人教版八年级数学上册第十一章《三角形》综合复习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册第十一章《三角形》综合复习题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 772.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-25 22:57:08 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上册第十一章《三角形》综合复习题（含答案）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．三角形的重心是三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．一条边的中线与另一边的高的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2、3、5 B．5、15、8 C．10、16、8 D．3、6、9
3．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
（3题） （4题） （7题） （9题）
5．下列关于三角形的角平分线、中线、高的说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、高都是线段
B．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
C．三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部
D．三角形的角平分线、中线在三角形内部，高在三角形外部
6．若一个三角形的三个内角的度数比为3：4：7，则这个三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥CB，交CB的延长线于点D，BC＝10，AD＝6，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
8．如果等腰三角形的各边长是整数，周长为9，那么这样的等腰三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠EBD＝30°，∠BAC＝70°，则∠DAC＝（ ）
A．60° B．50° C．40° D．45°
10．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为5和1，则它的周长为 ．
12．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足（b﹣2）2＝0，则第三边c的取值范围是 ．
13．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来的多边形的边数是 ．
（10题） （14题） （15题）
14．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝50°，则∠BOE的度数为 ．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
17．（9分）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
18．（9分）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O．
（1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性．
19．（9分）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是△ABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
20．（9分）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°．
（1）∠ABC+∠ADC＝ °（用含x，y的代数式表示）
（2）BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
①若BE∥DF，x＝30，则y＝ ；
②当y＝2x时，若BE与DF交于点P，且∠DPB＝20°，求y的值．
（3）如图②，∠ABC的平分线与∠ADC的外角平分线交于点Q，则∠Q＝ （用含x，y的代数式表示）
21．（9分）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 度，∠PBC+∠PCB＝ 度，∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
22．（10分）如图1，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是 ．
23．（11分）如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|＝0，试分别求出1秒钟后，A、B两点的坐标；
（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值：若发生变化，请说明理由．
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵三角形的重心是三角形三条边中线的交点，
∴选项D正确．
2．解：根据三角形的三边关系，知
A、2+3＝5，不能组成三角形；
B、5+8＝13＜15，不能组成三角形；
C、10+8＝18＞16，能组成三角形；
D、3+6＝9，不能组成三角形．
故选：C．
3．解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；
故选：C．
4．解：∵黑皮是正五边形，
∴一块黑色皮块的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°．
故选：C．
5．解：A、三角形的角平分线、中线、高都是线段，说法正确，符合题意；
B、三角形的高是线段，角平分线是线段，中线是线段，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的角平分线、中线都在三角形内部，但高不一定都在三角形内部，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的角平分线、中线在三角形内部，高可能在三角形内部、边上或外部，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
6．解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，7k°，
则3k°+4k°+7k°＝180°，
解得7k°＝90°．
所以最大的内角是90°．
故三角形是直角三角形，
故选：A．
7．解：BD＝x，AC＝a，
∵S△ABD6x＝3x，S△ABC5a＝2.5a，S△ADC6（x+10）＝3x+30，
又∵S△ABD+S△ABC＝S△ADC，
∴3x+2.5a＝3x+30，
解得：a＝12，
∴AC的长为12．
故选：A．
8．解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为9﹣2x，
由题意得：，
解得：2.25＜x＜4.5，
∵x为整数，
∴x＝3或4，
当x＝3时，9﹣2x＝3，等腰三角形的三边长分别为3，3，3；
当x＝4时，9﹣2x＝1，等腰三角形的三边长分别为4，4，1；
综上所述：这样的等腰三角形有2个，
故选：B．
9．解：∵BE平分∠ABC交AD于点E，∠EBD＝30°，
∴∠ABC＝2∠EBD＝60°，
∵∠BAC＝70°，∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠C＝50°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴∠DAC＝40°，
