2024-2025学年湖北省孝感市孝感高级中学高一（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省孝感高级中学高一（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，使得”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
4.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、话剧社团、志愿者协会，高一某班学生共有人参加了学校社团，其中有人参加篮球社团，有人参加话剧社团，有人参加志愿者协会，同时参加篮球社团和话剧社团的有人，同时参加篮球社团和志愿者协会的有人，同时参加话剧社团和志愿者协会的有人，只参加志愿者协会的有人．
A. B. C. D.
7.关于的不等式的解集为或，则下列选项正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
8.设，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合，，，，则下列关系中正确是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “且”是“”的充要条件
C. 某文具店搞活动，个笔记本与支圆珠笔价格之和大于元，而个笔记本与支圆珠笔价格之和小于元，则个笔记本的价格比支圆珠笔的价格低
D. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠
11.已知，，且，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数 ．
13.已知正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
14.已知集合，若集合有个非空真子集，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
关于的不等式．
若，求不等式的解集；
当时，求不等式的解集．
17.本小题分
对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点．
求二次函数的不动点；
若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值．
18.本小题分
为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元设屋子的左右两面墙的长度均为米．
当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
19.本小题分
若实数，，满足，则称比远离．
若比远离且，求实数的取值范围；
对任意两个不相等的实数，，证明：比远离；
若，判断：与哪一个更远离，并说明理由．
参考答案
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15.解：，
是的必要不充分条件，
则是的真子集，
当，即时，，符合题意，
当时，
故，解得，
综上所述，实数的取值范围为，；
当时，
则，解得，
当时，
则或，解得或，
综上所述，实数的取值范围为或．
16.解：根据题意，若，不等式为，
变形可得且，
解可得或，
即不等式的解集为或；
根据题意，，即且，
分种情况讨论：
当时，不等式的解集为或或，
当时，不等式为且，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或或，
当时，不等式为且，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为或；
综合可得：当时，不等式的解集为或或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或或，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为或．
17.解：根据题意，二次函数，
若，即，解可得或，
即二次函数的不动点为或；
根据题意，若二次函数有两个不相等的不动点，，
则方程，即有两个不相等的正实数根，
必有，解可得，
则
，
又由，则，
则，当且仅当，即时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
即的最小值为．
18.解：设甲工程队的总造价为元，
则，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
即当左右两侧墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元；
由题意可得，对任意的恒成立，
即，从而恒成立，
令，，，所以，
当且仅当，即时取“”，所以，所以的取值范围是．
19.解：根据题意，若比远离，即，
又由，则式可变形为，
解可得：，即的取值范围为；
证明：，则，
，则，
又由，则，
则，
故比远离；
根据题意，由于，则，
故，
当时，，
此时，
则有，
当时，，
此时，
则有，
综合可得：，故更远离．
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