【教学设计】因式分解_数学_初中_吕元春_3701030008
第?四?章?因 式 分 解
第一节?因式分解
教学过程设计
本课时设计十个环节：第一环节：回顾思考；第二环节：情景引入；第三环节：初步探究（因式分解定义）；第四环节：深入探究（因式分解与整式乘法的关系）；第五环节：几何验证；第六环节：基础闯关；第七环节：能力提升，拓展思维；第八环节：中考链接；第九环节：学习小结；第十环节：作业布置。
课前活动：利用课前时间1.复习七年级下册第一章第四节，整式乘法的有关知识。2.整理整数的二次幂和三次幂，整理到一张纸上，背过更好。
第一环节：回顾思考
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内容：从今天开始，我们要进入第四章——因式分解的学习。首先，让我们来回顾一下之前学过的整式乘法运算。整式乘法有几种形式？三种：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式和多项式乘以多项式。单项式乘以单项式的结果是个单项式，单项式乘以多项式的结果是多项式，我们可以用字母表示为什么？其中多项式乘以多项式还包含了特殊的两种情况：平方差公式和完全平方公式。
观察以上四个算式，请问等号左边都是什么形式？等号右边呢？左边是“多项式”，右边是“乘积的形式”。
目的：帮助学生复习整式乘法运算，为后面的分解因式与整式乘法的关系奠定基础。且让学生发现等号左边是“多项式”，右边是“乘积的形式”，为后面自己写因式分解的定义做准备。
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第二环节：情景引入
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内容：下面我们来做一个小游戏：
游戏规则：1、同位两人一组。2、说出一个正整数，并写出它的立方减它
的式子。（例如：15?3?-15）3、不计算出结果，快速说出这个式子能被哪三个正整数整除。4、说的快，并且对的一方获胜。
学生完成后，老师说：同学们不管你们说的数有多大，老师都能马上说出它能被哪三个数整除。不信，你们可以来试试，请一位同学说一个比较大的数。老师也来说一个数——99。993-99能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流。
如果学生感觉难度比较大，老师可以带领学生一起分析，找出解题方法。“993-99是和差的形式，看不出来能否被100整除，我们可以进行变形，写成乘积的形式就容易看出来了。”想一想：解决这类问题的关键是什么？——把和差形式化成乘积形式。请一位同学上黑板上来板书，并讲解每一步的解题依据是什么。
目的：新课由一个有趣的小游戏引入，既活跃了课堂气氛，又充分调动了学生的学习兴趣。通过解决993-99的问题，让学生体会到把“和差形式化成乘积形式”的必要性，即学习因式分解的必要性。
说明：此环节除了让学生体会学习因式分解的必要性，引入新课的学习，也让学生们归纳解决这类问题的关键是把和差形式化成乘积形式，既对学生进行解题方法的点拨，也帮助学生养成多总结多归纳的习惯。
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第三环节：初步探究——因式分解的定义
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内容：同学们，对于任意数，老师都能马上说出结果，你能解释一下其中的道理吗？把数用字母来表示：a3-a?= a(a+1)(a-1)，观察这个等式，等号左边是多项式，等号右边是乘积形式，像这种由左边的多项式化成右边的乘积这种形式，就叫做因式分解。请问同学们，你能尝试给因式分解下个定义吗？同位之间互相说说，再找一位同学说出自己的答案，请同学们指出定义中的关键语句，再让同学们进行背诵。
可能有同学要问老师：为什么要学习因式分解呢。学习因式分解，除了可以帮助我们解决某些需要因式分解变换才能解决的问题，也是为了后面学习分式的计算和分式方程做准备，所以，同学们要认真的学习。
目的：让学生们通过观察等式的特点，自己尝试给因式分解下定义，可以锻炼学生的观察能力和语言概况能力，另外，自己归纳总结出的答案记忆会比较深刻，也调动了学生学习的积极性，且帮助学生更好的理解因式分解的概念。
说明：此环节对于学习因式分解的原因的讲解，是为了引起学生们重视因式分解，因式分解本身很重要，且也是后面学习分式的计算和分式方程的重要的知识基础。
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第四环节：深入探究——因式分解与整式乘法的关系
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内容：同学们，因式分解与整式乘法有什么关系呢？下面，我们通过完成两组计算题来找出它们之间的关系：
计算下列各式:????????????????
(1)3x(x-1)= _____??????????
(2)(m+4)(m-4)= ____???????
