2024-2025学年河南省郑州市宇华实验学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市宇华实验学校高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列说法一定成立的是( )
A. B.
C. D. 若，则点在线段上
3.定义函数，设区间的长度为，则不等式解集区间的长度总和为( )
A. B. C. D.
4.口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球和个黄球，从中任取一个球，事件表示“取到的是红球”，事件表示“取到的是白球”，事件表示“取到的是黄球”，则( )
A. B. 事件，，可能同时发生
C. 与互斥 D. 事件与事件不相互独立
5.已知二面角的大小为，其棱上有，两点，，分别在这个二面角的两个半平面，内，且都与垂直，已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 命题“，”的否定是，
B. 满足的集合的个数为
C. 已知，，则
D. 已知指数函数且的图象过点，则
10.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于点对称
B. 在区间上单调递增
C. 将图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到的图象
D. 函数的最大值为
11.已知函数，则下列结论正确的有( )
A. 将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象
B. 若，则当时，的取值范围为
C. 若在区间上恰有个极大值点，则
D. 若在区间上单调递减，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，且当时，恒有，则实数的取值范围为______．
13.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
14.如图，两个正方形，的边长都是，且二面角为，，为对角线和上的动点，且满足，则线段长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若在上的最小值为，求的值；
若函数恰有个零点，求的取值范围．
16.本小题分
某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度单位：介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若从高度在和中分层抽样抽取株，在这株中随机抽取株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
Ⅲ以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取株，求至少有株高度在的概率．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
求的值；
如图，，点为边上一点，且，，求的面积．
18.本小题分
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上．
若，证明：平面；
若二面角的正切值为，求的长．
19.本小题分
函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
在条件下，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，在上单调递增，所以不存在最小值；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，解得舍去或，故；
因为，
令，则，
即，．
令，则方程化为，
画出的图象如图所示，
因为恰有个零点，所以有两个根，，且，
记，
如图可知：
解得，综上所述的取值范围是．
16.解：Ⅰ由频率分布直方图可得，解得；
Ⅱ由频率分布直方图可得高度在和的频率分别为和，
分层抽取的株中，高度在和的株数分别为和，
的所有可能取值为，，．
，
，
，
的分布列为：
．
Ⅲ从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，
则．
17.解：，
由正弦定理得
，
，
，
又，，，
，
又，，，，
．
设，，
，．
在中，由余弦定理得，
解得，所以，，又，，，
又，，的面积．
18.解：取的中点，连接，，如图，
点，分别是棱，的中点，
，且，
，又，，
，
且，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
在平面中，作于，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
过作的平行线交于点，则，
以为正交基底，建立空间直角坐标系，
在等腰梯形中，，，，
又，，
，
，
设，
，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则，
取平面的法向量，
设二面角平面角为，
，，，
又，
解得或舍，
，
所以当二面角的正切值为时，的长为．
19.解：由函数的部分图象可知，
，
，，
又，
，，解得 ，，
由，可得，
；
将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，
由，可得，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
可得，，即；
由可得在上单调递减，在上单调递增，
可得，，，
因为关于的方程在上有两个不等实根，
即当与有两个公共点，
由正弦函数的性质可知．
第1页，共1页