高中数学第一章集合与常用逻辑用语（含解析）

高中数学第一章 集合与常用逻辑用语
章末综合检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如果全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，则( UA)∩( UB)为（ ）
A．{1,2} B．{3,4} C．{5,6} D．{7,8}
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的有（ ）
A．10以内的质数组成的集合是
B．由1，2，3组成的集合可表示为或
C．方程的解集是
D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形
4．设集合，则集合的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
5．如果对于任意实数x，表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ）．
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．9
7．“都是有理数”是“是有理数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中是全称量词命题的是（ ）
A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形
C．梯形有两边平行 D．，
10．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A． B．
C． D．
11．设，则（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．用符号“”或“”填空： .
13．使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
14．已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为
15．已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是 .
四、解答题
16．已知全集，集合，，求，，．
17．设，集合,.
(1)当时求；
(2)若，求实数m的取值.
18．设集合，．
(1)当时，求，；
(2)记，若集合的子集有8个，求实数的取值所构成的集合．
19．已知集合，，且.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
20．已知.
(1)若，求实数的取值范围;
(2)若，求实数的取值范围.
21．记，，存在正整数n，且.若集合满足，则称集合A为“谐调集”.
(1)分别判断集合、集合是否为“谐调集”；
(2)已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；
(3)若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M.
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由已知集合求、，根据集合的交运算求交集即可.
【详解】由题意知：
∴，
∴
故选：D
【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据交运算求交集，属于简单题.
2．B
【分析】利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
3．D
【分析】根据集合的确定性，互异性，和无序性，依次判断选项即可.
【详解】对A：不是质数，故A错误；
对B：根据集合的无序性可知，故B错误；
对C：根据集合的互异性可知方程的解集是，故C错误；
对D：根据集合的互异性可知两两不相等，故一定不是等腰三角形，故D正确.
故选：D.
4．B
【分析】根据条件，先化简集合，再利用子集个数的计算公式，即可求解.
【详解】易知，所以的子集个数为.
故选：B.
5．B
【分析】举出反例得到充分性不成立，再设，得到，，故，必要性成立，得到答案.
【详解】不妨设，满足，
但，不满足，充分性不成立，
若，不妨设，则，，
故，必要性成立，
故“”是“”的必要条件.
故选：B
6．C
【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定，然后由判别式求得值，得集合，从而得结论．
【详解】由已知，又，所以或，
又中显然是一个解，即，因此，所以，
所以有两个相等的实根且不为0，
，，经检验符合题意，，
所以．
故选：C．
7．A
【分析】充分性成立，必要性可举出反例，证明不成立，得到正确答案.
【详解】由都是有理数，则一定是有理数，
但为有理数，不一定为有理数，比如为有理数，但是是无理数，
则“都是有理数”是“是有理数”的充分不必要条件.
故选：A.
8．C
【分析】记，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.
【详解】因为，，所以，
记，
对于A选项，其表示，不满足；
对于B选项，其表示，不满足；
对于C选项，其表示，满足；
对于D选项，其表示，不满足；
故选：C.
9．AC
【分析】根据全称命题的定义逐一判断即可.
【详解】根据全称命题和存在命题的定义可以判断选项AC是全称命题， BD是存在命题，
故选：AC
10．AC
【分析】根据图验证B,C,D再利用交集补集定义判断A.
【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，C正确，B,D错误，
因为，，
所以，故A正确.
故选：AC
11．BCD
【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.
【详解】设，
而，即A错误，C正确；
，即B正确；
，即D正确.
故选：BCD.
12．
【分析】根据元素与集合的关系求解．
【详解】不是自然数，因此应填，
故答案为：．
13．
【分析】根据充分不必要条件的定义解不等式即可.
【详解】由题意可知集合是的真子集，
即且等号不同时成立，
解之得，经检验符合题意.
故答案为：
14．
【分析】确定得到，，得到，解得答案.
【详解】集合中只有一个整数元素，
则，，即，此时，故，解得.
故.
故答案为：.
15．
【分析】利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围.
【详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又，，
所以，所以；
当时，是的真子集；
当时，也满足是的真子集，
综上所述：.
故答案为：
16．；；
【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可.
【详解】因为全集，集合，，
则，，
所以；；．
17．(1)；
(2)或2.
【分析】（1）解方程求出，，从而求出并集；
（2）根据的根的判别式，分与两种情况，结合进行求解.
【详解】（1），解得：或2，
所以，
当时，，
故；
（2）的根的判别式，
当时，解为，故，
此时满足，符合要求，
当时，的两根为，，
此时，
要想，则，解得：，
综上：或2.
18．(1)，．
(2)
【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的交集、并集运算求解；
（2）由集合C子集个数确定集合中元素个数，据此结合中元素确定的取值即可.
【详解】（1）因为集合，
，
∴当时，，∴，．
（2）因为集合的子集有8个，
∴集合中有3个元素，
而，故实数的取值集合为
19．(1)
(2)
【分析】（1）由，又由题知，可得，即可求得的取值范围；
（2）由，则，由，则要满足，解得，则的取值范围是.
【详解】（1）∵，又由题知，所以，
解得，故的取值范围是.
（2）由于，又，所以，所以，
当时，一定有，
要想满足，则要满足，解得，
故时，，故的取值范围是.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）由交集为空集得到一元二次方程无解，再由判别式小于等于零可解出；
（2）分和时，分别求出的范围，注意时中的点都在集合中，即可解出；
【详解】（1）由得，①
因为，
所以①的，解得，
所以实数的取值范围为，
（2）①若，由（1）可得，
②若，且其中的点都在集合中，也符合题意，
此时，联立，得，且，
解得，
将代入中，整理可得，
令，整理得，解得，
同理，把代入，得，
令，整理并化简可得，所以，
综上，实数的取值范围为或.
21．(1)E不是，F是
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据新定义计算即可判断；
（2）若存在符合题意的实数z，根据题意可得，求解后，检验，进而可判断；
（3）不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分、、三种情况求解即可.
【详解】（1）因为，所以E不是“谐调集”，
因为，所以F是“谐调集”；
（2）若存在符合题意的实数z，则，
所以，即，解得或或，
当时，则，，不符合题意；
当时，，，
由此，x、y是方程的实数解.
但，方程无实数解，所以不符合题意；
当时，同理，可得不符合题意，
综上，不存在符合题意的实数z；
（3）不妨设A中所有元素满足，
则，
于是，，
即，
当时，则，∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，
当时，则，∴，，，∴，
当时，∵，，，均为正整数，∴，，，.
∴，
又，∴，即，
但当时，，矛盾.
所以不存在符合题意的“谐调集”
综上，符合题意的“谐调集”为.
【点睛】关键点睛：
本题第三问关键是能够由，结合正整数的特点得到，再分、、三种情况求解.
答案第1页，共2页
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