2024-2025学年广西南宁三中五象校区高二（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年广西南宁三中五象校区高二（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知两条直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知直线倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知函数为在上单调递增，则取值的范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.某公司为保证产品生产质量，连续天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：，，，，，，，，，，则关于这组数据的结论正确的是( )
A. 极差是 B. 众数小于平均数 C. 方差是 D. 数据的分位数为
9.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
10.如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内含边界的动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线平面
C. 当时，
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ．
12.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 ______．
13.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分现从中随机选出名学生的成绩满分为分，按分数分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并求这名学生成绩的中位数保留一位小数；
若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于分的学生中随机抽取名学生参加运动交流会，大会上需要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，求抽取的名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各人的概率．
15.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求函数的解析式；
判断并证明在上的单调性；
解不等式．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别是．
求角；
若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
18.本小题分
如下图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥；
求证：；
若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
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14.解：根据题意可得，解得；
前几组的频率依次为，，，，
估计这名学生成绩的中位数为分；
在与内的学生的频率之比为：：，
抽取的名学生在内有人，在有人，
再从这名学生中随机抽取名学生共有个结果，
而抽取的名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各人的情况共有个结果，
故所求概率为．
15.解：因为平面，平面，所以，
由题知，，，所以，
由余弦定理得，
所以，又，所以，
即，因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
由知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为，
故直线与平面所成角即为．
因为，所以，
所以，又因为为的中点，所以，
所以，所以．
16.解：函数是定义在上的奇函数，
，解得：，
，而，解得，
，．
函数在上为减函数；证明如下：
任意，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
由题意，不等式可化为，
所以，解得，
所以该不等式的解集为
17.解：由正弦定理得，化简得，
结合余弦定理得，而，所以．
设的外接圆半径为，则外接圆面积，解得．
根据正弦定理得．
由，得，
所以，，，
可得
．
因为为锐角三角形，所以，解得
因为，可得，
所以．
综上所述，的周长的取值范围为．
18.解：因为，，
所以，即，，，，平面，
平面，平面，
所以．
因为二面角是直二面角，
所以平面平面，平面平面，，平面，平面，
以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
，
设平面法向量为，
则，即，
令，得，，所以，
设二面角为，
，
，
；
以，，为，轴，过作的垂线为轴，
设
，
，
得出，
设平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
因为，
所以，
所以正弦值的取值范围．
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