江苏省南通市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2024·南通）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ）
A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣5℃ D．5℃
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上2℃记作+2℃，
∴零下3℃记作-3℃，
故答案为：A.
【分析】用正负数表示具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，若先规定其中一个为正，则另一个为负.
2．（2024·南通）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A．158.2×109 B．15.82×1010 C．1.582×1011 D．1.582×1012
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵1582亿=158200000000，
∴1582亿用科学记数法表示为1.582×1011，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1.
3．（2024·南通）计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C．3 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可.
4．（2024·南通）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图可知该几何体是圆锥，
故答案为：D.
【分析】根据所给几何体三视图直接进行判断即可.
5．（2024·南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（ ）
A．41° B．51° C．49° D．59°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作EF∥a，
∵a∥b，
∴EF∥b，
∴∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠2=41°，
∴∠1=∠ABC-∠2=90°-41°=49°，
故答案为：C.
【分析】过点B作EF∥a，根据平行线的传递性得EF∥b，然后根据平行线的性质得∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，接下来由矩形的性质得∠ABC=90°，即可求出∠1=∠ABC-∠2的值.
6．（2024·南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（ ）
A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得7200（1+x）2=8450，
故答案为：A.
【分析】根据“2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg”列出关于x的一元二次方程.
7．（2024·南通）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2）
C．（2，1） D．（2，﹣2）
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为（-1，-2），
∴向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（2，-2），
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据坐标平移的规律得新的顶点坐标.
8．（2024·南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m>n），
∴中间小正方形的边长为m-n，
∴（m-n）2=m2-2mn+n2=5，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2=21，
∴（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，
∴m2+n2=13，
∴大正方形面积为13，
故答案为：B.
【分析】先求出中间小正方形的边长为m-n，再利用完全平方公式得（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，从而求出m2+n2=13，利用勾股定理可知大正方形面积为m2+n2，即可求解.
9．（2024·南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、根据函数图象可知，甲比乙早出发1h，A错误；
B、根据函数图象可知，乙全程用时1h，B错误；
C、根据函数图象可知，乙比甲早到B地2h，C错误；
D、根据函数图象可知，甲的速度为：20÷4=5km/h，D正确；
故答案为：D.
【分析】观察函数图象，结合题意进行求解并判断即可.
10．（2024·南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB AE请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，
∴DH=DE，∠HDE=2α，
①如图，当点E落在边AC上时，
∵∠C=α，∠HDE=∠C+∠DEC=2α，
∴∠DEC=α，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∵DH=DE，
∴DH=DC，
∴点D为HC的中点，
∴小明正确；
②如图，作射线HE，交AC于点F，连接AE，
∵AH⊥BC，
∴∠AHD=∠AHB=90°，
∵DH=DE，∠HDE=2α，
∴，
∴∠DHE+∠C=90°－α+α=90°，
∴∠HFC=90°，即HF⊥AC恒成立，
∴点E在射线HF上运动，
∴当AE⊥HF时，AE的长最小，
∴∠AEH=∠AHB=90°，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AH⊥BC，
∴∠BAH=∠HAE，
∴，
∴，
∴，
∴小丽正确，
综上所述，小明、小丽都正确，
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质得DH=DE，∠HDE=2α，①当点E落在边AC上时，根据三角形外角的性质得∠DEC=∠C，从而得DE=DC，进而求出DH=DC，即可判断小明正确；②作射线HE，交AC于点F，连接AE，根据垂直的定义得∠AHD=∠AHB=90°，利用等腰三角形“等边对等角”性质、三角形内角和求出∠DHE=90°-α，从而有DHE+∠C=90°－α+α=90°，得HF⊥AC恒成立，点E在射线HF上运动，进而得当AE⊥HE时，AE的长最小，接下来易证，根据相似三角形对应边成比例的性质得，整理得，即可证明小丽正确.
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（2024·南通）分解因式：ax﹣ay＝ ．
【答案】a（x-y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ax-ay＝a（x-y），
故答案为：a（x-y）.
【分析】用提公因式法进行因式分解即可.
12．（2024·南通）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是 cm2．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥底面圆半径为2cm，母线长为6cm，
∴圆锥的侧面积为：，
故答案为：.
【分析】根据圆锥的侧面积公式：，其中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线长，即可求解.
13．（2024·南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
【答案】-1（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+k有两个不相等的实数根，
∴（-2）2-4×1×k>0，
∴k＜1，
故答案为：-1（答案不唯一）.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得关于k的不等式，解不等式求出k的取值范围是k＜1，在此范围内任取一个k的值即可.
