2024-2025学年山东省潍坊市安丘市青云学府高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省潍坊市安丘市青云学府高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( )
A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 平行
2.下列选项中，一定能得出直线与平面平行的是( )
A. 直线在平面外
B. 直线与平面内的两条直线平行
C. 平面外的直线与平面内的一条直线平行
D. 直线与平面内的一条直线平行
3.、是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是( )
A. 、都平行于直线、
B. 内有三个不共线的点到的距离相等
C. 、是内的两条直线且，
D. 、是两条异面直线且，，，
4.如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，则下列关系中不正确的是( )
A. B. 平面 C. D.
5.设直线，，平面，，下列条件能得出的是( )
A. ，且， B. ，且
C. ，且 D. ，且
6.下列命题中正确的个数是( )
若向量与共线，与共线，则与共线；
向量，，共面，即它们所在的直线共面；
如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得；
若，是两个不共线的向量，而且，则，，是空间的一个基底．
A. B. C. D.
7.如图，四面体中，点是的中点，记，，，则( )
A. B.
C. D.
8.已知向量，，，且，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是( )
A. ，，三点共线
B. 平面
C. 直线与平面所成角的为
D. 直线和直线是共面直线
10.给出下列命题，其中不正确的为( )
A. 若，则必有与重合，与重合，与为同一线段
B. 若，则，是钝角
C. 若，则与一定共线
D. 非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面
11.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 平面与平面的夹角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简 ______．
13.设是四面体，是的重心，是上的一点，且，若，则 ______．
14.如图，二面角的大小是，线段，与所成的角为则与平面所成的角的正弦值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间三点，，，设，．
若，，求；
若与互相垂直，求实数．
16.本小题分
如图，在正方体中，点，分别在，上，且，求证：．
17.本小题分
如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，，．
求证：平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图甲，在直角梯形中，，，，过点作，垂足为，现将沿折叠，使得取的中点，连接，，，如图乙．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，，点在上，．
证明：平面；
证明：平面平面；
求二面角的正弦值．
参考答案
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15.解：点，，，
，
由，且，，
，解得，
或．
，，
若与互相垂直，则，
，
即，
化简得，
解得或．
16.证明：连结，由于，，
，
又，，
平面，
平面，平面，
，
又为正方体，
，
，
平面，
而平面，
，
同理，，，
平面，
由，得．
17.证明：，平面，平面，
平面，
由矩形，知，
又平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面，
平面．
解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，
，
又，
∽，且，
，即，
，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
点到平面的距离为．
18.解：证明：如图，，，
平面，
又平面，
，
又，，
平面．
如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间坐标系，
，，，，，，
设平面的法向量，
由，
所以有，
取，得平面的一个法向量，
由，，
所以有，
取，得平面的一个法向量，
设二面角的大小为，
则．
19.解：证明：由题可知，，设，
，
，
解得，
，，
而，，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
证明：由可知，则，
得，
因此，
则，有，
又，，，平面，
则有平面，
又平面，
所以平面平面．
过点作交于点，设，
由，得，且，
又由知，，
则为二面角的平面角，
因为，分别为，的中点，
因此为的重心，
即有，
又，即有，
，
解得，
同理得，
于是，即有，
则，
从而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值为．
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