浙江省杭州市富阳区“三校联考”2025届高三9月数学试题（含答案）

浙江省杭州市富阳区“三校联考”2025届高三9月数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则 ．
A. B. C. D.
3.下列说法中，正确的命题是( )
A. 已知随机变量服从正态分布，则
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则
D. 若样本数据的方差为，则数据的方差为
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.若平面单位向量，，满足，，，则( )
A. B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知过抛物线：的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且，，若点在抛物线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，直线，，且，则( )
A. B. C. D.
10.如图，正方体的棱长为，点、、分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则( )
A. 存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B. 当时，三棱锥体积为
C. 当时，三棱锥的外接球表面积为
D. 当时，与平面所成的角的正弦值为
11.已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为奇函数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为 ．
13.已知四个函数：，，，，从中任选个，则事件“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一、第三象限分别交于点，，若，则的离心率的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中角，，的对边分别为，，，的面积为，．
求角．
若的面积为，，为边的中点，求的长．
16.本小题分
如图，在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图．
求证：．
在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的余弦值；若不存在，说明理由．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知在曲线：，直线：交曲线于，两点点在第一象限
求曲线的方程；
若过且与垂直的直线与曲线交于，两点；点在第一象限
(ⅰ)求四边形面积的最小值．
(ⅱ)设，的中点分别为，，求证：直线过定点．
19.本小题分
在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为回答下列问题：
求出维“立方体”的顶点数；
在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．
求的分布列与期望；
求的方差．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
由正弦定理得，，即，
因为，
所以，
又，所以．
因为的面积为，
所以，即，
因为，所以
由余弦定理知，，即，
所以，
因为是边的中点，所以，
所以，
所以，即的长为．
16.解：证明：依题意可知点为的中点，，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
依题意可知，，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，
所以．
由题意，得，，
由，所以．
以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，
所以，，，
设，即，
则，，
若存在点，使得，则，
解得，则，
设平面的法向量为，
则，则
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，则
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
所以．
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
17.解：当时，，，
则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以在处取到极大值，无极小值；
因为，恒成立，
所以恒成立，
令，则，
令，则恒成立，
即在区间上单调递减，
所以，即，
所以时，，
所以在区间上单调递减，
故，所以，
所以实数的取值范围为．
18.解：将两边同时平方，
此时，
整理得，
所以曲线的方程为；
设，，，，
由知曲线的准线为，
设，
由抛物线性质可知，，，，
因为，，
又直线过且与直线交于点，
所以，，
此时，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
此时
，
当且仅当时等号成立，
则四边形面积的最小值为；
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知，
所以，
因为点在直线上，
解得，
即，
同理得，
则，
所以直线方程为，
即．
故直线过定点．
19.解：对于 维坐标 ， ，
所以共有 种不同的点，即共有 个顶点．
对于 的随机变量，在坐标 与 中有 个坐标值不同，剩下 个坐标相同，此时对应情况数有 种，
所以 ，
则 的分布列为：
所以 ，
倒序相加得， ，
所以 ；

，
设 ，
两边求导得， ，
两边乘以 后得， ，
两边求导得， ，
令 得， ，
所以 ．

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