14．（2024·南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为 m．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，BC=6，
∴m，
故答案为：.
【分析】解直角三角形求出的值即可.
15．（2024·南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm．
【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∴∠AED=90°，
∵菱形的周长为20，
∴AD=5，
∵∠A=45°，
∴，
∴菱形的高为，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，得∠AED=90°，根据菱形的性质得AD=5，然后解直角三角形求出的值即可.
16．（2024·南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 。
【答案】R≥3.6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设I与R的函数解析式为I=，
∵点（9，4）在此函数图象上，
∴k=9×4=36
∴I=
∵I≤10
∴，
解之：R≥3.6.
故答案为：R≥3.6
【分析】利用待定系数法求出I与R的函数解析式，再根据I≤10，建立关于R的不等式，解不等式即可。
17．（2024·南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，
∴∠DHG=∠AHG=90°，
∴∠HDG+∠DGH=90°，
∵正方形DEFG的边长为，
∴，∠EDG=90°，
∴∠HDG+∠CDE=90°，
∴∠HDG+∠DGH=∠HDG+∠CDE，
∴∠DGH=∠CDE，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DHG，
在和中，
，
∴，
∴GH=CD，DH=CE，
∵AC=BC=5，∠ACB=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，，
又∵∠AHG=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴GH=CD=AH，
设GH=CD=AH=x，DH=CE=y，
∴，
∴y=5-2x，
∴，
整理得，
解得，
∴AH=2，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点G作GH⊥AC于点H，利用正方形的性质，由“一线三垂直“全等模型证出，得GH=CD，DH=CE，然后再证出、是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得、、，进而有GH=CD=AH，设GH=CD=AH=x，DH=CE=y，利用勾股定理、线段和差关系得，从而有关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，得，最后计算BG=AB-AG的值即可.
18．（2024·南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，设直线y=kx+b交AB于点P，
设AB所在直线的解析式为y=mx+n（m≠0），
把A（3，0），B（0，3）代入得，，
解得：，
∴AB所在直线的解析式为y=-x+3，
∵直线y=kx+b经过点（1，0），
∴k+b=0，
∴b=-k，
∴y=kx-k，
联立，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴远离原点部分为三角形，面积为，
又∵A（3，0），B（0，3），
∴，
∵靠近原点部分的面积为，
∴远离原点部分的面积为，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】设直线y=kx+b交AB于点P，利用待定系数法求出AB所在直线的解析式为y=-x+3，然后根据题意将直线y=kx+b的解析式整理成y=kx-k，接下来联立，解方程组得P，从而有远离原点部分的面积为，利用三角形面积公式求出远离原点部分的面积为，进而得，解方程求出k的值即可.
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·南通）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；
（2）解方程1．
【答案】（1）解：原式＝m2-2m-m2-m
＝-3m；
（2）解：方程两边同乘3x+3，得3x-（3x+3）＝2x，
∴3x-3x-3＝2x，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
【知识点】整式的混合运算；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则进行计算即可；
（2）根据分式方程的解法进行求出即可.
20．（2024·南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 m
C 4.8≤t＜6.2 n
D 6.2≤t＜7.6 6
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
【答案】（1）20；15
（2）B
（3）解：∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（个），
∴若该小区有1200个家庭，则估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：（个）．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）C组的频数，
∴B组的频数m=50-（7+15+6+2）=20，
故答案为：20；15；
（2）∵50÷2=25，A组频数为7，B组频数为20，
∴这50个家庭去年月平均用水量的中位数落在B组，
故答案为：B.
【分析】（1）用C组所占比乘50得C组的频数，然后用50减去其余各组的频数和得B组的频数；
（2）根据中位数的定义进行求解；
（3）用样本估计总体，先求出50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数，再用1200乘去年月均用水量小于4.8吨的家庭所占比即可求解.
21．（2024·南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
【答案】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
【知识点】全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】用全等三角形的判定定理“SAS”出△ADE≌△CFE，然后根据全等三角形对应角相等得∠ADE＝∠CFE，由“内错角相等，两直线平行”得CF∥AB．
22．（2024·南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∴一共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的有4种，
∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，选择其中一个出入口，
∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）根据求简单事件概率的方法进行求解；
（2）利用树状图求出所有的等可能结果数，从而得”甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动“的结果数，最后用概率公式进行求解.
