2024-2025学年江苏省苏州市高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市高三（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D. ，
3.将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升某校高一年级举行环保知识竞赛，共人参加，若参赛学生成绩的第百分位数是分，则关于竞赛成绩不小于分的人数的说法正确的是( )
A. 至少为人 B. 至少为人 C. 至多为人 D. 至多为人
6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数为自然对数的底数，的零点分别为，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，，为双曲线：右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式的展开式，则( )
A. 二项式系数最大的项为第项 B. 常数项为第项
C. 展开式中含的项为 D. 展开式中所有项的系数和为
10.如图，已知直线，是，之间的一定点，到的距离，到的距离，分别在、上，设，则( )
A. 若，，则
B. 若，则面积的最小值为
C. 若为等边三角形，则
D. 若，则的最大值为
11.若数列满足：，对，有成立则( )
A.
B. ，使得
C. 对，都有
D. 对，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ______．
13.已知直线：其中为常数，圆：，直线与圆相交于，两点，则长度最小值为______．
14.如图，线段，相交于，且，，，长度构成集合，，则的取值个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日第届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目月日米跨栏、米、米、米、米、米比赛在法兰西体育场举行．
志愿者汤姆可以在以上个项目中选择个参加服务，求汤姆在选择米服务的条件下，选择米服务的概率；
为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加个项目的志愿者中抽取了名同学，其中名参加米服务，名参加米服务现从这名同学中再选名同学做进一步调查将其中参加米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．
求证：平面；
若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，为自然对数的底数，函数．
若在处的切线也是的切线，求实数的值；
求在上的零点个数．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，为椭圆左顶点，已知点，且直线的斜率为过点作直线交椭圆于，两点在轴上方，在轴下方，设，两直线分别交椭圆于另一点，分别在线段，上．
求椭圆的标准方程；
当时，若的斜率小于零，且的面积为，求证：；
若存在实数，使得，求此时直线的斜率．
19.本小题分
如果数列满足，则称之为凸数列现给定函数及凸数列，它们满足以下两个条件：
；
对，有为正常数．
若数列满足，，且数列满足，请判断是否为凸数列，并说明理由；
若，求证：；
对任何大于等于的正整数，且，求证：
参考答案
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15.解：设“汤姆选择中有米服务”为事件，“汤姆选择中有米服务”为事件，
则，，
汤姆在选择米服务的条件下，选择米服务的概率为：
．
的值可能为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：


．
16.解：证明：因为平面平面，平面平面，
因为为正三角形，为中点，
所以，又平面，
所以平面；
取中点，连接，，
因为为正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，
则，，
因为平面平面，平面平面，
则平面，
即，，
即，，两两垂直，
以，，为空间基底，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
即，
因为平面，
则为平面的一个法向量，
设平面平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：，则，
所以切线方程为，
又，设直线与图象的切点为，
则，解得．
，
当时，，，，所以函数单调递减，
所以，此时函数无零点；
当时，设，则，单调递增，即单调递增，
，，
因此在即在上有唯一零点，记零点为，即，
在上，，单调递减，在上，，单调递增，又
，，，，
所以在有一个零点，在上有一个零点．
综上所述，在上有个零点．
18.解：因为为椭圆左顶点，则，又，
所以，
解得，又离心率，
则，，
所以椭圆的标准方程为；
证明：由题意可知，设直线：，
联立，化简得，，
设，则，，
因为的面积为，
又，
化简得：，则，又，所以，
则方程即为，又在轴上方，在轴下方，
所以，，
由于，所以，
根据对称性可以得到，
所以，因此为的垂心，设与交于点，
所以，，，四点共圆，则；
若存在实数，使得，则有，
所以，，
由题意可知，，设，，
由得，又，均在椭圆上，
所以，
上式变形为，
所以，
化简得，
同理可得，
即直线：，
所以的斜率为．
19.解：因为，，
所以，
因为，所以数列为等比数列，
所以，符合凸数列要求，即数列为凸数列．
证明：因为，所以，
所以，又因为，
所以，且，
且，
所以，又因为，
所以，
因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以，
．
证明：当时，，结论显然成立；
当时，
综上可得：
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