(3)(y-3)2= _______?????????
(4)a(a+1)(a-1)= ____????????
(5)??m(a+b+c)??=_________??
根据上面的算式填空:
(1)3x2-3x=_______
(2)m2-16=__________
(3)??y2-6y+9=______
(4)??a3-a=___________
(5)??ma+mb+mc=___________
观察第一组算式，你会发现它们是整式乘法运算，第二组算式，是因式分解，那么这两者之间有什么关系呢？我们下面来具体分析一下：举例，a2+2ab+b2=(a+b)2，从左边到右边是因式分解，从右边到左边是整式计算，二者是互逆的恒等变形。
目的：通过两组算式的计算与对比，让学生们体会因式分解与整式乘法两者之间关系，让学生们自己归纳总结出两者之间的关系，而不是教师直接告知答案，学生们记忆会比较深刻。学生们是学习的主体，自己通过探究得到知识比老师讲授给的效果要好。
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第五环节：几何验证因式分解
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内容：同学们，我们前面研究的都是“数”的方面，下面我们要从“形”的方面来感受一下因式分解。下面来完成一道几何题。
观察下面拼图过程，写出相应的关系式。
???????????????????????=?????????????
?
??????????????????????=?????????????
教师引导学生观察第一组图形，发现：左边是几个长方形的和，右边是拼成了一个整体，一个长方形的面积。所写的等式，等号左边是多项式，右边是整式的乘积，所以这个算式是“因式分解”。同样的方法可以解第二组图形。这两个几何图形直观的帮我们验证了因式分解。
【归纳总结】：1.因式分解与整式乘法是互逆过程.
2.因式分解要注意以下几点：
??????????⑴分解的对象必须是多项式。
??????????⑵分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。
??????????⑶要分解到不能再分解为止。（这条在后面的学习中会遇到）
目的：之前研究的都是“数”的方面，这道题目让我们从“形”的方面感受因式分解，其中渗透着“数形结合”的数学思想。通过两组几何图形面积的计算，得到两个算式，而这两个算式都再一次帮我们验证了因式分解。归纳总结部分，再次指出因式分解的结果是“积”的形式。
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第六环节：基础闯关
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内容：同学们，在了解了因式分解的有关概念后，我们要学以致用，完成一组基础闯关题。首先，请同学来口答第一题，并说明为什么，最后请同学们来归纳一下，判断因式分解应该注意什么。
1. 下列各式从左到右的变形，是否为因式分解？
⑴ a(a+2b)= a2+2ab
⑵ bx-bx2?= b (1-x)
⑶ x2-2x+1= x (x-2)+1
⑷ 24a2bc=23·a2·3bc
⑸
【归纳总结】：因式分解的结果必须是“积”的形式，因式分解的对象不能是单项式，因式分解的结果中不能出现分式。
下面请同学们独立完成第二题，然后找一位同学回答问题，并告诉我们解题方法和思路是什么。如果同学们不会总结方法，教师可以这样引导学生总结：这个题你是从左往右算出来的还是从右往左算出来的。
2. 连一连：
x2-y2?????????????? ???y（x-y）
9-25x2?????????????? （3-5x）·（3+5x）
x2+2x+1????????????? （x-y）·（x+y）
xy-y2?????????????? （x+1）2
【解题方法指导】：计算出右边几个整式相乘的积，找出左边与之相等的多项式。这也是检验因式分解是否正确的方法。（这是利用了因式分解与整式乘法的互逆性）
目的：这组跟踪练习题目比较简单，目的在于帮助同学们理解因式分解的概念，并加以巩固，有效的分散难点。
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第七环节：能力提升，拓展思维
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内容：同学们，在掌握了因式分解的概念的基础上，我们要来拓展一下思维，做一组能力提升题。先独立完成1、2两题，如果不会，可以两人一小组进行讨论。最后，分别请两位同学上前面讲台上来讲给大家听。
1.?当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，则ab-ac的值为??????。
2.把x2?- ax+2?因式分解得(x+1)(x+2)，则a的值为?????????。
完成后，做第三题，是一个几何问题。请一位同学上黑板上来板书一下答案。老师最后要强调指出此题要写的是因式分解，等号右边的结果必须是乘积的形式。
3.如图，是由一个正方形和两个小长方形组成的一个大长方形，根据图形，写出一个关于因式分解的等式。
目的：这组跟踪练习题目较前面的题目难度要大，目的在于帮助同学们进一步巩固因式分解的概念。且此组题目的难度比较接近中考的难度，有效的开阔了学生们的眼界和思维。
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第八环节：中考链接
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内容：同学们，因式分解也是中考必考的知识点，一般的以填空和选择题的形式出现，下面我们来看一看近两年的中考是怎么考察的。请同学们先独立完成1——3题，再四人一小组互相订正答案。