23．（2024·南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
【答案】（1）解：如图，连接AD，设与AC、AB分别交于点E、F，
∵与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴，
∴；
（2）解：如图，当C，A，P三点共线时，CP的长最大，
由（1）得，∠BAC=90°，
∴∠BAP=90°，
∵AB＝3，
∴．
【知识点】三角形的面积；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接AD，设与AC、AB分别交于点E、F，根据切线的性质得AD⊥BC，利用”面积法“求出AD的值，从而利用三角形面积、扇形面积公式求出的值；
（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，由（1）得，∠BAC=90°，从而有∠BAP=90°，进而利用勾股定理求出BP的长即可.
24．（2024·南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
根据题意，得80a+60（10﹣a）≤700，
解得：a≤5，
设每天分拣快递的件数为w万件，
∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∵一次项系数k=4>0，w随着a的增大而增大，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为w=4×5+180=200（万件），
∴10-a=10-5=5，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台， 能使每天分拣快递的件数最多 ．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据”信息一“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据”用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台“列出关于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设每天分拣快递的件数为w，则根据”信息二“得w＝4a+180，接下来利用一次函数的性质得a=5时，w最大，即可求解.
25．（2024·南通）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y上，且x0．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
【答案】（1）解：若a＝﹣1，b＝3，
y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，
∵当时，y取得最小值，
∴x0＝1；
（2）解：∵点P（a，b）在双曲线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得：a1＝2，a2＝﹣1，
当a＝2时，点P到y轴的距离为2，
当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1，
综上所述，点P到y轴的距离为2或1；
（3）解：∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，
∴，
∵，
∴，
∵1≤x0＜3，
∴，
整理得1≤a2＜9，
解得：﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，
∵a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或1或2，
∴整数a的个数为4个．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式进行求解；
（2）将P（a，b）代入中，求出，从而得，根据抛物线对称轴公式得关于a的方程并整理可得，解方程求出a的值，然后进行分类讨论；
（3）根据题意得，整理抛物线的，然后利用抛物线对称轴公式求出，由x0的取值范围得关于a的不等式组1≤a2＜9，解不等式组求出a的取值范围，即可求解.
26．（2024·南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
（1）【特例探究】
如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° 2
图③ 1 30° ▲ ▲ ▲
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的数量关系： ▲ ．
（2）【变式思考】
已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB AC之间的数量关系，并证明．
（3）【拓展运用】
如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
【答案】（1）解：；；；；
（2）解：，证明如下：
如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，
∴∠AED=∠AGC=90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴DE=DF，∠BAD=30°，
∵AD=1，
∴，，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴ 12AB·CG=12AB·DE+12AC·DF ， ∴ 12AB·32AC=12AB·12+12AC·12 ，
∴；
（3）解：补全图形如图所示，为定值，
设∠A＝α，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝α，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，
如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，
∴∠BGN=∠BHE=90°，
∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN，
∴，
又∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∵∠GBN=∠ABD+∠CBD=36°+36°=72°，∠BGN=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠BHE=90°，∠CBD=36°，
∴，
∴，
∵BE为定长，sin36°和sin72°为定值，
∴为定值，
∴为定值．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）如图③，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AD=1，∠BAD=30°，
，
∴，
∴两腰之和为，两腰之积为，
猜想证明：如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AD=1，∠BAD=α，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；；；.
