2024-2025学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：与：平行，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
2.若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
5.已知圆：，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
6.作圆：上一点处的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
7.我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径若，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
8.设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为
B. 直线的倾斜角为
C. ，，“直线与垂直”是“”的必要不充分条件
D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
10.已知圆，，则下列结论正确的有( )
A. 若圆和圆相交，则
B. 若圆和圆外切，则
C. 当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D. 当时，圆和圆相交弦长为
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，，，点满足设点的轨迹为，则下列结论正确的是( )
A. 轨迹的方程为
B. 在轴上存在异于，的两点，使得
C. 当，，三点不共线时，射线是的平分线
D. 在上存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线经过点，，直线经过点，，若，则的值为______．
13.已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是______填序号
圆的圆心是；圆的半径是；；的取值范围是．
14.已知半径为的圆经过点，则圆心到直线：的距离的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
直线：，直线的一个方向向量为，直线：与已知直线垂直．
求，的值；
已知点，求点到直线的距离及点关于直线对称的点的坐标．
16.本小题分
已知圆：．
若直线过定点，且与圆相切，求的方程；
若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．
17.本小题分
已知圆：．
若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；
从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，若，求的最小值及使得取得最小值的点的坐标．
18.本小题分
已知直线：和以点为圆心的圆．
求证：直线恒过定点；
当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长；
设恒过定点，点满足，记以点、坐标原点、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标．
19.本小题分
已知圆：与圆外切，点在第一象限，直线与直线：平行，且圆与直线相切．
求圆的标准方程；
若直线与圆及直线从上到下依次交于点，，，当最小时，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：直线的一个方向向量为，所以的斜率为，所以，故．
直线：与已知直线垂直，则，故．
点到直线的距离，
设过点与直线垂直的直线方程为：，故，解得，
故直线方程为，
，解得，故该直线与直线的交点坐标为，
设对称点的坐标为，故，解得，
故对称点为．
16.解：由圆：得圆心，半径，
设：，即，
所以，解得，
所以切线为，
经验证也是圆的切线，
所以直线的方程为：或；
设，则，
解得，；或，，
故所求圆的方程为或．
17.解：圆：的标准方程为：，其圆心坐标，半径，
当的切线在轴和轴上的截距相等都为时，设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，即，解得，
所以这时切线的方程为：；
当的切线在轴和轴上的截距相等且不为时，设切线方程为，
则圆心到切线的距离，即，
解得：或，
所以这时切线的方程为：或；
设，因为是圆的切线，所以为直角三角形，
又因为，所以，
即，整理可得的轨迹方程是直线为：，
即，
所以的最小值即是的最小值，也就是到直线：的距离，
所以，
当最小值时，即是，
所以直线的方程为：即，
联立，解得：，，
所以点
18.解：证明：将直线的方程化为，
由，可得，故直线恒过定点．
当时，圆心到直线的距离达到最大值，
此时，直线被圆截得的弦长最短，此时，
所以直线的斜率为，解得，且，
此时，直线被圆截得的弦长最小，且其最小值为．
由可知，点，设点，
则，整理可得，
由，可得，解得，
又因为点，由下图可知，
当点的坐标为时，点到轴的距离最大，
此时，的面积最大，此时，四边形的面积取最大值，
即四边形的面积，
故当点的坐标为时，四边形的面积取最大值，且最大值为．
19.解：设圆的标准方程为，则圆心，
因为直线与直线：平行，则，所以，
又圆：与圆外切，所以，
因为圆与直线相切，所以，
解得，所以，
则圆的标准方程为；
设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
根据对称性可得，
所以，当且仅当、、三点共线时取等号，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即直线的方程为，
所以圆心到直线的距离为，
所以．
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