第二十一章一元二次方程同步练习卷（含解析）

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第二十一章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
6．若是方程的一个解，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．一元二次方程化一般形式后（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．方程的解是 ．
10．将一元二次方程化成的形式，则 ．
11．若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数c的取值范围是 ．
12．若定义，那么满足的x值为 ．
13．某地年、年、年的森林面积（单位：）分别是，，，若年与年森林面积增长率相同，则，，满足的数量关系为 ．
14．如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知．
（1）当时，则c的值是 ；
（2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ．
三、解答题
15．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
16．已知：关于x的一元二次方程（m为实数）
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．
17．如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米．
(1)当时， 米， 平方米；
(2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？
18．如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式．
(1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由；
(2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值．
19．已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，解此方程；
(2)若，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
20．大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
(1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
(2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A D A A C
1．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足三个条件：（1）整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0．依此即可求解．
【详解】解：A、，当时，是一元一次方程，故错误；
B、，整理后符合要求，故正确；
C、不是一元二次方程，故错误；
D、是分式方程，故错误．
故选：B．
2．C
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
【详解】解：，
∴方程没有实数根，
故选：．
3．B
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解答此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．把方程左边化为完全平方式即可．
【详解】解：
两边加1得，，
即：．
故选：B
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的相关概念，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可．
【详解】解：将化为一般式为，
∴二次项系数是1、一次项系数、常数项分别是，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根据题意两个方程可得出的解是，进而可求出．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是，
∴关于的一元二次方程的解是，
∴关于y的一元二次方程的解是．
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程的解求参数，把把代入即可得出m的值．
【详解】解：把代入，可得出，
解得：，
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．先将一元二次方程化一般形式，即可得出a，b，c的值．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为：，
∴，，．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得．
【详解】解：由题意可知，宽为步，
则可列方程为，
故选：C．
9．，
【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，利用公式法进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，．
10．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．由，可得，即，得出，，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】根据，确定范围，取值即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程没有实数根，且，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
12．或3
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故答案为：或3．
13．
【分析】本题主要考查了列代数式、增长率问题等知识点，根据各数量之间的关系、列出代数式是解题的关键．
设年与年森林面积增长率为，利用该地年的森林面积该地年的森林面积森林面积增长率及该地年的森林面积该地年的森林面积森林面积增长率，可用含，的代数式表示出，，进而可得出．
【详解】解：设年与年森林面积增长率为，则，，
，
，，满足的数量关系为．
故答案为：．
14． 2 28或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出一元二次方程是解题的关键．
根据矩形与正方形的面积公式可得，，代入，得出．
（1）将代入，解方程即可求出的值；
（2）由可得．代入，变形得出，根据为整数，求出可能为2或1．再求出的值，进而得到矩形和正方形的周长之和．
【详解】解：由题意可得，，
，
．
（1）当时，
，
解得（负值舍去），
即．
故答案为：2；
（2），
．
，
，
，
为整数，
可能取值有：4或1，
可能为2或1．
当时，，解得（负值舍去）；
当时，，解得（负值舍去），
矩形和正方形的周长之和为：
．
当，时，；
当，时，．
故答案为：28或．
15．(1)
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法法求解即可．
（2）利用公式法求解即可．
本题考查了因式分解法和公式法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴，
∴
∴．
（2）解：∵,
∴
∴，
解得，．
16．(1)且
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围；
（2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证．
【详解】（1）解：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴的取值范围是且；
（2）解：由求根公式得
，
∴，
，
∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ．
17．(1)10；200
(2)的长为15米
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用．
（1）根据题意可得，即可求出，根据长方形面积公式，即可求出y；
（2）根据题意可得，则，根据长方形面积公式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
，
故答案为：10，200；
（2）解：由题意知：，则，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，，应舍去，
∴的长为15米．
18．(1)不可能，理由见详解
(2)或
【分析】本题考査整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
(1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可解答；
(2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值．
【详解】（1）解：不可能，理由：
假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，
由题意可知：，
，
，
，
，
，
该方程没有实数根，
抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1；
（2）解：由题意可知，
，
，
，
，
解得：或．
19．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程．
（1）将代入，利用配方法求解方程即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明；
（3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论．
【详解】（1）解：，
原方程为，
解得：；
（2）证明：中，
，
，
，
，
，
此方程至少有一个实数根；
（3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为，
，
，
，
即，
．
20．(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个；
(2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
(3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币12个，款纪念币20个；
（2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值（元，
此时（个．
即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
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