四川省宜宾市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2024·宜宾）2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2024·宜宾）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·宜宾）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ）
A．方差为0 B．众数为75
C．中位数为77.5 D．平均数为75
4．（2024·宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若，则的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（2024·宜宾）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
6．（2024·宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8 B．18 C．28 D．32
7．（2024·宜宾）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点 B．C点 C．D点 D．E点
8．（2024·宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
9．（2024·宜宾）如图，内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分交⊙O于D．则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·宜宾）如图，等腰三角形ABC中，，反比例函数的图象经过点A、B及AC的中点M，轴，AB与y轴交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·宜宾）如图，在中，，以BC为边作，，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
12．（2024·宜宾）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．（2024·宜宾）分解因式： ．
14．（2024·宜宾）分式方程的解为 ．
15．（2024·宜宾）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．
16．（2024·宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别是边CD、AD上的动点，且．当的值最小时，则 ．
17．（2024·宜宾）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
18．（2024·宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若，则MN的最小值为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2024·宜宾）（1）计算：；
（2）计算：．
20．（2024·宜宾）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
21．（2024·宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且，BE与AD交于点F．
求证：．
22．（2024·宜宾）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
23．（2024·宜宾）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
24．（2024·宜宾）如图，内接于⊙O，，过点A作，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若，求CD和DE的长．
25．（2024·宜宾）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的性质，正数的绝对值是是它本身.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，
故平均数为；
方差为
75出现的次数最多，故众数为75；
第5和第6个数都是75，故中位数是75；
故选项ACD都错误，B选项正确；
故答案为：B.
【分析】根据平均数和方差计算公式计算并判断AD，根据中位数和众数的定义可判断BC.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=∠CDB=60°，
∴∠ABC=90°－∠CAB=30°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理的推论求出∠DAB和∠ACB，即可得到结论.
5．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：快马追上慢马的天数是x天，
根据题意得：240x=150(x+12)
解得：x=20.
∴快马追上慢马的天数是20天.
故答案为：D.
【分析】设快马追上慢马的天数是x天，利用路程=速度×时间，结合快马追上慢马时两马跑的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.
6．【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、8的真因数是1，2，4，和为1+2+4=7≠8，故不是完美数，故不符合题意；
B、18的真因数是1，2，3，6，9，且1+2+3+6+9=21≠18，故不是完美数，故不符合题意；
C、28的真因数是1，2，4，7，14，且1+2+4+7+14=28，故是完美数，故符合题意；
D、32的真因数是1，2，4，8，16，且1+2+4+8+16=31≠32，故不是完美数，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】按照定义，分别计算出各个选项的真因数并求和，再与原数据比较，即可得到结论.
7．【答案】B
【知识点】几何体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：把图形围成立方体如图所示，
设正方体的棱长为1，则AD=1，，
∵，
∴与顶点A距离最远的顶点是C
故答案为：C.
【分析】可以把展开图围成正方体，再分别计算出AB，AC，AD，AE，即可得到结论.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设用x个大箱，y个小箱装荔枝，由题意得：
4x+3y=32
故.
故x=2，y=8，2+8=10；
x=5，y=4，5+4=9；
x=8，y=0，x+y=8.
8<9<10，
故答案为：C.
【分析】根据题意：用x个大箱，y个小箱装荔枝，且每个箱都装满，可得4x+3y=32，计算出x，y的值，即可得到最大箱数；
9．【答案】A
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD、CD，AD饶点D逆时针旋转90°得A'D，连接A'B，如图：
∵BC是 ⊙O 的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∵∠BCD=∠BAD，∠CAD=∠CBD，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴BD=DC，
在四边形ABDC中，∠BAC=∠BDC=90°
∴∠ACD+∠ABD=180°.
∵∠ADA'=∠CDB=90°，
∴∠ADC=∠A'DB，
又A'D=AD，BD=CD，
∴△A'DB≌△ADC(SAS)，
∴∠A'BD=∠ACD，A'B=AC，
∴∠A'BD+∠ABD=180°.