前面两个题目比较简单，教师请两个基础比较差的同学来回答问题，并说明原因。第3题难度比较大，请同学上讲台上来给大家进行讲解，这题用到了整体代入的思想方法。
1.（2013，茂名）下列各式由左向右的变形中，属于分解因式的是（?）
????A?a(x+y) = ax+ ay
????B?x2- 4x+ 4 = x (x-4) + 4
???C?10x2- 5x = 5x (2x-1)
???D?x2- 16 + 6x = (x+4)(x-4)+ 6x
2（2014，常德）下面因式分解正确的是（??）
???A?x2+ 2x+ 1 = x (x+2) + 1
???B?(x2?- 4)x = x3- 4x
???C?ax+ bx = x (a+b)
???D?m2- 2mn + n2?= (m+n)2
3.?（2014，连云港）若，，则的值是????????。
最后，我们来见识一下济南的中考原题，体验一下中考。第4题请同学口答，第5题难度系数最大，请同学上讲台上来进行讲解。
4. （2014，济南）分解因式x2+2x+1=????????????。????
5.（2013，济南）已知x2?- 2x - 8= 0,则3x2- 6x -18的值为 (????)。
??A?54?????B 6??????C -10?????D -18?
目的：这组中考题难度不是特别的大，出这组题的目的，一是巩固所学的因式分解的概念，二是开阔学生的眼界，见见中考题，三是给基础比较差的同学鼓鼓劲，中考并不是那么的可怕，提高一下学生的自信心。
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第九环节：学习小结
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内容：同学们，通过这节课的学习，你还有什么疑问吗？提出来，大家可以帮你解决。通过这节课的学习，你有什么收获吗，说出来与大家分享。
知识方面：因式分解的定义，与整式乘法的关系，判断因式分解的易错点。
思想方法方面：类比的思想，数学结合的思想，逆向思维，整体代入的思想。
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第十环节：作业布置
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内容：同学们，今天的课后作业是：
1.课本 P94??习题4.1，完成1-5题
2.运用本节所学知识，自编两道题目，考考你的同位。
课后活动：利用课余时间，运用本节所学知识，自编两道题目，考考你的同位。有疑问的同学可以互相交流、指导，上课或者检测中有问题、有错误的同学改错。
学习效果评测：利用课余时间进行达标检测：
1.判断下列因式分解是否正确。
x2y-xy2= xy (x-y)
2x2-1= (2x+1)(2x-1)
x2+3x+2= (x+1)(x+2)
x2+3x+2= x (x+3)+2
2.（2014，毕节）下面因式分解正确的是（ ）
A 2x2 - 2 = 2 (x+1) (x -1)
B x2+ 2x - 1 = (x -1) 2
C x2 + 1 = (x + 1) 2
D x2 - x + 2 = x (x -1) + 2
3：计算
(1)?87?2?+8713????(2)?1012-99?2
?4.若x=101,y=99 则 x2-2xy?+y?2?=???
课件21张PPT。北京师范大学出版社 初中数学 八年级下册山东省济南第六十八中学执教教师：吕元春§4.1 因 式 分 解1.整式乘法有几种形式?2.乘法公式有哪些?(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式
(3)多项式乘以多项式(1)平方差公式 (2)完全平方公式a(m+n)=_______am+an(a+b)(m+n)=_____________am+an+bm+bn(a+b)(a-b)=_______(a±b)2=___________游戏规则：1、同位两人一组。2、说出一个正整数，并写出它的立方减它
的式子。如：3、不计算出结果，快速说出这个式子能被哪三个正整数整除。4、说的快，并且对的一方获胜。小明是这样想的:993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.能a3-a=a(a+1)(a-1)=a(a2-1) 你能尝试写出“因式分解”的定义吗？类比是一种很重要的思想方法因式分解定义: 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解。例如，ma+mb+mc=m（a+b+c）因式分解也可称为分解因式。想一想: 因式分解与整式乘法有何关系?理解 · 定义整式乘法与因式分解的关系：计算下列各式:
3x(x-1)= _____
(m+4)(m-4)= ____
(y-3)2= _______
a(a+1)(a-1)= ____根据左面的算式填空:
3x2-3x=_______
m2-16=__________
(3) y2-6y+9=______
(4) a3-a=___________
(5)ma+mb+mc
=___________3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 a(a+1)(a-1) ⑸ m(a+b+c) =_________整式乘法因式分解善于辨析：
因式分解与整式乘法
有什么关系?二者是互逆的恒等变形 因式分解整式乘法观察下面拼图过程，写出相应的关系式。mmmabcma+b+c = .m ·（a + b + c）ma+mb+mcxxxx1111x+1x+1 = .x2 + 2x + 1（x + 1 ）2注意数形结合哦归纳总结：因式分解与整式乘法是互逆过程.
