2024-2025学年重庆外国语学校高一（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆外国语学校高一（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在集合上定义两种运算和如下：
那么( )
A. B. C. D.
2.一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中，这家商店( )
A. 不盈不亏 B. 盈利元 C. 亏损元 D. 亏损元
3.已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是( )
A. B. C. D.
4.月日黑传说悟空风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是( )
A. 游戏中会变身的妖怪 B. 游戏中长的高的妖怪
C. 游戏中能力强的妖怪 D. 游戏中击败后给奖励多的妖怪
5.如图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A. B.
C. D.
6.设，，，记为平行四边形内部不含边界的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
7.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要根小木棒，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 以内的质数组成的集合是
B. 由，，组成的集合可表示为或
C. 方程的解集是
D. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形
10.下列各对象中，能够组成一个集合的是( )
A. 所有矮个子的人 B. 接近的有理数
C. 小于的实数 D. 一次项系数为的二次三项式
11.将下列多项式因式分解，结果中含有因式的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.分解因式得______．
13.若，则 ______．
14.设，，，，且满足且，，则
______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集是实数集，集合，集合．
求；
求．
16.本小题分
阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”如图所示，它揭示了为非负数展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
直接写出 ______；
的展开式中项的系数是______；
利用上述规律求的值，写出过程．
17.本小题分
已知集合，为实数．
若集合是空集，求实数的取值范围；
若集合是单元素集，求实数的值；
若集合中元素个数为偶数，求实数的取值范围．
18.本小题分
定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线：的“迭代函数”例如：图是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为
函数关于直线的“迭代函数”的解析式为______．
若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则 ______．
已知正方形的顶点分别为：，，，，其中．
若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有个公共点，求的值；
若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若最小值记为，，，，且满足，求证：．
参考答案
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15.解：因为，
由，得，
则或，解得或，
故B或，
所以或；
由得或，
或或，
所以或．
16.
17.解：若集合是空集，则方程无实根，
当，即时，方程化为，根为，不符合题意，
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
若集合是单元素集，则方程只有一个实根，
当，即时，方程化为，根为，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，实数的值为或．
若集合中元素个数为偶数，则方程无实根或有两个不相等的实根，
当，即时，方程化为，根为，不符合题意，
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围．
18.
19.解：因为，
当时，；
当时，；
当时，；
因为，所以，
当时，得，解得，故；
当时，得，解得，故；
当时，得，解得，故；
综上：，即的解集为．
由得，
当时，，则；
当时，，则，即；
当时，，则；
综上：，故最小值为，即，
所以，
又，，，令，，，则，，，且，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，此时，，，
所以，即．
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