∴A'，B，A三点共线，
∴在△A'DA中，，AA'=AB+A'B=AB+AC，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接BD、CD，AD饶点D逆时针旋转90°得A'D，连接A'B，利用圆周角定理和角平分线证得∠BCD=∠CBD=45°，于是有BD=CD；根据圆内接四边形对角互补得∠ACD+∠ABD=180°.利用SAS证明△A'DB≌△ADC，∠A'BD=∠ACD，A'B=AC，于是有∠A'BD+∠ABD=180°，即可得A'，B，A三点共线，在等腰直角△A'DA中利用勾股定理即可得到结论.
10．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作过A作AD⊥BC于点D，BC与y轴交于E点，如图：
设，，
∵BC//x轴，AD⊥x轴，
∴点.
在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴
∵AC的中点为M，
∴，即
∵点M在反比例函数上，
∴
解得：b=﹣3a，或b=a(舍)
∵NE//AD，
∴
故答案为：A.
【分析】作过A作AD⊥BC于点D，BC与y轴交于E点，利用函数表达式设出A、B两点的坐标，利用D，M是中点，得到点D，C，M的坐标，再把点M坐标代入解析式，A，B两点横坐标的关系式，最后利用平行线分线段成比例定理即可求得结果.
11．【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，如图：
∵BE=AB，∠ABE=90°，
∴.
∵∠DBC=90°=∠EBA，
∴∠DBE=∠CBA，
又∵BD=BC，AB=BE，
∴△DBE≌△CBA(SAS)
∴DE=AC=2.
在△ADE中，AD
∵当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值=6+2=8.
故答案为：D.
【分析】将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性质可得AE，由三角形的三边关系即可求解.
12．【答案】C
【知识点】阿氏圆模型；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由图象可得a<0，c>0，∴b<0.
∵ 抛物线的图象交x轴于点、，
∴x=1时，y=0，即a+b+c=0；故选项①正确；
对称轴为，即，∴b=2a，
∴a+b+c=a+2a+c=0，∴c=﹣3a，∴，故选项②正确；
当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，∵对称轴为x=﹣1， AB=1－(-3)=4，
∴AC=AB=4或AB=CB=4.
点C（0，c），∴，，
当AC=AB时，，解得：（负数舍去）；
当CB=AB时，，解得：（负数舍去）；
综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故选项③错误；
当c=3时，C(0，3)，OC=3，
在OA上取点P，使，则点，.
∴，
又∵∠HOP=∠POA，
∴△HOP∽△POA.
∴，
∴.
∴，当C，P，H三点共线，可以取得最小值.
∴，
故的最小值是 ，故选项④正确.
综上，正确的选项是①②④
故答案为：C.
【分析】抛物线过点(1，0)，求得求得a+b+c=0，即可判断①；求得对称轴为直线x=-1，即可求得b=2a，由a+b+c=0，求得c=﹣3a，则a+3b+2c=a<0，即可判断②；分AC=AB=4和AB=BC=4两种情况求得c的值即可判断③；在OA上取点P，使，连接PH，则，于是可证明△HOP∽△POA，即可得，即.则当C、P、H共线时， 的值最小，最小值为CH，利用勾股定理求得CH即可判断④；
13．【答案】2(a+1)(a-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（a2-1）= 2(a+1)(a-1) .
故答案为： 2(a+1)(a-1) 。
【分析】先利用提公因式法分解因式，然后再用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
14．【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：x+1-3(x－1)=0
解得：x=2
经检验，x-1=2-1≠0，
∴x=2是分式方程的解.
故答案为：x=2.
【分析】先将分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后验根即可.
15．【答案】
【知识点】正多边形的性质；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角的度数为：，AB=BC=4，
∴.
在AC上截取AF，使AB=AF=4，如图：
∴，
∴∠CBF=∠AFB－∠BCA=72°－36°=36°=∠CAB.
又∵∠BCF=∠ACB，
∴△BCF∽△ACB，
∴，即.