故选：C．
10．解：连接AC并延长交EF于点G．
∵AB∥CF，
∴∠BAC＝∠FCG，
∵AD∥CE，
∴∠DAC＝∠ECG，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCG+∠ECG＝∠ECF，
在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°，
∴∠BAD＝∠ECF＝45°．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为5和1，则它的周长为 11 ．
解：∵三角形的两边的长为5和1，
∴第三边的取值范围是4＜x＜6，
∵三角形的三边长都是整数，
∴第三边的长为5，
∴周长为：5+5+1＝11，
故答案为：11．
12．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足（b﹣2）2＝0，则第三边c的取值范围是 1＜c＜5 ．
解：由题意得，a2﹣9＝0，b﹣2＝0，
解得a＝3，b＝2，
∵3﹣2＝1，3+2＝5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
13．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来的多边形的边数是 10，11或12 ．
解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据（n﹣2） 180°＝1620°，
解得：n＝11，
则多边形的边数是10，11或12．
故答案为10，11或12．
14．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝50°，则∠BOE的度数为 65° ．
解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠1+∠2∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣65°＝115°，
∴∠BOE＝180°﹣115°＝65°，
故答案为：65°．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 20°或60° ．
解：如图所示，当∠BFD＝90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；
如图，当∠BDF＝90°时，
同理可得∠BAD＝30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝50°，
∴∠BFD＝∠BCE＝50°，
∴∠ADF＝∠BFD﹣∠BAD＝20°，
综上所述，∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
解：（1）因为a＝4，b＝6，
所以2＜c＜10．
故周长x的范围为12＜x＜20．
（2）①因为周长为小于18的偶数，
所以x＝16或x＝14．
当x为16时，c＝6；
当x为14时，c＝4．
②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；
当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．
综上，△ABC是等腰三角形．
17．（9分）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
解：（1）设这个多边形的每一个外角的度数为x度．根据题意，得：
3x+x＝180，
解得x＝45．
故这个多边形的每一个外角的度数为45°；
（2）360°÷45°＝8．
故这个多边形的边数为8．
18．（9分）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O．
（1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性．
解：（1）∵∠A＝50°，∠C＝30°，
∴∠BDO＝∠A+∠C＝80°；
∵∠BOD＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠BDO﹣∠BOD＝30°；
（2）∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
理由：∵∠BEC＝∠A+∠B，
∴∠BOC＝∠BEC+∠C＝∠A+∠B+∠C．
19．（9分）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是△ABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
解：∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝46°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣46°＝44°，
∵∠DAC＝10°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝44°+10°＝54°，
∴∠MAC＝180°﹣∠BAC＝126°，
∵AE是△ABC外角∠MAC的平分线，
∴∠CAEMAC＝63°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝54°+63°＝117°，
∵∠ABC＝46°，BF平分∠ABC，
∴∠ABF∠ABC＝23°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣23°﹣117°＝40°．
20．（9分）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°．
（1）∠ABC+∠ADC＝ （360﹣x﹣y） °（用含x，y的代数式表示）
（2）BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
①若BE∥DF，x＝30，则y＝ 30 ；
②当y＝2x时，若BE与DF交于点P，且∠DPB＝20°，求y的值．
（3）如图②，∠ABC的平分线与∠ADC的外角平分线交于点Q，则∠Q＝ [90（x﹣y）]° （用含x，y的代数式表示）
解：（1）在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠DCB＝360°﹣x°﹣y°．
故答案为：（360﹣x﹣y）．
（2）①如图1中，
∵BE∥DF，
∴∠C＝∠CDF+∠CBE＝y°，
∵BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
∴∠MDC+∠CBN＝2（∠CDF+∠CBE）＝（2y）°，
∵∠ADC+∠ABC＝360°﹣30°﹣y°，
∵∠ADC+∠MDC＝180°，∠ABC+∠CBN＝180°，
∴360°﹣30°﹣y°+（2y）°＝360°，
∴y＝30．
故答案为30．
②如图2中，延长BC交PD于Q．
由（1）可知：∠ABC+∠ADC＝（360﹣x﹣y）°，
∵∠ADC+∠MDC＝180°，∠ABC+∠NBC＝180°，
∴∠NBC+∠MDC＝（x+y）°，
∵BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
∴∠PBC∠NBC，∠PDC∠MDC，
∴∠PBC+∠PDC＝[（x+y）]°，
∵∠BCD＝∠PDC+∠CQD，∠CQD＝∠PBC+∠P，
∴∠BCD＝∠PDC+∠PBC+∠P，
∴y＝20（x+y），即y﹣x＝40，
∵y＝2x，
∴x＝40，y＝80．
（3）如图②中，
由题意：∠DNQ＝∠ANB＝180°﹣x°∠ABC，∠QDN（180°﹣∠ADC），
∴∠Q＝180°﹣∠DNQ﹣∠QDN＝180°﹣（180°﹣x°∠ABC）（180°﹣∠ADC）
