实数，使得函数恒大于；
对任意实数，函数一定存在最小值；
存在实数，使得函数在上始终单调递减．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，且；，且．
是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由；
若是的充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
对下列式子求值：
18.本小题分
中华人民共和国乡村振兴促进法中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量单位：与肥料费用单位：元满足如下关系：其他总成本为单位：元，已知这种农作物的市场售价为每元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为单位：元
求的函数关系式；
当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若，设函数，在上的最大值为，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若不等式恒成立，求实数的取值范围；
已知直线是曲线在点处的切线，求证：当时，直线与曲线相交于点，其中．
21.本小题分
给定正整数，集合若存在集合，，，同时满足下列三个条件：
，；
集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被整除的数都在集合中集合中还可以包含其它数；
集合，，中各元素之和分别为，，，有；
则称集合为可分集合．
已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，；
当时，是不是可分集合？判断并说明理由；
已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件．
参考答案
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16.解不等式，得或，
故或
假设存在，使得，，
则有且，
解得，
所以，当时满足题意；
若是的充分条件，则，
则，或
解得，或，
所以的取值范围为．

17.原式．
原式．

18.解：由题意可得，
所以函数的关系式为
当时，的图象为开口向上的抛物线，
对称轴为，
所以当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时．
综上：当投入的肥料费用为元时，该农作物单株获得的利润最大，为元．

19.，，
，又，
故曲线在点处的切线方程为；
函数的定义域为，
令，解得，
当时，，在上单调递增，或单增区间为；
当时，由可得，，或，由可得，，
此时，单调递增区间为，；单调递减区间是．
当时，由可得，，或，由可得，，
此时单调递增区间为，；单调递减区间是．
综上可得：当时，，在上单调递增；
当时，单调递增区间为，；单调递减区间是；
当时，单调递增区间为，；单调递减区间是
由可知：若，单调递增区间为，；单调递减区间是．
当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减，
因，则，
因在上的最大值为，则有，解得，故有；
当时，即，此时在上递增，在上递减，在上递增，
因，则，
因，，，
，，，且，
则只需使，，解得，故有．
综上可得，的取值范围是．

20.由题意可知：的定义域为，且，
令时，，
则，，的关系为
单调递增 极大值 单调递减
所以，当时，取到极大值为，没有极小值．
若，即恒成立，
设，则，
当时，则恒成立，符合题意；
当时，则，可知在上单调递增，
因为，所以不恒成立；
当时，，，的关系为
单调递减 极小值 单调递增
可知的最小值为，则，
因为，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是．
因为，，则，
即切点坐标为，切线斜率为，
可得的方程为，即，
联立方程，可得，
由题可知：当时，方程有小于的解，
设，其中，且，则，
设，则，
因为，，，的关系为
单调递减 ， 单调递增
可知的最小值，且，
可知，使，
当时，，即；
当时，，即；
可知在内单调递增；在内单调递减，
可知的最大值，且，
可知存在小于的零点，
所以当时，直线与曲线相交于点，其中，得证．

21.解：依照题意，取时，
，
又，，
则，
所以可以取，，；
解：当时，不是可分集合，理由如下：
方法一：
假设存在是的倍数且是可分集合，设，则依照题意，
故，
而这个数的和为，
故，矛盾，
所以是的倍数时，一定不是可分集合；
方法二：
注意到所有元素和为，又中元素是偶数，
所以为正整数，
所以，即是的倍数．
容易验证，当时，不是的倍数，矛盾
所以当时，不是可分集合；
证明：因为所有元素和为，又中元素是偶数，
所以为正整数，
所以，因为，为连续整数，
故这两个数一个为奇数，另一个为偶数，
由知道，不是的倍数，所以一定有是的倍数．
当为偶数时，为奇数，而，
所以一定有是的倍数，是的倍数，
所以既是的倍数又是的倍数，
从而可分的一个必要条件是：是的倍数．
从而“是整数”是“为可分集合”必要条件．
另一方面，当时，不是可分集合，从而“是整数”不是“为可分集合”充分条件
可以验证：当，，时，不可分，其余满足是正整数情形，都可分
综上可知，“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件．

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