解得：（负数舍去）
故答案为：.
【分析】根据正五边形的性质得∠B=108°，AB=AC=4，由等腰三角形的性质得∠BAC=∠BCA=36°，在AC上截取AF，使AB=AF=4，计算出∠AFB的度数，根据外角性质得∠CBF=36°=∠CAB，即可证明△BCF∽△ACB，根据相似三角形性质得，代入数据即可得到AC的长.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
17．【答案】乙槽
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵三次操作相同，且总得分是20+10+9=39（分），
∴一次操作的总分，即三个球数字之后为39÷3=13（分），
则有以下情况：
1，3，9； 1，4，8； 1，5，7； 2，3，8； 2，4，7； 2，5，6； 3，4，6；
其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9；
4+8+8=20(甲槽)；
8+1+1=10(乙槽)；
1+4+4=9(丙槽)
∴第一次操作甲槽，乙槽，丙槽的数字分数分别为4，8，1；
第二次操作甲槽，乙槽，丙槽的分数分别为8，1，4；
第三次操作甲槽，乙槽，丙槽的分数分别为8，1，4；
∴第二次操作计分最低的是乙槽.
故答案为：乙槽.
【分析】由三次操作三个槽总分是20+10+9=39分，所以一次操作得总分就是13分，再根据三个球得数不相同可以列举出综合为13得所有情况，然后再根据各自得分逐一分析比较即可.
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长CD到点G，使DG=BM，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=CD=1，∠BAD=∠ADN=90°=∠ADG，
又∵BM=DG，AB=AD.
∴△ABM≌△ADG(SAS)，
∴∠BAM=∠DAG，AM=AG，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=90°－∠MAN=45°.
∴∠DAG+∠DAN=45°，即∠GAN=45°，
在△GAN和△MAN中，
∴△GAN≌△MAN(SAS)，
∴GN=MN.
设BM=x，MN=y，则GN=y，DG=x，
∵BC=CD=1，
∴CM=1-x，CN=DC－DN=1－(y-x)=1－y+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2=CM2+CN2，
即，
解得：
∵
∴.
故MN的最小值为
故答案为：.
【分析】由∠MAN=45°识别出半角模型，从而构造△GAN≌△MAN，将MN线段进行转化得到GN，设BM=x，MN=y，再利用勾股方程进行转化，建立一个关于y的式子，利用不等式的性质求最值即可
19．【答案】（1）解：
（2）解：
=1
【知识点】分式的混合运算；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据无理数的混合运算法则，先计算非零数的零次幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，再进行加减运算即可；
（2）先对括号内部分进行通分运算，再变除为乘，同时对分数的分子分母因式分解，再进行约分即可.
20．【答案】（1）解：40；
C组的人数为：40－4－16－12=8（名）故补全同学统计图如图所示：
（2）72
（3）解：将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D.
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）4÷10%=40（名）
故 本次共调查了40名学生，
故答案为：40.
（2），
故话剧组所对应扇形的圆心角为72度
故答案为：72.
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数，求出C组的人数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘本次调查中C组的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及刚好抽到1名男生与1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案.
21．【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(SAS)
∴AD=BE.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
22．【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，如图所示：
∵AB//CD，
∴AE//BF.
∴四边形ABFE是矩形，
∴AB=EF=100 m，
设AE=BF=x m，
由题意得：∠CAE=18.17°，∠DAE=21.34°，∠DBF=18.17°，∠CBF=18.17°.
在Rt△ACE中， m，
在Rt△BDF中， m，
在Rt△AED中， m，
∵DE=EF+DF.
∴0.39x=100+0.33x，
解得：，
∴CD=CE+DE=0.33x+0.39x=0.72x=1200 (m)
∴长江口的宽度CD的值约为1200m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，证明四边形ABFE是矩形，可得AE=BF=x，AB=EF=100m，然后分别在Rt△ACE、Rt△BDF和Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出CE、DF和DE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答.
23．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点A(1，4)，
∴k=1×4=4，
∴.