＝x°（∠ABC+∠ADC）﹣90°
＝x°+180°（x+y）°﹣90°
＝[90（x﹣y）]°．
故答案为：[90（x﹣y）]°．
21．（9分）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 125 度，∠PBC+∠PCB＝ 90 度，∠ABP+∠ACP＝ 35 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
解：（1）由题意：∠ABC+∠ACB＝125度，∠PBC+∠PCB＝90度，
∠ABP+∠ACP＝35度．
故答案为125，90，35．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC，∠ACB＝∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°＝180°﹣∠A，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
①如图3﹣1中，结论：∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
理由：设AB交PN于O．
∵∠AOC＝∠BOP，
∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP，
∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似①
③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP，
∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
22．（10分）如图1，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是 ∠BDA′＝2∠A
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是 ∠BDA′+∠CEA′＝2∠A
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是 ∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A ．
解：（1）∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°，
∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
理由：DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
故答案为：∠BDA′＝2∠A；∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
23．（11分）如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|＝0，试分别求出1秒钟后，A、B两点的坐标；
（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值：若发生变化，请说明理由．
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．
解：（1）由题意得，，
解得，，
∴A（﹣1，0），B（0，2）；
（2）∠P的大小不发生变化，
∵∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA
＝180°（∠EAB+∠FBA）
＝180°（∠ABO+90°+∠BAO+90°）
＝180°（180°+90°）
＝180°﹣135°
＝45°，
∴∠P的大小不会发生变化；
（3）∠AGH＝∠BGC，
理由如下：作GM⊥BF于点M．
由已知得：∠AGH＝90°∠EAC
＝90°（180°﹣∠BAC）
∠BAC，
∠BGC＝∠BGM﹣∠CGM
＝90°∠ABC﹣（90°∠ACF）
（∠ACF﹣∠ABC）
∠BAC
∴∠AGH＝∠BGC．
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人教版八年级数学上册第十一章《三角形》综合复习题（含答案）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．三角形的重心是三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．一条边的中线与另一边的高的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2、3、5 B．5、15、8 C．10、16、8 D．3、6、9
3．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（ ）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
（3题） （4题） （7题） （9题）
5．下列关于三角形的角平分线、中线、高的说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、高都是线段
B．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
C．三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部
D．三角形的角平分线、中线在三角形内部，高在三角形外部
6．若一个三角形的三个内角的度数比为3：4：7，则这个三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥CB，交CB的延长线于点D，BC＝10，AD＝6，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
8．如果等腰三角形的各边长是整数，周长为9，那么这样的等腰三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠EBD＝30°，∠BAC＝70°，则∠DAC＝（ ）
A．60° B．50° C．40° D．45°
10．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为5和1，则它的周长为 ．
12．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足（b﹣2）2＝0，则第三边c的取值范围是 ．
13．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来的多边形的边数是 ．
（10题） （14题） （15题）
14．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝50°，则∠BOE的度数为 ．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
17．（9分）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
18．（9分）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O．
（1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性．
19．（9分）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是△ABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
20．（9分）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°．
（1）∠ABC+∠ADC＝ °（用含x，y的代数式表示）