因式分解要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式
的乘积的形式.
3.要分解到不能再分解为止.基础闯关 理解概念否否否是否1.下列各式从左到右的变形，是否为因式分解？
⑴ a(a+2b)=a2+2ab
⑵ bx-bx2=bx(1-x)
⑶ X2-2x+1=x(x-2)+1
⑷ 24a2bc=23·a2·3bc
因式分解的结果必须是“积”的形式，因式分解的对象不能是单项式，因式分解的结果中不能出现分式。2.连一连:方法:计算出右边几个整式相乘的积，找出左边与之相等的多项式。这也是检验因式分解是否正确的方法。（互逆性）基础闯关 巩固概念2.把x2 - ax+2 因式分解得(x+1)(x+2)，
则a的值为 。3.14思维拓展1.当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，则ab-ac的值为 。-33.如图，是由一个正方形和两个小长方形组成的一个大长方形，根据图形，写出一个关于因式分解的等式mmnn思维拓展 1.（2013，茂名）下列各式由左向右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A a(x+y) = ax+ ay
B x2- 4x+ 4 = x (x-4) + 4
C 10x2- 5x = 5x (2x-1)
D x2- 16 + 6x = (x+4)(x-4)+ 6xC 2.（2014，常德）下面因式分解正确的是（ ）
A x2+ 2x+ 1 = x (x+2) + 1
B (x2 - 4)x = x3- 4x
C ax+ bx = x (a+b)
D m2- 2mn + n2 = (m+n)2C 3.（2014，连云港）若 ， ，
则 的值是 。
4. （2014，济南）分解因式x2+2x+1= 。
5. （2013，济南）已知x2 - 2x - 8= 0,则
3x2- 6x -18的值为( )。
A 54 B 6 C -10 D -18
B你有什么收获？知识？
思想方法？
感想？问题？我积累我收获1.课本 P94 习题4.1，1-5题2.运用本节所学知识，自编两道题目，考考你的同位。山东省济南第六十八中学录制2015年3月因式分解
第一节因式分解教学设计
济南市历城区柳埠镇第一中学 王云
一、备课标
内容标准：课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。对于本节，在内容标准上没有具体的要求。
（二）数学思想方法,核心概念：教材从因数分解的例子入手，让学生体会因数分解的必要性，继而用字母表示数体现一般化，发展从特殊到一般的思考问题的方法；通过类比数的分解体会因式分解的意义，体会数学知识之间的相互联系，发展学生的类比思想；经历借助拼图解释整式变形的过程，帮助学生从几何的角度理解代数，渗透数形结合思想，体会几何直观的作用；给出因式分解的概念后，再由一般回归特殊，设计一组特例，通过对整式乘法运算与因式分解的对比，充分感受两者之间互为逆过程的关系，发展学生的逆向思维，进一步体会数学知识间的联系；为体会因式分解的意义，在应用环节，借助因式分解将问题转化，简便运算，渗透转化、最优化思想。十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的运算能力、几何直观、应用意识。
二、备重点、难点：
（一）教材分析：
本节是北师版八年级下册第四章因式分解第一节内容。属于“数与代数”领域中（一）数与式中的“整式与分式”。因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是因式分解与整式乘法的相互关系。它是在继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生了解因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下的作用。?