∵反比例函数的图象经过点B(n，-1)，
∴，
∴n=﹣4.
∴B（-4，-1）.
∵ 一次函数的图象经过点A(1，4)和B(-4，-1)，
∴
解得：
∴y=x+3.
（2）解：由图象可知，x＜-4或0故不等式的解集为 x＜-4或0（3）设点C的坐标为：，点D(x，0)，
∵A(1，4)，B（-4，-1），
当AB为对角线时：由中点坐标公式得：
解得：，则点；
当AC为对角线时，，
解得：，则点；
AD为对角线时，
解得：，则点；
综上，点C的坐标为：或或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；同一自变量下，函数值大的函数的图象位于函数值小的函数的图象的上方；
（3）点C的坐标为：，点D(x，0)，设根据平面直角坐标系中平行四边形的性质，对角线的交点即对角线的中点，再分①AB为对角线，②AC为对角线，③AD为对角线时，由中点坐标公式得同一个中点的纵坐标，从而到关于m的方程，求解即可.
24．【答案】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，如图：
则OB=OC
∵AB=AC，
∴AF垂直平分BC，即AF⊥BC，BF=CF
∵AE//BC，
∴AE⊥AF，
∵OA是 ⊙O 的半径，且AE⊥OA，
∴AE是 ⊙O 的切线.
（2）解：OB=OA，
∴∠BAF=∠ABE，
∴，
∴，
∴AF=2BF.
∴
∴，
∵BF2+OF2=OB2，
∴，
解得：，
故，
∵OB=OD，BF=CF，
∴.
∵AE//BF，
∴，
∵OA=OD=OB，
∴.
∴.
∴，.
【知识点】切线的性质；切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接并延长AO交BC于点F，连接OC，根据OB=OC，AB=AC，可得AF垂直平分BC，根据平行线的性质可得AE⊥AF，即可根据切线的判定定理得到结论；
（2）由OB=OA结合正切的定义可证得AF=2BF，在△ABF中利用勾股定理可求出BF和AF的长，再在△OBF中利用勾股定理可求出OB和OF的长，利用中位线定理即可求出CD的长，利用平行线分线段成比例可求出OE的长，利用OE-OD，即可求得DE长.
25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，
∴1-b+c=0，c=﹣4，
∴b=﹣3.
故，
∵
顶点坐标为：.
（2）在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下：
作顶点关于y轴的对称点，连接BD'交y轴于M，如图：
在中令y=0，得
解得：x1=-1，x2=4
故点B(4，0).
∴，
∴△BDM的周长为：.
当B，M，D'三点共线时，周长取得最小值，最小值为.
设直线BD'的解析式为：y=kx+b（k≠0）
∴，
解得：.
故，
令x=0，，
∴点M的坐标为：.
（3）以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图：
由A(-1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为.
∵△AEF，△APQ都是等边三角形，
∴AE=AF，AP=AQ，∠EAF=∠PAQ=60°，
∴∠EAP=∠FAQ，
∴△EAP≌△FAQ(SAS)，
∴PE=QF=1，
∴点F的轨迹是以Q为圆心，1为半径的圆，
∵B(4，0)，
∴.
∴当F在线段BQ上时，BF最小，此时；
当F在线段BQ的延长线上时，BF最大，此时
∴BF的范围时.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法得抛物线的表达式，转化成顶点式即可得抛物线顶点D的坐标；
（2）作关于y轴的对称点，连接BD'交y轴于M，求出B(4，0)，计算BD长，可知BD为定值；由对称性得BDM的周长为，可知B，M，D'三点共线时周长最小，最小为D'M+BM；由B(4，0)，得直线BD'解析式，令x=0即可得点M的坐标；
(3)以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，由A(-1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形可得Q的坐标为，证明△EAP≌△FAQ，有PE=QF=1，可知F的轨迹是以Q为圆心，1为半径的圆，求出BQ的长，再根据F在线段QB上时，BF最小为BQ－QF；当F在线段BQ的延长线上时，BF最大为BQ+QF，可得BF的范围.