（2）BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
①若BE∥DF，x＝30，则y＝ ；
②当y＝2x时，若BE与DF交于点P，且∠DPB＝20°，求y的值．
（3）如图②，∠ABC的平分线与∠ADC的外角平分线交于点Q，则∠Q＝ （用含x，y的代数式表示）
21．（9分）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 度，∠PBC+∠PCB＝ 度，∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
22．（10分）如图1，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是 ．
23．（11分）如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|＝0，试分别求出1秒钟后，A、B两点的坐标；
（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值：若发生变化，请说明理由．
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵三角形的重心是三角形三条边中线的交点，
∴选项D正确．
2．解：根据三角形的三边关系，知
A、2+3＝5，不能组成三角形；
B、5+8＝13＜15，不能组成三角形；
C、10+8＝18＞16，能组成三角形；
D、3+6＝9，不能组成三角形．
故选：C．
3．解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；
故选：C．
4．解：∵黑皮是正五边形，
∴一块黑色皮块的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°．
故选：C．
5．解：A、三角形的角平分线、中线、高都是线段，说法正确，符合题意；
B、三角形的高是线段，角平分线是线段，中线是线段，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的角平分线、中线都在三角形内部，但高不一定都在三角形内部，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的角平分线、中线在三角形内部，高可能在三角形内部、边上或外部，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
6．解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，7k°，
则3k°+4k°+7k°＝180°，
解得7k°＝90°．
所以最大的内角是90°．
故三角形是直角三角形，
故选：A．
7．解：BD＝x，AC＝a，
∵S△ABD6x＝3x，S△ABC5a＝2.5a，S△ADC6（x+10）＝3x+30，
又∵S△ABD+S△ABC＝S△ADC，
∴3x+2.5a＝3x+30，
解得：a＝12，
∴AC的长为12．
故选：A．
8．解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为9﹣2x，
由题意得：，
解得：2.25＜x＜4.5，
∵x为整数，
∴x＝3或4，
当x＝3时，9﹣2x＝3，等腰三角形的三边长分别为3，3，3；
当x＝4时，9﹣2x＝1，等腰三角形的三边长分别为4，4，1；
综上所述：这样的等腰三角形有2个，
故选：B．
9．解：∵BE平分∠ABC交AD于点E，∠EBD＝30°，
∴∠ABC＝2∠EBD＝60°，
∵∠BAC＝70°，∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠C＝50°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴∠DAC＝40°，
故选：C．
10．解：连接AC并延长交EF于点G．
∵AB∥CF，
∴∠BAC＝∠FCG，
∵AD∥CE，
∴∠DAC＝∠ECG，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCG+∠ECG＝∠ECF，
在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°，
∴∠BAD＝∠ECF＝45°．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为5和1，则它的周长为 11 ．
解：∵三角形的两边的长为5和1，
∴第三边的取值范围是4＜x＜6，
∵三角形的三边长都是整数，
∴第三边的长为5，
∴周长为：5+5+1＝11，
故答案为：11．
12．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足（b﹣2）2＝0，则第三边c的取值范围是 1＜c＜5 ．
解：由题意得，a2﹣9＝0，b﹣2＝0，
解得a＝3，b＝2，
∵3﹣2＝1，3+2＝5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
13．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来的多边形的边数是 10，11或12 ．
解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据（n﹣2） 180°＝1620°，
解得：n＝11，
则多边形的边数是10，11或12．
故答案为10，11或12．
14．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝50°，则∠BOE的度数为 65° ．
解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠1+∠2∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣65°＝115°，
∴∠BOE＝180°﹣115°＝65°，
故答案为：65°．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 20°或60° ．
解：如图所示，当∠BFD＝90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；
如图，当∠BDF＝90°时，
同理可得∠BAD＝30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝50°，
∴∠BFD＝∠BCE＝50°，
∴∠ADF＝∠BFD﹣∠BAD＝20°，
综上所述，∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
解：（1）因为a＝4，b＝6，
所以2＜c＜10．
故周长x的范围为12＜x＜20．
（2）①因为周长为小于18的偶数，
所以x＝16或x＝14．
当x为16时，c＝6；
当x为14时，c＝4．
②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；
当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．
综上，△ABC是等腰三角形．
17．（9分）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
解：（1）设这个多边形的每一个外角的度数为x度．根据题意，得：
3x+x＝180，
解得x＝45．
故这个多边形的每一个外角的度数为45°；
（2）360°÷45°＝8．
故这个多边形的边数为8．
18．（9分）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O．
（1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性．
解：（1）∵∠A＝50°，∠C＝30°，
∴∠BDO＝∠A+∠C＝80°；