教材整体呈现方式为：首先让学生类比993-99的因数分解，由特殊到一般，用字母表示数，尝试对a3-a进行因式分解，体会因式分解的必要性，感受类比的学习方法，同时，学生会自主运用整式乘法来验证结论的正确性，初步感受因式分解与整式乘法之间的关系；接着用两个拼图问题，以拼图前后的面积不变，让学生从几何角度体会因式分解的意义；借助上述情境进而归纳获得因式分解的概念、意义；在了解因式分解概念的基础上，出示做一做，由一般到特殊，体会因式分解与整式乘法的关系，感受因式分解是否正确可以用整式乘法来验证，直接为后续学习服务；部分习题设计，旨在引导学生体会因式分解、因数分解解决相关问题的简便性，再次感受学习因式分解的必要性。重点旨在经历类比的学习过程，了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。
（二）重点、难点分析：
了解因式分解的意义及其本质属性是学习整章因式分解的关键，由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在七年级整式乘法的较长时间的学习，学生容易造成思维定势，产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。
所以确定：
重点：体会因式分解的意义及因式分解与整式乘法的相互关系
难点：因式分解与整式乘法的相互关系
三．备学情：
（一）学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：因数分解，用字母表示数，整式的乘法运算，借助拼图验证关系式，类比、转化的学习方法，初步的逆向思维能力。
（2）支持性条件：七年级学生已经掌握了整式的乘法运算，已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，会用字母表示数，小学接触过因数分解，具备了用类比、转化学习的能力，成为本节课学习的支持性条件。
2.起点能力分析：具备了一定的类比、转化学习能力；在学习整式的乘法运算、验证勾股定理等中，经历过借助图形面积验证事实的过程；具备初步的逆向思维能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：多数学生利用小学所学解决有关因数分解的问题，对于由因数到因式的过渡，诸如a3-a的分解，大部分学生能类比因数分解，较快地逆用乘法分配律将其转化为a(a2-1)的形式，但对于a2-1的分解，多数学生不会轻易地发现，针对这一问题，采取的策略：教师可在因数分解环节在教材基础上，学生仿例出题，自行解决，教师巧设问题：即在此类问题背景下，两个数因数分解的结果有何特点？供学生观察，学生会很容易发现结论，从分解的结果特点入后，从而帮助学生解决问题,同时，为更好地理解因式分解与整式乘法的关系，做好前后知识衔接，调整第二个拼图内容为平方差公式，由学生比较熟悉的图形验证入手，帮助学生直观理解两者间的关系。
四．教学目标：
1. 经历从因数分解到因式分解的类比过程，能类比因数分解将用字母表示数后的多项式化成几个整式乘积的形式，感受类比的方法。
2、经历用几何图形解释因式分解意义的过程，能借助拼图前后图形面积不变从几何的角度体会因式分解的意义。
3．了解因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解，能借助因式分解解决含简单计算问题。
4.初步体会因式分解与整式乘法的联系，并能借助整式乘法验证、解决有关因式分解的问题，培养学生的逆向思维能力。
五．教学过程：
（一）忆——速算抢答，构建动场
活动一: 速算抢答，并说出你是怎样快速计算的：1、100× +100× 2、10.1×3.3+10.1×2.1+10.1×4.6
由上述运算过程，你有怎样的发现：
学生完成，结合学生计算方法及过程，教师对于不同的解决策略适时加以评价；由此学生发现：为了运算简便，不同的数式特点，我们会选择不同的解决策略。
设计意图: 学习每一种运算都有它的必要性，选择两组有代表的数式进行运算，为方便运算，有时会先积，后和，有时会先和后积，初步感知学习因式分解的必要性。同时，让学生有意识地根据问题背景选择不同的解决策略，顺势提出问题进入第二环节。
（二）探——交流讨论，问题探究
一探：993-99能被99整除吗？为解决这一问题，你是怎样想的？与同伴交 流你的想法？
993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
学生自主探究，对于不同的解决方案，教师适时给予鼓励评价，侧重鼓励学生谈这样解决的想法、思路，分析后明确：解决的整除的问题，关键是把一个数式转化成几个数的积的形式，这里逆用乘法分配律加以转化，教师适时板书：
数式——数的积，提升“转化”、逆用乘法分配律等重要方法、数学信息，问题解决后，教师追问：993-99还能被哪些正整数整除？学生观察后自主解决。
设计意图：复习回顾因数分解，为类比引出因式分解作好铺垫。特定的问题背景，我们的思考方向会有一定的指向，选择较大数的运算，让学生在不同方法的运算过程中体会因数分解在解决该类问题时的优越性，同时，及问题背景自主提出可以解决的问题，培养学生的问题意识。同时，补问环节，引导学生有意识地观察结果，为后续探究作好铺垫。
二探：类比上述问题解决过程，鼓励学生自行设计题目，自主探究：诸如：192-19可以被18整除吗？你是怎样想的？192-19还可以被哪些正整数整除？
学生自主完成，教师适时指导部分学困生。鼓励学生上台展示，并说出自己的想法和发现，让学生在不断说的过程中进一步提炼：类比、转化、逆用乘法分配律、将一个数式化成几个数的积等重要的数学信息。
