课件21张PPT。1.3 线段的垂直平分线湖口县流芳中学刘红飞创设情境，引入新课 思考1：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?思考2：我们知道，线段是轴对称图形，那么
它的对称轴是什么？ABMN思考3：如图，直线MN是线段
AB的垂直平分线，在MN上任
取一点P，分别联结PA，PB.
那么线段PA与PB的长度相等
吗？PC猜想：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点
的距离相等.已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，
垂足为C，点P在直线MN上.求证：PA=PB.如何证明这个命题呢？12已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，
垂足为C，点P在直线MN上.求证：PA=PB.证明：12∵MN是线段AB的垂直平分线.(已知)∴MN⊥AB，AC=BC.(线段的垂直
平分线的意义)情况1：设点P不在线段AB上.∵MN⊥AB(已知) ∴∠1=∠2=90o.(垂直的定义)在△PCA与△PCB中AC=BC(已知)∠1=∠2(已证)PC=PC(公共边)∴△PCA≌△PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)AM(P)NBC12情况2：如果点P在线段AB上.∴点P与点C重合.即PA=PB.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段
两个端点的距离相等.∴________(
) 线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等.看图填空：∵MN⊥AB，AC=BC（已知）PA=PB定理：线段垂直平分线上的点到这条线段
两个端点的距离相等.思考2：这个定理逆命题是什么？逆命题正确吗？
写出这个定理的逆命题，再进行证明.逆命题是：到一条线段两个端点距离相等的
点，在这条线段的垂直平分线上.AQBC已知：如图，QA=QB.求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.证明：情况1：如果点Q在线段AB上.∵QA=QB.∴点Q是线段AB的中点.即点Q在线段AB的垂直平分线上.情况2：如果点Q不在线段AB上.过点Q做QC⊥AB，垂足为点C.∵QA=QB(已知)，QC⊥AB(作图)∴CA=CB(等腰三角形的三线合一)即点C是线段AB的中点.∴点Q在线段AB的垂直平分线上.(线段的垂直平分线的定义)逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上.AQB 看图填空：
∵QA=QB(已知)
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
(_____________________________________)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上任何图形都是由点组成的，因此我们可以把图形看成
是点的集合.由上述定理和逆定理可以知道：组成线段AB的垂直平分线的所有点到A、B两点的
距离都相等.2. 到A、B两点的距离都相等的所有点都在线段AB的
垂直平分线上.线段的垂直平分线可以看作是到线段的两个
端点的距离相等的点的集合.两点确定一条直线 例题 已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC。证明：∵ AB = AC .(已知)∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 (______)同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线 .(_________________)到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
遇见一点到线段的两个端点距离相等，要联想到这个点在这条线段的垂直平分线上.
拓展思考1：公路旁边有两个工厂，要在公路边建一个电话亭，
要求到两个工厂的路程相等，如何确定电话亭的位置？P解：将两个工厂用线段相连，
作这条线段的垂直平分线，
垂直平分线与公路的交点P
就是电话亭的位置.P讨论：如果情况是这样电话亭又在哪里呢？练习 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=24 cm，
AC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，且
△BCE的周长为34cm，求底边BC的长.ACEFB解：∵EF是AC的垂直平分线.∴AE=CE (______________)∵△BCE的周长为34cm.∴BC+CE+BE=34 cm∴BC+AE+BE=34 cm∴BC+AB=34 cm∵AB=24 cm.∴BC=10 cm.答：底边BC的长是10厘米.线段的垂直平分线上的点到
线段的两个端点的距离相等练习2 已知：如图， AC=AD，BC=BD，点E在AB上.
求证：EC=ED.ACEDB证明：∵AC=AD(已知)∴点A在线段CD的垂直平分线上.