1 / 1四川省宜宾市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2024·宜宾）2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的性质，正数的绝对值是是它本身.
2．（2024·宜宾）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用
3．（2024·宜宾）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ）
A．方差为0 B．众数为75
C．中位数为77.5 D．平均数为75
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，
故平均数为；
方差为
75出现的次数最多，故众数为75；
第5和第6个数都是75，故中位数是75；
故选项ACD都错误，B选项正确；
故答案为：B.
【分析】根据平均数和方差计算公式计算并判断AD，根据中位数和众数的定义可判断BC.
4．（2024·宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若，则的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=∠CDB=60°，
∴∠ABC=90°－∠CAB=30°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理的推论求出∠DAB和∠ACB，即可得到结论.
5．（2024·宜宾）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：快马追上慢马的天数是x天，
根据题意得：240x=150(x+12)
解得：x=20.
∴快马追上慢马的天数是20天.
故答案为：D.
【分析】设快马追上慢马的天数是x天，利用路程=速度×时间，结合快马追上慢马时两马跑的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.
6．（2024·宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8 B．18 C．28 D．32
【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、8的真因数是1，2，4，和为1+2+4=7≠8，故不是完美数，故不符合题意；
B、18的真因数是1，2，3，6，9，且1+2+3+6+9=21≠18，故不是完美数，故不符合题意；
C、28的真因数是1，2，4，7，14，且1+2+4+7+14=28，故是完美数，故符合题意；
D、32的真因数是1，2，4，8，16，且1+2+4+8+16=31≠32，故不是完美数，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】按照定义，分别计算出各个选项的真因数并求和，再与原数据比较，即可得到结论.
7．（2024·宜宾）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点 B．C点 C．D点 D．E点
【答案】B
【知识点】几何体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：把图形围成立方体如图所示，
设正方体的棱长为1，则AD=1，，
∵，
∴与顶点A距离最远的顶点是C
故答案为：C.
【分析】可以把展开图围成正方体，再分别计算出AB，AC，AD，AE，即可得到结论.
8．（2024·宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设用x个大箱，y个小箱装荔枝，由题意得：
4x+3y=32
故.
故x=2，y=8，2+8=10；
x=5，y=4，5+4=9；
x=8，y=0，x+y=8.
8<9<10，
故答案为：C.
【分析】根据题意：用x个大箱，y个小箱装荔枝，且每个箱都装满，可得4x+3y=32，计算出x，y的值，即可得到最大箱数；
9．（2024·宜宾）如图，内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分交⊙O于D．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD、CD，AD饶点D逆时针旋转90°得A'D，连接A'B，如图：
∵BC是 ⊙O 的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∵∠BCD=∠BAD，∠CAD=∠CBD，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴BD=DC，
在四边形ABDC中，∠BAC=∠BDC=90°
∴∠ACD+∠ABD=180°.
∵∠ADA'=∠CDB=90°，
∴∠ADC=∠A'DB，
又A'D=AD，BD=CD，
∴△A'DB≌△ADC(SAS)，
∴∠A'BD=∠ACD，A'B=AC，
∴∠A'BD+∠ABD=180°.
∴A'，B，A三点共线，
∴在△A'DA中，，AA'=AB+A'B=AB+AC，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接BD、CD，AD饶点D逆时针旋转90°得A'D，连接A'B，利用圆周角定理和角平分线证得∠BCD=∠CBD=45°，于是有BD=CD；根据圆内接四边形对角互补得∠ACD+∠ABD=180°.利用SAS证明△A'DB≌△ADC，∠A'BD=∠ACD，A'B=AC，于是有∠A'BD+∠ABD=180°，即可得A'，B，A三点共线，在等腰直角△A'DA中利用勾股定理即可得到结论.
10．（2024·宜宾）如图，等腰三角形ABC中，，反比例函数的图象经过点A、B及AC的中点M，轴，AB与y轴交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作过A作AD⊥BC于点D，BC与y轴交于E点，如图：
设，，
∵BC//x轴，AD⊥x轴，
∴点.
