2024-2025学年河南省漯河市漯河高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省漯河高级中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则边所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
2.：，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.设椭圆：的左、右焦点为，若点在上，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.方程表示椭圆的充要条件是( )
A. B.
C. D. 或
6.已知直线：与直线：交于，则原点到直线距离的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若两条直线：，：与圆：的四个交点能构成正方形，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，圆上存在点，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点( )
A. B. C. D.
10.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且则下列说法中正确的是( )
A. ， B. 为直角三角形
C. 的面积为 D. 的面积为
11.已知点是椭圆：上一点，是圆：上一点，则( )
A. 椭圆的离心率为 B. 圆的圆心坐标为
C. 圆上所有的点都在椭圆的内部 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程______．
13.点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 ______．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知点到两个定点，的距离之比为，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过三点，，．
求圆的方程；
斜率为的直线与圆交于，两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程．
16.本小题分
已知直线：交：于，两点．
若，求直线的方程；
若的中点为，为坐标原点，求的最大值．
17.本小题分
已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为．
求点的坐标；
求直线的方程．
18.本小题分
为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节，组委会设计了鸭蛋型图徽．图徽外框由半圆和半椭圆组成如图，半圆的直径为，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．
Ⅰ建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；
Ⅱ根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长．
19.本小题分
已知点，，曲线上任意一点均满足．
求的轨迹方程；
过点的直线与交于，两点，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为圆过点，，故圆心在上，
设圆心坐标，则，解得．
故其半径．
故圆的方程为：；
设直线的方程为：，
因为为等腰直角三角形，
圆心到直线的距离，
即，解得或，
所以：或．
16.解：由题意知，圆心到直线的距离为，
故，
故，
故直线的方程为，即；
设，因为是的中点，所以，所以，
又直线：过定点，
故，
整理得，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故的最大值为．
17.解：设，则由题意可知，
又，所以，
联立方程解得，，即；
设关于直线的对称点，则有，的中点在直线上，
即，解之得，
显然直线为的角平分线，即直线与重合，
则，所以直线的方程为．
18.解：Ⅰ以半圆的直径所在直线为轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，则半圆的方程为，
椭圆的短半轴，，，所以，．
所以半椭圆方程为 ．
Ⅱ设第一象限内的点的横坐标为，则，
，
由得，
解得，
此时．
答：达到最佳美观的效果时为．
19.解：不妨设，
因为，
所以，
整理得，
即，
则的轨迹方程为；
证明：当直线与轴重合时，，
当直线与轴不重合时，
不妨设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
此时直线，的斜率之和为，
由，，
所以，
即，
则，
所以直线，的倾斜角互补，
此时，
综上，．
第1页，共1页