设计意图：学生自主把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，引导学生继续观察分解的结果，为后续研究a3-a的分解作好铺垫，由于有了第一环节的铺垫，为学生类比因式分解作好准备。此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个数式化为几个整数积的形式．
三猜：出示问题：你能尝试把多项式a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
类比上述探究过程，鼓励学生大胆猜测，尝试完成，多数学生会结合前面的探究，逆用乘法分配律，将其转化为a(a2-1)的形式，对于a2-1的分解，可引导学生一方面结合上面两个数式因数分解的结果，也可以引导学生进一步关注与整式乘法之间的关系。组内学生相互交流探究，分组展示，鼓励学生用第一种方法乘法公式加以验证。对于展示中出现的问题，鼓励学生评价完善。
设计意图：用字母表示数，让学生类比前面两个例子，探究a3-a的分解，由数到式，渗透由特殊到一般的数学思想方法，再次感知因式分解与整式乘法的关系。板书：类比、特殊到一般、互逆
四验：初步感知多项式的因式分解后，我们可以对上述这类的这种变形借助图形加以直观感受：
柳埠一中第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传，我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方形（如图一），观察拼图过程，写出相应的关系式。
设计意图：选择学生身边关心的话题入手，激发学生探究兴趣，同时，让学生在展示的过程中，提炼“两次算、等积法”等重要的数学方法，初步直观感受因式分解这一变形的意义。
再比如：如图：边长为a的正方形，剪去边长为b的小正方形，分别表示拼图前后阴影部分的面积。
鼓励学生自主完成，并上台展示，结合学生的展示，教师适时提升：这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。板书：等积法，两次算。引导学生继续观察学生的板书：a2-b2=(a+b)(a-b),总结发现，将等式两边互换位置，即为前面所学的整式乘法公式：平方差公式。
设计意图：逆用乘法分配律，学生相对比较熟悉，但对于类似于上述a2-1的分解，大部分学生还是比较陌生，逆向思维能力存在差异，为让学生更好地理解这一恒等变形，选择学生比较熟悉的背景加以直观验证。再次体会整式乘法与本节所要学习因式分解间的关系。
追问：在图四拼图过程中，若a=3,b=1,则阴影部分的面积为________，你是怎样想的？
若a=9.8,b=0.2,则阴影部分的面积为________，你又是怎样想的？
学生上台展示思考过程，再次体会因式分解的意义，及引入因式分解的必要性。
（三）悟——自主发现，感悟提升
结合板书，观察上述结论，
a3-a=a(a+1)(a-1)；a2-b2=(a+b)(a-b)；ma+mb+mc=m(a+b+c),你有怎样的发现？
鼓励学生从不同的角度谈自己的发现，师生共同得出因式分解的概念，教师适时评价板书，播放微视频，了解因式分解的定义。为更深入理解因式分解与整式乘法的关系，为后续学习因式分解方法作好铺垫，出示三组活动：
一辨：
下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？
24x2y=4x·6xy (2)m2-4=(m+2)(m-2)
a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r)
x+1=x(1+ ) （6）(a+3)(a-3)=a2-9
补充提问：从右到左的变形呢？鼓励学生尝试举出因式分解的例子。
设计意图：一方面，因式分解与整式乘法互为逆变形，同时，可以借助整式乘法来验证因式分解，借助学生的分析引导学生明白：因式分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.（本节特别关注前两条，第三条可在后续学习中继续深化理解）
二算：
计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b-1)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ；
根据上面的算式进行因式分解：
（1）3x2-3x= ；（2）ma+mb-m= ;
（3）m2-16= ；（4）y2-6y+9= ．
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明
设计意图：通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式。由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力，充分理解因式分解与整式乘法之间的关系，体会数学知识间的联系。
（四）拓——综合建模，盘点收获
拓展提升：若关于x二次三项式x2+mx+n可分解为(x+1)2，则m=_____,n=_____
先由学生独立完成，教师巡回指导，若有困难，组内交流讨论，学生上台讲解展示，其他学生补充完善。
三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,求ab-ac的值。
学生自主完成，部分学困生可能还会停留在选择代数求值，鼓励其大胆展示，不同层次学生参与展示，不同的解题策略，引导学生意识到利用因式分解在部分计算中可以简便运算，再次感悟学习因式分解的必要性。
在此基础上，学生畅谈本节课的所得所获：
本节课，你收获了哪些重要的知识？领会到哪些重要的数学思想、方法？在问题解决过程中还存有哪些疑惑？