(_______________________
_______________________)到线段的两个端点的距离相等的点
在这条线段的垂直平分线上∵BC=BD(已知)同理可证，点B在线段CD的垂直平分线上.∴AB是CD的垂直平分线.(两点确定一条直线)∵点E在AB上.(已知)∴EC=ED.(________________________________
________)线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的
距离相等课堂小结 通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？请同学们谈谈本堂课都学习了什么内容？（1）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
格式：∵MN是AB的垂直平分线，点P在MN 上（已知）
∴PA=PB（…）
（2）到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
格式：∵QA=QB（已知）
∴点Q在AB的垂直平分线上（…）
（3）线段的垂直平分线可以看作是到这条线段的两个端点的
距离相等的点的集合.线段的垂直平分线作业 习题l.7 第3、4题 板书设计1.3线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的判断定理 例题 练习
线段的垂直平分线可以看作是到线段
的两个端点的距离相等的点的集合.
教学反思 在这一节中，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透． 北师大2011课标版3. 线段的垂直平分线?初中数学
教学目标
1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．
2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果
学情分析
学生在七年级已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。
重点难点
重点:运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题
难点:垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用
4教学过程
4.1第一学时教学活动
活动1【导入】创设情境，导入新课
学生游戏：确定两位学生的位置，让同学们找出到这两位学生距离相等位置，找三名学生站位。
教师采访：1.你为什么要站在这个这个位置？他有什么特点？（引课）
教师提问：2.还记得用尺规画线段的垂直平分线吗？
学生板演：尺规画图线段的垂直平分线
?教师提问: 3.线段的垂直平分线有什么性质呢？
学生回答：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等．
进一步提问：七下我们用折纸的方法得到这一结论，用公理或学过的定理怎么证明这一结论呢？
活动2【活动】性质探索与证明
教师提问：怎么证明一个文字命题呢？需要几步？
学生回答：画图、写出已知、求证、证明
教师提问：哪位同学能把这个命题改为“如果……那么……”的形式，从而找出条件和结论。
学生回答：如果一个点是一条线段垂直平分线上的点，那么这个点到线段两个端点的距离相等。
请同学们根据条件和结论，在练习本上完成它的证明?
学生板演：
已知：如图1，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)．????；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
教师再用多媒体完整演示证明过程．
学生总结：1.线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．
??????????????????2.与等腰三角形的联系
活动3【活动】判定探索与证明
??????教师提问:??你能写出上面这个定理的逆命题吗?这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需把原命题的条件和结论交换位置，鼓励学生找出原命题的条件和结论.
??????逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”
??????教师引:?写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
小组合作讨论：
证法一：
已知：如图2，线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：如图3
取AB的中点C，过PC作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三：如图4
过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，
我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．
学生归纳：线段可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。
活动4【活动】例题分析
例题：
已知：如图?5，在?△ABC?中，AB?=?AC，O?是?△ABC?内一点，且?OB?=?OC.
求证：直线?AO?垂直平分线段BC。
分析:?证明线段的垂直平分线的方法目前有两种，
????????1.线段的垂直平分线的判定定理；
????????2.线段的垂直平分线的定义；
????????3.可以用等腰三角形的三线合一性。
????????学生分别用三种方法作出了证明，其中用判定最为简单，证明过程如下：
证明：∵?AB?=?AC，
∴?点?A?在线段?BC?的垂直平分线上（到一条线段
两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点?O?在线段?BC?的垂直平分线上.
∴?直线?AO?是线段?BC?的垂直平分线（两点确定一条直线）
活动5【练习】随堂练习
随堂练习：
1.已知：如图?，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两点.??????????????
求证：∠ECF=∠EDF???
活动6【测试】运用拓展
体验中考：
1.（2013.临沂.2分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(????)
???A.?AB=AD???????B.?AC平分∠BCD
???C.AB=BD????????D.△BEC≌△DEC
2.（2013.泰州.2分）如图，在△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为?_______???cm.
??????
3.（2014.义乌.2分）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=125°,?则∠ABC=_______
用心想一想:
4.??如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
活动7【活动】课堂小结
通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？
一、1.线段垂直平分线的性质定理． ???????2.线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴． ???????3.与等腰三角形的联系 二、1.线段垂直平分线的判定定理．
????? ?2.线段可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合. 三、线段垂直平分线性质定理与判定定理的应用．
活动8【作业】课后作业
课本P23；习题1.7：第1、3题