【分析】（1）根据等腰三角形”三线合一“的性质得AD⊥BC，从而有∠ADB=90°，然后解直角三角形求出AB=AC的值，即可得AB+AC、的值，猜想同理可求出，，进而得；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，得∠AED=∠AGC=90°，根据角平分线的性质得DE=DF，∠BAD=30°，从而解直角三角形求出DE=DF、CG的值，然后由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，利用三角形面积公式得12AB·32AC=12AB·12+12AC·12 ，整理可得：；
（3）根据题意画出图形，设∠A＝α，由等腰三角形”等边对等角“性质得∠ABD＝∠A＝α，从而根据三角形外角的性质得∠BDC＝2α，进而有∠BCD＝∠BDC＝2α，∠ABC＝∠ACB＝2α，利用三角形内角和定理得α+2α+2α＝180°，解方程求出α=36°，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，得∠BGN=∠BHE=90°，由S△BMN＝S△BEM+S△BEN，利用三角形面积公式得，接下来根据角平分线的性质得EF=EH，然后求出∠GBN=72°，解直角三角形得，从而得，整理得，解直角三角形求出，进而有为定值，即可求出为定值．
1 / 1江苏省南通市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2024·南通）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ）
A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣5℃ D．5℃
2．（2024·南通）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A．158.2×109 B．15.82×1010 C．1.582×1011 D．1.582×1012
3．（2024·南通）计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C．3 D．
4．（2024·南通）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥
5．（2024·南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（ ）
A．41° B．51° C．49° D．59°
6．（2024·南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（ ）
A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200
7．（2024·南通）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2）
C．（2，1） D．（2，﹣2）
8．（2024·南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．（2024·南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h
10．（2024·南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB AE请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（2024·南通）分解因式：ax﹣ay＝ ．
12．（2024·南通）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是 cm2．
13．（2024·南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
14．（2024·南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为 m．
15．（2024·南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm．
16．（2024·南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 。
17．（2024·南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 ．
18．（2024·南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·南通）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；
（2）解方程1．
20．（2024·南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 m
C 4.8≤t＜6.2 n
D 6.2≤t＜7.6 6
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
21．（2024·南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
22．（2024·南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
23．（2024·南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
24．（2024·南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
25．（2024·南通）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y上，且x0．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
26．（2024·南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
（1）【特例探究】
如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° 2
图③ 1 30° ▲ ▲ ▲
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的数量关系： ▲ ．
（2）【变式思考】
已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB AC之间的数量关系，并证明．
（3）【拓展运用】
如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上2℃记作+2℃，
∴零下3℃记作-3℃，
故答案为：A.
【分析】用正负数表示具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，若先规定其中一个为正，则另一个为负.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵1582亿=158200000000，
∴1582亿用科学记数法表示为1.582×1011，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可.
4．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图可知该几何体是圆锥，
故答案为：D.
【分析】根据所给几何体三视图直接进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作EF∥a，
∵a∥b，
∴EF∥b，
∴∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠2=41°，
∴∠1=∠ABC-∠2=90°-41°=49°，
故答案为：C.
【分析】过点B作EF∥a，根据平行线的传递性得EF∥b，然后根据平行线的性质得∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，接下来由矩形的性质得∠ABC=90°，即可求出∠1=∠ABC-∠2的值.
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得7200（1+x）2=8450，
故答案为：A.
【分析】根据“2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg”列出关于x的一元二次方程.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为（-1，-2），
∴向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（2，-2），
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据坐标平移的规律得新的顶点坐标.
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m>n），
∴中间小正方形的边长为m-n，
∴（m-n）2=m2-2mn+n2=5，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2=21，
∴（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，
∴m2+n2=13，
∴大正方形面积为13，
故答案为：B.
【分析】先求出中间小正方形的边长为m-n，再利用完全平方公式得（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，从而求出m2+n2=13，利用勾股定理可知大正方形面积为m2+n2，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、根据函数图象可知，甲比乙早出发1h，A错误；
B、根据函数图象可知，乙全程用时1h，B错误；
C、根据函数图象可知，乙比甲早到B地2h，C错误；
D、根据函数图象可知，甲的速度为：20÷4=5km/h，D正确；
故答案为：D.
【分析】观察函数图象，结合题意进行求解并判断即可.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，
∴DH=DE，∠HDE=2α，
①如图，当点E落在边AC上时，
∵∠C=α，∠HDE=∠C+∠DEC=2α，
∴∠DEC=α，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∵DH=DE，
∴DH=DC，
∴点D为HC的中点，
∴小明正确；
②如图，作射线HE，交AC于点F，连接AE，
∵AH⊥BC，
∴∠AHD=∠AHB=90°，
∵DH=DE，∠HDE=2α，
∴，
∴∠DHE+∠C=90°－α+α=90°，
∴∠HFC=90°，即HF⊥AC恒成立，
∴点E在射线HF上运动，
∴当AE⊥HF时，AE的长最小，
∴∠AEH=∠AHB=90°，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AH⊥BC，
∴∠BAH=∠HAE，
∴，
∴，
∴，
∴小丽正确，
综上所述，小明、小丽都正确，
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质得DH=DE，∠HDE=2α，①当点E落在边AC上时，根据三角形外角的性质得∠DEC=∠C，从而得DE=DC，进而求出DH=DC，即可判断小明正确；②作射线HE，交AC于点F，连接AE，根据垂直的定义得∠AHD=∠AHB=90°，利用等腰三角形“等边对等角”性质、三角形内角和求出∠DHE=90°-α，从而有DHE+∠C=90°－α+α=90°，得HF⊥AC恒成立，点E在射线HF上运动，进而得当AE⊥HE时，AE的长最小，接下来易证，根据相似三角形对应边成比例的性质得，整理得，即可证明小丽正确.