关注不同层次的学生发言，让不同的学生在数学学习中的不同发展。教师及小组、学生及时总结评价本节课小组活动情况。 鼓励学生畅所欲言，谈自己本节课的所得所获，教师适时评价提升，因式分解有哪些方法？下一节课及今后的学习中，我们将继续探寻因式分解与整式乘法间的奥秘。
设计意图：进一步体会因式分解与整式乘法的关系：两者即为等式的恒等变形。梳理本节所得、所获，充分发挥学生的主体地位，从学习知识、方法等多个方面进行归纳．培养学生及时归纳总结、质疑反思的能力．
评-——达标检测，评价反馈
当堂检测：
1、看谁连得准
①x2-y2 ⑤ (x+3)2
②9-25 x 2 ⑥y(x -y)
③x2+6x+9 ⑦ (3-5 x)(3+5 x)
④xy-y2 ⑧ (x+y)(x-y)
2、下列哪些变形是因式分解，为什么？
A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16x+6x=(x+4)(x-4)+6x
3、观察下面拼图过程，写出相应的关系式
B级：
4、已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x-3)(x+1),则b=___c=___
学生独立完成，第四题由学生自主选择，师生共同评价。
作业布置：
（1）巩固性作业：课本习题4.1 1，2，3
（2）提高性作业：课本习题4.1 5
（3）实践类：4.1 4
设计意图：围绕教学目标达成，分层设计当堂测试题及作业，关注不同学生在数学学习上得以不同的发展。
板书设计：
第四章 因式分解
§4.1 因式分解
4.1 《因式分解》教学设计
学习目标：
知识与技能：
（1）了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
（2）初步体会因式分解与整式乘法的联系，感受因式分解在解决相关问题中的作用．
过程与方法：
（1）经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法。
（2）经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观。
情感与态度：
（1）培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
（2）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
（3）让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．
重点：因式分解的意义
难点：因式分解与整式乘法的关系
教学过程：
第一环节 复习回顾：
计算：
设计目的：对学生来说，用简便方法进行计算相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍。
第二环节 类比探究：
1、能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流.
设计目的：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备．
2、探究
你能尝试把化成几个整式的乘积的形式吗？
设计目的：这一环节让学生类比分解的方法分解，先将分解成，然后类比前面的做法，猜想得到还可以分解为，并鼓励学生用乘法公式加以验证。
3、
设计目的：以拼图前后面积不变的方式，丰富学生对因式分解的理解，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，有助于发展学生的几何直观，对学生的思维发展具有实际价值。
第三环节 讲授概念
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也可称为分解因式。
注意事项：因式分解要求：（1）分解的结果要以积的形式表示。（2）每个因式必须是整式，切每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；（3）必须分解到每个多项式不能再分解为止。
辨一辨 下列从左到右的变形中，是因式分解的是_______
第四环节 做一做
想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明。
设计目的：通过两组填空练习，意在让学生更进一步理解因式分解与整式乘法的关系，感受因式分解是否正确可以用整式乘法来检验。
第五环节 随堂练习
1、下列由左到右的变形哪些是因式分解？哪些是整式乘法？
2、检验下列因式分解是否正确
第六环节
课堂小结： 本节课你有哪些收获？
布置作业：（分层布置）
习题4.1 A组.1、2、3、4、5
B组.1、2、3、4
C组.1、2、3
课件18张PPT。 4.1 因式分解探究活动1：计算：探究活动2：议一议：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。定义：下列从左到右的变形中，是因式分解的是_______（4）辨一辨：做一做：做一做：想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？多项式的因式分解与整式乘法互为逆变形过程 下列由左到右的变形哪些是因式分解？哪些是整式乘法？辨一辨：整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解因式分解检验下列因式分解是否正确做一做：√√×××连一连小结：谈谈你有什么收获？ 1.下列由左到右的变形哪些是因式分解？检测 2.连一连3.因式分解（一）因式分解因式分解 再见