在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴
∵AC的中点为M，
∴，即
∵点M在反比例函数上，
∴
解得：b=﹣3a，或b=a(舍)
∵NE//AD，
∴
故答案为：A.
【分析】作过A作AD⊥BC于点D，BC与y轴交于E点，利用函数表达式设出A、B两点的坐标，利用D，M是中点，得到点D，C，M的坐标，再把点M坐标代入解析式，A，B两点横坐标的关系式，最后利用平行线分线段成比例定理即可求得结果.
11．（2024·宜宾）如图，在中，，以BC为边作，，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，如图：
∵BE=AB，∠ABE=90°，
∴.
∵∠DBC=90°=∠EBA，
∴∠DBE=∠CBA，
又∵BD=BC，AB=BE，
∴△DBE≌△CBA(SAS)
∴DE=AC=2.
在△ADE中，AD∵当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值=6+2=8.
故答案为：D.
【分析】将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性质可得AE，由三角形的三边关系即可求解.
12．（2024·宜宾）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】阿氏圆模型；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由图象可得a<0，c>0，∴b<0.
∵ 抛物线的图象交x轴于点、，
∴x=1时，y=0，即a+b+c=0；故选项①正确；
对称轴为，即，∴b=2a，
∴a+b+c=a+2a+c=0，∴c=﹣3a，∴，故选项②正确；
当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，∵对称轴为x=﹣1， AB=1－(-3)=4，
∴AC=AB=4或AB=CB=4.
点C（0，c），∴，，
当AC=AB时，，解得：（负数舍去）；
当CB=AB时，，解得：（负数舍去）；
综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故选项③错误；
当c=3时，C(0，3)，OC=3，
在OA上取点P，使，则点，.
∴，
又∵∠HOP=∠POA，
∴△HOP∽△POA.
∴，
∴.
∴，当C，P，H三点共线，可以取得最小值.
∴，
故的最小值是 ，故选项④正确.
综上，正确的选项是①②④
故答案为：C.
【分析】抛物线过点(1，0)，求得求得a+b+c=0，即可判断①；求得对称轴为直线x=-1，即可求得b=2a，由a+b+c=0，求得c=﹣3a，则a+3b+2c=a<0，即可判断②；分AC=AB=4和AB=BC=4两种情况求得c的值即可判断③；在OA上取点P，使，连接PH，则，于是可证明△HOP∽△POA，即可得，即.则当C、P、H共线时， 的值最小，最小值为CH，利用勾股定理求得CH即可判断④；
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．（2024·宜宾）分解因式： ．
【答案】2(a+1)(a-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（a2-1）= 2(a+1)(a-1) .
故答案为： 2(a+1)(a-1) 。
【分析】先利用提公因式法分解因式，然后再用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
14．（2024·宜宾）分式方程的解为 ．
【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：x+1-3(x－1)=0
解得：x=2
经检验，x-1=2-1≠0，
∴x=2是分式方程的解.
故答案为：x=2.
【分析】先将分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后验根即可.
15．（2024·宜宾）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．
【答案】
【知识点】正多边形的性质；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴每个内角的度数为：，AB=BC=4，
∴.
在AC上截取AF，使AB=AF=4，如图：
∴，
∴∠CBF=∠AFB－∠BCA=72°－36°=36°=∠CAB.
又∵∠BCF=∠ACB，
∴△BCF∽△ACB，
∴，即.
解得：（负数舍去）
故答案为：.
【分析】根据正五边形的性质得∠B=108°，AB=AC=4，由等腰三角形的性质得∠BAC=∠BCA=36°，在AC上截取AF，使AB=AF=4，计算出∠AFB的度数，根据外角性质得∠CBF=36°=∠CAB，即可证明△BCF∽△ACB，根据相似三角形性质得，代入数据即可得到AC的长.