11．【答案】a（x-y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ax-ay＝a（x-y），
故答案为：a（x-y）.
【分析】用提公因式法进行因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥底面圆半径为2cm，母线长为6cm，
∴圆锥的侧面积为：，
故答案为：.
【分析】根据圆锥的侧面积公式：，其中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线长，即可求解.
13．【答案】-1（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+k有两个不相等的实数根，
∴（-2）2-4×1×k>0，
∴k＜1，
故答案为：-1（答案不唯一）.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得关于k的不等式，解不等式求出k的取值范围是k＜1，在此范围内任取一个k的值即可.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，BC=6，
∴m，
故答案为：.
【分析】解直角三角形求出的值即可.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∴∠AED=90°，
∵菱形的周长为20，
∴AD=5，
∵∠A=45°，
∴，
∴菱形的高为，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，得∠AED=90°，根据菱形的性质得AD=5，然后解直角三角形求出的值即可.
16．【答案】R≥3.6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设I与R的函数解析式为I=，
∵点（9，4）在此函数图象上，
∴k=9×4=36
∴I=
∵I≤10
∴，
解之：R≥3.6.
故答案为：R≥3.6
【分析】利用待定系数法求出I与R的函数解析式，再根据I≤10，建立关于R的不等式，解不等式即可。
17．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，
∴∠DHG=∠AHG=90°，
∴∠HDG+∠DGH=90°，
∵正方形DEFG的边长为，
∴，∠EDG=90°，
∴∠HDG+∠CDE=90°，
∴∠HDG+∠DGH=∠HDG+∠CDE，
∴∠DGH=∠CDE，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DHG，
在和中，
，
∴，
∴GH=CD，DH=CE，
∵AC=BC=5，∠ACB=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，，
又∵∠AHG=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴GH=CD=AH，
设GH=CD=AH=x，DH=CE=y，
∴，
∴y=5-2x，
∴，
整理得，
解得，
∴AH=2，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点G作GH⊥AC于点H，利用正方形的性质，由“一线三垂直“全等模型证出，得GH=CD，DH=CE，然后再证出、是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得、、，进而有GH=CD=AH，设GH=CD=AH=x，DH=CE=y，利用勾股定理、线段和差关系得，从而有关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，得，最后计算BG=AB-AG的值即可.
18．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，设直线y=kx+b交AB于点P，
设AB所在直线的解析式为y=mx+n（m≠0），
把A（3，0），B（0，3）代入得，，
解得：，
∴AB所在直线的解析式为y=-x+3，
∵直线y=kx+b经过点（1，0），
∴k+b=0，
∴b=-k，
∴y=kx-k，
联立，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴远离原点部分为三角形，面积为，
又∵A（3，0），B（0，3），
∴，
∵靠近原点部分的面积为，
∴远离原点部分的面积为，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】设直线y=kx+b交AB于点P，利用待定系数法求出AB所在直线的解析式为y=-x+3，然后根据题意将直线y=kx+b的解析式整理成y=kx-k，接下来联立，解方程组得P，从而有远离原点部分的面积为，利用三角形面积公式求出远离原点部分的面积为，进而得，解方程求出k的值即可.
19．【答案】（1）解：原式＝m2-2m-m2-m
＝-3m；
（2）解：方程两边同乘3x+3，得3x-（3x+3）＝2x，
∴3x-3x-3＝2x，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
【知识点】整式的混合运算；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则进行计算即可；
（2）根据分式方程的解法进行求出即可.
20．【答案】（1）20；15
（2）B
（3）解：∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（个），
∴若该小区有1200个家庭，则估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：（个）．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）C组的频数，
∴B组的频数m=50-（7+15+6+2）=20，
故答案为：20；15；
（2）∵50÷2=25，A组频数为7，B组频数为20，
∴这50个家庭去年月平均用水量的中位数落在B组，
故答案为：B.
【分析】（1）用C组所占比乘50得C组的频数，然后用50减去其余各组的频数和得B组的频数；
（2）根据中位数的定义进行求解；
（3）用样本估计总体，先求出50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数，再用1200乘去年月均用水量小于4.8吨的家庭所占比即可求解.