∵∠BOD＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠BDO﹣∠BOD＝30°；
（2）∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
理由：∵∠BEC＝∠A+∠B，
∴∠BOC＝∠BEC+∠C＝∠A+∠B+∠C．
19．（9分）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是△ABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
解：∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝46°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣46°＝44°，
∵∠DAC＝10°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝44°+10°＝54°，
∴∠MAC＝180°﹣∠BAC＝126°，
∵AE是△ABC外角∠MAC的平分线，
∴∠CAEMAC＝63°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝54°+63°＝117°，
∵∠ABC＝46°，BF平分∠ABC，
∴∠ABF∠ABC＝23°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣23°﹣117°＝40°．
20．（9分）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°．
（1）∠ABC+∠ADC＝ （360﹣x﹣y） °（用含x，y的代数式表示）
（2）BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
①若BE∥DF，x＝30，则y＝ 30 ；
②当y＝2x时，若BE与DF交于点P，且∠DPB＝20°，求y的值．
（3）如图②，∠ABC的平分线与∠ADC的外角平分线交于点Q，则∠Q＝ [90（x﹣y）]° （用含x，y的代数式表示）
解：（1）在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠DCB＝360°﹣x°﹣y°．
故答案为：（360﹣x﹣y）．
（2）①如图1中，
∵BE∥DF，
∴∠C＝∠CDF+∠CBE＝y°，
∵BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
∴∠MDC+∠CBN＝2（∠CDF+∠CBE）＝（2y）°，
∵∠ADC+∠ABC＝360°﹣30°﹣y°，
∵∠ADC+∠MDC＝180°，∠ABC+∠CBN＝180°，
∴360°﹣30°﹣y°+（2y）°＝360°，
∴y＝30．
故答案为30．
②如图2中，延长BC交PD于Q．
由（1）可知：∠ABC+∠ADC＝（360﹣x﹣y）°，
∵∠ADC+∠MDC＝180°，∠ABC+∠NBC＝180°，
∴∠NBC+∠MDC＝（x+y）°，
∵BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
∴∠PBC∠NBC，∠PDC∠MDC，
∴∠PBC+∠PDC＝[（x+y）]°，
∵∠BCD＝∠PDC+∠CQD，∠CQD＝∠PBC+∠P，
∴∠BCD＝∠PDC+∠PBC+∠P，
∴y＝20（x+y），即y﹣x＝40，
∵y＝2x，
∴x＝40，y＝80．
（3）如图②中，
由题意：∠DNQ＝∠ANB＝180°﹣x°∠ABC，∠QDN（180°﹣∠ADC），
∴∠Q＝180°﹣∠DNQ﹣∠QDN＝180°﹣（180°﹣x°∠ABC）（180°﹣∠ADC）
＝x°（∠ABC+∠ADC）﹣90°
＝x°+180°（x+y）°﹣90°
＝[90（x﹣y）]°．
故答案为：[90（x﹣y）]°．
21．（9分）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 125 度，∠PBC+∠PCB＝ 90 度，∠ABP+∠ACP＝ 35 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
解：（1）由题意：∠ABC+∠ACB＝125度，∠PBC+∠PCB＝90度，
∠ABP+∠ACP＝35度．
故答案为125，90，35．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC，∠ACB＝∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°＝180°﹣∠A，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
①如图3﹣1中，结论：∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
理由：设AB交PN于O．
∵∠AOC＝∠BOP，
∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP，
∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似①
③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP，
∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
22．（10分）如图1，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是 ∠BDA′＝2∠A
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是 ∠BDA′+∠CEA′＝2∠A
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是 ∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A ．
解：（1）∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°，
∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
理由：DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
故答案为：∠BDA′＝2∠A；∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
23．（11分）如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|＝0，试分别求出1秒钟后，A、B两点的坐标；
（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值：若发生变化，请说明理由．
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．
解：（1）由题意得，，
解得，，
∴A（﹣1，0），B（0，2）；
（2）∠P的大小不发生变化，
∵∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA
＝180°（∠EAB+∠FBA）
＝180°（∠ABO+90°+∠BAO+90°）
＝180°（180°+90°）
＝180°﹣135°
＝45°，
∴∠P的大小不会发生变化；
（3）∠AGH＝∠BGC，
理由如下：作GM⊥BF于点M．
由已知得：∠AGH＝90°∠EAC
＝90°（180°﹣∠BAC）
∠BAC，
∠BGC＝∠BGM﹣∠CGM
＝90°∠ABC﹣（90°∠ACF）
（∠ACF﹣∠ABC）
∠BAC
∴∠AGH＝∠BGC．
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