16．（2024·宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别是边CD、AD上的动点，且．当的值最小时，则 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
17．（2024·宜宾）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【答案】乙槽
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵三次操作相同，且总得分是20+10+9=39（分），
∴一次操作的总分，即三个球数字之后为39÷3=13（分），
则有以下情况：
1，3，9； 1，4，8； 1，5，7； 2，3，8； 2，4，7； 2，5，6； 3，4，6；
其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9；
4+8+8=20(甲槽)；
8+1+1=10(乙槽)；
1+4+4=9(丙槽)
∴第一次操作甲槽，乙槽，丙槽的数字分数分别为4，8，1；
第二次操作甲槽，乙槽，丙槽的分数分别为8，1，4；
第三次操作甲槽，乙槽，丙槽的分数分别为8，1，4；
∴第二次操作计分最低的是乙槽.
故答案为：乙槽.
【分析】由三次操作三个槽总分是20+10+9=39分，所以一次操作得总分就是13分，再根据三个球得数不相同可以列举出综合为13得所有情况，然后再根据各自得分逐一分析比较即可.
18．（2024·宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若，则MN的最小值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长CD到点G，使DG=BM，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=CD=1，∠BAD=∠ADN=90°=∠ADG，
又∵BM=DG，AB=AD.
∴△ABM≌△ADG(SAS)，
∴∠BAM=∠DAG，AM=AG，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=90°－∠MAN=45°.
∴∠DAG+∠DAN=45°，即∠GAN=45°，
在△GAN和△MAN中，
∴△GAN≌△MAN(SAS)，
∴GN=MN.
设BM=x，MN=y，则GN=y，DG=x，
∵BC=CD=1，
∴CM=1-x，CN=DC－DN=1－(y-x)=1－y+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2=CM2+CN2，
即，
解得：
∵
∴.
故MN的最小值为
故答案为：.
【分析】由∠MAN=45°识别出半角模型，从而构造△GAN≌△MAN，将MN线段进行转化得到GN，设BM=x，MN=y，再利用勾股方程进行转化，建立一个关于y的式子，利用不等式的性质求最值即可
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2024·宜宾）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：
（2）解：
=1
【知识点】分式的混合运算；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据无理数的混合运算法则，先计算非零数的零次幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，再进行加减运算即可；
（2）先对括号内部分进行通分运算，再变除为乘，同时对分数的分子分母因式分解，再进行约分即可.
20．（2024·宜宾）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）解：40；
C组的人数为：40－4－16－12=8（名）故补全同学统计图如图所示：
（2）72
（3）解：将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D.
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）4÷10%=40（名）
故 本次共调查了40名学生，
故答案为：40.
（2），
故话剧组所对应扇形的圆心角为72度
故答案为：72.
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数，求出C组的人数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘本次调查中C组的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及刚好抽到1名男生与1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案.
21．（2024·宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且，BE与AD交于点F．
求证：．
【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(SAS)
∴AD=BE.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
22．（2024·宜宾）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，如图所示：
∵AB//CD，
∴AE//BF.
∴四边形ABFE是矩形，
∴AB=EF=100 m，
设AE=BF=x m，
由题意得：∠CAE=18.17°，∠DAE=21.34°，∠DBF=18.17°，∠CBF=18.17°.
在Rt△ACE中， m，
在Rt△BDF中， m，
在Rt△AED中， m，
∵DE=EF+DF.
∴0.39x=100+0.33x，
解得：，
∴CD=CE+DE=0.33x+0.39x=0.72x=1200 (m)
∴长江口的宽度CD的值约为1200m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，证明四边形ABFE是矩形，可得AE=BF=x，AB=EF=100m，然后分别在Rt△ACE、Rt△BDF和Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出CE、DF和DE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答.
23．（2024·宜宾）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点A(1，4)，
∴k=1×4=4，
∴.
∵反比例函数的图象经过点B(n，-1)，
∴，
∴n=﹣4.
∴B（-4，-1）.
∵ 一次函数的图象经过点A(1，4)和B(-4，-1)，
∴
解得：
∴y=x+3.
