2024-2025学年河北省邢台市邢台一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邢台一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.若向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是( )
A. 若平面，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.已知数据，，，，，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是( )
A. 中位数不变 B. 第百分位数不变 C. 平均数不变 D. 方差不变
6.中，已知，且，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.若是的外心，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数的命题正确的有( )
A. 若复数，则，
B. 若复数为纯虚数，则
C. 若，则或
D. 若，则
10.下列命题正确的是( )
A. 设，是两个随机事件，且，，若，则，是相互独立事件
B. 若三个事件，，两两独立，则满足
C. 若，，则事件，相互独立与，互斥一定不能同时成立
D. 若事件，相互独立，，，则
11.在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，，下列结论正确的是( )
A. 若，则点到平面的距离为
B. 若，则四面体的体积是定值
C. 若，则点的轨迹长为
D. 若，，则存在点，使得的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心在同一个水平面内的两个测量基点与，在点测得：塔顶的仰角为，在的北偏东处，在的正东方向米处，且在点测得与的张角为，则此塔的高度约为______米四舍五入，保留整数参考数据：，
13.在棱长为的正方体中，，，是，，的中点，那么过点，，的截面图形为______在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个；截面图形的面积为______．
14.A、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了道数学问题，满分分结束后在所有的答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；
活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了道，乙同学答对了道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率．
16.本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，，是线段上的点，且．
若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示；
求的取值范围．
17.本小题分
如图，在以，，，，，为顶点的六面体中其中平面，四边形是正方形，平面，，且平面平面．
设为棱的中点，证明：，，，四点共面；
若，求六面体的体积．
18.本小题分
如图，在中，，，，为内一点，．
若，求；
求的取值范围；
若，求．
19.本小题分
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为故其各个顶点的曲率均为如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，且．
当点的曲率为时证明：
平面；
平面平面．
当点的曲率为时，若，求二面角的正弦值．
参考答案
1.
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12.
13.六边形
14.
15.解：根据题意可得，，
前几组的频率依次为，，，，
估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数为：
分；
设“任选一道题，甲答对”，
“任选一道题，乙答对”，
“任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得：，，
，，
设“甲、乙两位同学恰有一人答对”，
，且与互斥，
每位同学独立作答，所以，互相独立，
与，与，与均相互独立，
，
任选一道数学问题，甲、乙两位同学恰有一人答对的概率为．
16.解：因为，是边的中点，是边靠近的四等分点，，
所以
，
；
因为等腰直角三角形中，，所以，
因为，则设，，则，
所以
，
因为，
所以当时，有最小值；
当或时，有最大值，
所以的取值范围是．
17.解：证明：连接，四边形是正方形，，
又平面，平面，，
又，，平面，
平面，
又为棱的中点，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
，
，，，四点共面；
设与交于点，连接，则，
又平面，平面，平面，
又六面体，平面平面，
又平面，故DE，四边形为矩形，
，且平面，
又，，
．
18.解：由已知易得，所以，
在中，由余弦定理得，
故；
设，则，
根据题意可得，，
则，
由于，则，
则，
则，
即的取值范围为：；
设，由已知得，
在中，由正弦定理得，
即，
整理可得：，
所以．
即．
19.解：证明：在直三棱柱中，平面，，平面，则，，
所以点的曲率为，所以．
因为，所以为正三角形．
因为为的中点，所以．
又平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面．
取的中点，连接，．
因为为的中点，
所以且
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
由知平面，则平面．
又平面，所以平面平面；
当点的曲率为时，易得，
所以，，，由勾股定理得，
又，，，，平面得，平面，
因为平面，
所以，且，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，即二面角的平面角为，则．
所以二面角的正弦值为．
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