21．【答案】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
【知识点】全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】用全等三角形的判定定理“SAS”出△ADE≌△CFE，然后根据全等三角形对应角相等得∠ADE＝∠CFE，由“内错角相等，两直线平行”得CF∥AB．
22．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∴一共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的有4种，
∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，选择其中一个出入口，
∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）根据求简单事件概率的方法进行求解；
（2）利用树状图求出所有的等可能结果数，从而得”甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动“的结果数，最后用概率公式进行求解.
23．【答案】（1）解：如图，连接AD，设与AC、AB分别交于点E、F，
∵与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴，
∴；
（2）解：如图，当C，A，P三点共线时，CP的长最大，
由（1）得，∠BAC=90°，
∴∠BAP=90°，
∵AB＝3，
∴．
【知识点】三角形的面积；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接AD，设与AC、AB分别交于点E、F，根据切线的性质得AD⊥BC，利用”面积法“求出AD的值，从而利用三角形面积、扇形面积公式求出的值；
（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，由（1）得，∠BAC=90°，从而有∠BAP=90°，进而利用勾股定理求出BP的长即可.
24．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
根据题意，得80a+60（10﹣a）≤700，
解得：a≤5，
设每天分拣快递的件数为w万件，
∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∵一次项系数k=4>0，w随着a的增大而增大，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为w=4×5+180=200（万件），
∴10-a=10-5=5，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台， 能使每天分拣快递的件数最多 ．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据”信息一“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据”用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台“列出关于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设每天分拣快递的件数为w，则根据”信息二“得w＝4a+180，接下来利用一次函数的性质得a=5时，w最大，即可求解.
25．【答案】（1）解：若a＝﹣1，b＝3，
y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，
∵当时，y取得最小值，
∴x0＝1；
（2）解：∵点P（a，b）在双曲线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得：a1＝2，a2＝﹣1，
当a＝2时，点P到y轴的距离为2，
当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1，
综上所述，点P到y轴的距离为2或1；
（3）解：∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，
∴，
∵，
∴，
∵1≤x0＜3，
∴，
整理得1≤a2＜9，
解得：﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，
∵a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或1或2，
∴整数a的个数为4个．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式进行求解；
（2）将P（a，b）代入中，求出，从而得，根据抛物线对称轴公式得关于a的方程并整理可得，解方程求出a的值，然后进行分类讨论；
（3）根据题意得，整理抛物线的，然后利用抛物线对称轴公式求出，由x0的取值范围得关于a的不等式组1≤a2＜9，解不等式组求出a的取值范围，即可求解.
26．【答案】（1）解：；；；；
（2）解：，证明如下：
如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，
∴∠AED=∠AGC=90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴DE=DF，∠BAD=30°，
∵AD=1，
∴，，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴ 12AB·CG=12AB·DE+12AC·DF ， ∴ 12AB·32AC=12AB·12+12AC·12 ，
∴；
（3）解：补全图形如图所示，为定值，
设∠A＝α，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝α，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，
如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，
∴∠BGN=∠BHE=90°，
∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN，
∴，
又∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∵∠GBN=∠ABD+∠CBD=36°+36°=72°，∠BGN=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠BHE=90°，∠CBD=36°，
∴，
∴，
∵BE为定长，sin36°和sin72°为定值，
∴为定值，
∴为定值．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）如图③，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AD=1，∠BAD=30°，
，
∴，
∴两腰之和为，两腰之积为，
猜想证明：如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AD=1，∠BAD=α，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；；；.
【分析】（1）根据等腰三角形”三线合一“的性质得AD⊥BC，从而有∠ADB=90°，然后解直角三角形求出AB=AC的值，即可得AB+AC、的值，猜想同理可求出，，进而得；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，得∠AED=∠AGC=90°，根据角平分线的性质得DE=DF，∠BAD=30°，从而解直角三角形求出DE=DF、CG的值，然后由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，利用三角形面积公式得12AB·32AC=12AB·12+12AC·12 ，整理可得：；
（3）根据题意画出图形，设∠A＝α，由等腰三角形”等边对等角“性质得∠ABD＝∠A＝α，从而根据三角形外角的性质得∠BDC＝2α，进而有∠BCD＝∠BDC＝2α，∠ABC＝∠ACB＝2α，利用三角形内角和定理得α+2α+2α＝180°，解方程求出α=36°，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，得∠BGN=∠BHE=90°，由S△BMN＝S△BEM+S△BEN，利用三角形面积公式得，接下来根据角平分线的性质得EF=EH，然后求出∠GBN=72°，解直角三角形得，从而得，整理得，解直角三角形求出，进而有为定值，即可求出为定值．
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