（2）解：由图象可知，x＜-4或0故不等式的解集为 x＜-4或0（3）设点C的坐标为：，点D(x，0)，
∵A(1，4)，B（-4，-1），
当AB为对角线时：由中点坐标公式得：
解得：，则点；
当AC为对角线时，，
解得：，则点；
AD为对角线时，
解得：，则点；
综上，点C的坐标为：或或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；同一自变量下，函数值大的函数的图象位于函数值小的函数的图象的上方；
（3）点C的坐标为：，点D(x，0)，设根据平面直角坐标系中平行四边形的性质，对角线的交点即对角线的中点，再分①AB为对角线，②AC为对角线，③AD为对角线时，由中点坐标公式得同一个中点的纵坐标，从而到关于m的方程，求解即可.
24．（2024·宜宾）如图，内接于⊙O，，过点A作，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若，求CD和DE的长．
【答案】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，如图：
则OB=OC
∵AB=AC，
∴AF垂直平分BC，即AF⊥BC，BF=CF
∵AE//BC，
∴AE⊥AF，
∵OA是 ⊙O 的半径，且AE⊥OA，
∴AE是 ⊙O 的切线.
（2）解：OB=OA，
∴∠BAF=∠ABE，
∴，
∴，
∴AF=2BF.
∴
∴，
∵BF2+OF2=OB2，
∴，
解得：，
故，
∵OB=OD，BF=CF，
∴.
∵AE//BF，
∴，
∵OA=OD=OB，
∴.
∴.
∴，.
【知识点】切线的性质；切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接并延长AO交BC于点F，连接OC，根据OB=OC，AB=AC，可得AF垂直平分BC，根据平行线的性质可得AE⊥AF，即可根据切线的判定定理得到结论；
（2）由OB=OA结合正切的定义可证得AF=2BF，在△ABF中利用勾股定理可求出BF和AF的长，再在△OBF中利用勾股定理可求出OB和OF的长，利用中位线定理即可求出CD的长，利用平行线分线段成比例可求出OE的长，利用OE-OD，即可求得DE长.
25．（2024·宜宾）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，
∴1-b+c=0，c=﹣4，
∴b=﹣3.
故，
∵
顶点坐标为：.
（2）在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下：
作顶点关于y轴的对称点，连接BD'交y轴于M，如图：
在中令y=0，得
解得：x1=-1，x2=4
故点B(4，0).
∴，
∴△BDM的周长为：.
当B，M，D'三点共线时，周长取得最小值，最小值为.
设直线BD'的解析式为：y=kx+b（k≠0）
∴，
解得：.
故，
令x=0，，
∴点M的坐标为：.
（3）以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图：
由A(-1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为.
∵△AEF，△APQ都是等边三角形，
∴AE=AF，AP=AQ，∠EAF=∠PAQ=60°，
∴∠EAP=∠FAQ，
∴△EAP≌△FAQ(SAS)，
∴PE=QF=1，
∴点F的轨迹是以Q为圆心，1为半径的圆，
∵B(4，0)，
∴.
∴当F在线段BQ上时，BF最小，此时；
当F在线段BQ的延长线上时，BF最大，此时
∴BF的范围时.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法得抛物线的表达式，转化成顶点式即可得抛物线顶点D的坐标；
（2）作关于y轴的对称点，连接BD'交y轴于M，求出B(4，0)，计算BD长，可知BD为定值；由对称性得BDM的周长为，可知B，M，D'三点共线时周长最小，最小为D'M+BM；由B(4，0)，得直线BD'解析式，令x=0即可得点M的坐标；
(3)以AP为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，由A(-1，0)，P(3，0)，△APQ是等边三角形可得Q的坐标为，证明△EAP≌△FAQ，有PE=QF=1，可知F的轨迹是以Q为圆心，1为半径的圆，求出BQ的长，再根据F在线段QB上时，BF最小为BQ－QF；当F在线段BQ的延长线上时，BF最大为BQ+QF，可得BF的范围.
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