2024-2025学年广东省中山一中高二（上）第二次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省中山一中高二（上）第二次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.若圆关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.如图，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径．图是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度等于热馈源到口径的距离，已知口径长为，防护罩宽为，则顶点到防护罩外端的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，，则该二面角的大小为( )
A. B.
C. D.
7.如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
8.与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图所示，已知，是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心，如图所示，直线与轴交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是( )
A. B.
C. D.
10.下列结论正确的是( )
A. 已知点在圆：上，则的最大值是
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D. 若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
11.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，，过，两点分别作抛物线的切线，交于点下列说法正确的是( )
A.
B. 为坐标原点的面积为
C.
D. 若，是抛物线上一动点，则的最小值为
12.如图，点是正方体中的侧面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 满足的点的轨迹是一条线段
B. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
C. 若正方体的棱长为，三棱锥的体积最大值为
D. 点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，，若，则实数的值为______．
14.如图，已知网格中每个小正方形的边长都是，则点到直线的距离为______．
15.已知过点的动直线与圆：相交于不同的两点，，则线段的中点的轨迹长度为______．
16.设、为不同的两点，直线：，，以下命题中正确的序号为______．
存在实数，使得点在直线上；
若，则过、的直线与直线平行；
若，则直线经过的中点；
若，则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知抛物线：的准线方程为．
求抛物线的方程；
直线：交抛物线于、两点，求弦长．
18.本小题分
已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
求直线的方程；
求点的坐标．
19.本小题分
如图，在各棱长均为的平行六面体中，，分别在棱，上，且，且．
求证：，，，共面；
求证：B.
20.本小题分
某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为米，在其南面有一条东西走向的观景直道图中用实线表示，建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道图中用虚线表示，观景直道与辅道距离米在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：
在西辅道上与建筑物底面中心距离米处的游客，是否在摄像头监控范围内？
求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度．
21.本小题分
在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
过点且斜率大于的直线与椭圆相交于不同的两点和，直线、分别交轴于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围．
参考答案
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17.解：由抛物线：的准线方程为，
得，．
抛物线的方程为．
设，，
联立方程组得，消去，得，
，
则，．
抛物线的焦点为，
直线过抛物线的焦点，
．
18.解：设边上的高为，
，且直线的方程为，故斜率为，
直线的斜率为，，
直线的方程为，即；
设，则，
由题意得，
解得，，．
19.解：在各棱长均为的平行六面体中，，分别在棱，上，且，
且，
，，
，
，，，共面．
设，则，
，，
又，
，
，
B.
20.解：设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，，
因为，，则，依题意得，游客所在位置为，
则直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内，
由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，
所以设直线过点且和圆切，
若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切；
若直线不垂直于轴，设：，整理得：，
所以圆心到直线的距离为，解得或，
所以或，
即或，
观景直道所在直线方程为，
设两条直线与的交点为，，
由，解得，，
由，解得，
所以，
答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米．
21.解：Ⅰ证明：因为，且为线段的中点，
所以，
又，所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
又平面，平面平面，所以，
又平面平面，平面，，平面平面，
所以平面，又因为，
所以平面，又平面，
所以．
Ⅱ存在，为棱上靠近点的三等分点．
因为，为线段的中点，所以，又平面平面，
所以易知平面．
如图，以为坐标原点，、、的方向为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设，得，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，可得为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
于是有，
解得或舍去，
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
故G为棱上靠近点的三等分点．

22.解：由题意可得，解得：，，
所以椭圆的方程为：．
设直线的方程为，，，
联立，得，
，
解得，
所以，，
，
，
，
，
直线方程为，令，得，
直线方程为，令，得，
所以，
，
所以
，
，
所以的取值范围为．
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