北师大版初中数学教材八年级下册教学设计第四章第三节
《公式法》
第一课时
教师姓名：张爱香
山东省济南市平阴县第二中学
【课题】 第三节 公式法（1）
课标内容
能灵活运用平方差公式进行因式分解
课标分解
教学目标
【知识与技能】
通过（a+b)（a-b)=a2-b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展我们的逆向思维和推理能力。
2、通过学习，学生能够灵活运用提公因式法和平方差公式因式分解（直接运用公式不超过两次）并且分解彻底.
【过程与方法】
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．
【情感态度与价值观】
在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
教材分析
本节课是提公因式法后运用公式法的第一课时——用平方差公式法分解因式。它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，它是解高次方程的基础，在教材中具有重要的地位。在教材的处理上以学生的自主探索为主，在原有用平方差公式进行整式乘法计算的知识的基础上充分认识分解因式。明确因式分解是乘法公式的一种恒等变形，让学生学会合情推理的能力，同时也培养了学生爱思考，善于交流的良好学习惯。
教学重难点分析
【教学重点】
会用平方差公式进行因式分解
【教学难点】
准确理解和掌握公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行因式分解。
【突破方法】
教师引导，学生自主探索与小组合作交流法
教学建议
1、 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
2 、有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．
3、保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练。
探究活动设计
本节教学共设计了三大探究活动：一是整式乘法中的平方差公式进行逆向运用的探究；二是平方差公式的结构特点；三是层层探究怎样灵活运用平方差公式进行因式分解
【探究活动一】
观察与思考
这组因式分解的式子，左边有什么共同特征？右边有什么共同特征？你能用语言描述一下吗？
探究步骤：
学生先独立探究；
学生分组讨论探究的结果；
师生共同归纳发现的结论
预期效果：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
【探究活动二】
观察公式的结构特点，思考
下列多项式能用平方差公式因式分解吗？若能，可以看成哪两个数或式的平方差？若不能，说说你的理由。
探究目的：让学生更好地理解公式的结构特点，以便下一步能更好的应用公式。
探究步骤：
学生先独立观察
学生小组交流讨论
师生共同通过实例归纳概括
【探究活动三】
在典例的引领下，引导学生探究
平方差公式中的a，b的意义
利用平方差公式进行因式分解的一般步骤
探究目的：通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解。例题及练习呈现的次序尽量本着由简入难螺旋上升的原则。让学生更好地掌握平方差公式分解因式的方法
探究步骤：
教师先引导学生学习例题的解题方法
教师放手学生，让学生自己通过例题1，2探究总结平方差公式中的a，b的意义
教师先点拨，然后学生小组探究例题3，总结归纳利用平方差公式进行因式分解的一般步骤
教学案例设计
本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
本节课主要设计了三处探究活动，目的是既能让学生充分的体会到知识的前后联系，又能让学生通过亲身体验体会到知识的来龙去脉，还能让学生能够从错误中吸取教训，从错误中积累经验。
教学过程设计
教学环节
教学过程
学生活动
设计意图
(一)
创设情境，
导入新课
观察与思考:
多项式 x2-25，9x2-y2，
它们能否用提取公因式法来因式分解？----由此导入新课，我们所学知识不满足我们的需要，因此要学习新的知识----《公式法》
观察与思考:
回忆提公因式法
由此学生感受到学习新课的必要性
(二)
教师点拨，新知探究
多项式 x2-25，9x2-y2，它们有怎样的共同特征，这个共同特征让我们想到了什么公式？运用这个公式我们可以发现 x2-25，9x2-y2，分别可以看做哪两个整式的积？由此得到三个因式分解的式子：
a2-b2=(a+b)(a-b)
x2-52=(x+5)(x-5)
9x2-y2=(3x+y)(3x-y)
这组因式分解的式子，左边有什么共同特征？右边有什么共同特征？你能用语言描述一下吗？
观察公式的左右两边思考一下：什么样的多项式可以运用平方差公式来因式分解？（学生小组交流各自的看法）
进一步解决：下列多项式能用平方差公式因式分解吗？若能，可以看成哪两个数或式的平方差？若不能，说说你的理由。
在教师引导下，体会平方差公式的推导：整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，并由此观察总结平方差公式的结构特点
通过不同的多项式进一步巩固学生对特征的理解
学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
总结归纳
可以用平方差公式分解因式的多项式应具备下列特征
(三)
典例引领，层层探究
例1 将下列多项式分解因式
25-16x2
快速热身：
通过例1的学习引导学生初步认识到运用平方差公式分解因式的实质是找准公式中的a和b
通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解。
例题及练习呈现的次序尽量本着由简入难螺旋上升的原则。
例2 将下列多项式分解因式
引导学生归纳
挑战一下：把下列各式分解因式
学生先尝试完成，再组内互帮，最后师生共同完成解题步骤
例题2中渗透整体换元思想，引导学生认识到平方差公式中的a，b还可以是多项式
例3 将下列多项式分解因式
再次挑战：把下列各式分解因式
思考一下：分解因式的一般步骤？(小组交流)
归纳概括：分解因式时,一提二运三检查，分解结果要彻底！
要放手让学生先独立做，让他们在错误中成长，并通过错题总结归纳因式分解的一般步骤
让学生明白分解因式的结果必须彻底，从而总结因式分解的一般步骤。
(四)
应用新知，联系拓广
限时10秒计算！
（1）412-402 （2)99.82-0.22
同位互相出题,积极做题并主动检查同位的做题情况
利用短时训练培养学生的快速思考问题的能力和综合应用知识解决问题的能力
（五）
课堂小结，回扣目标
（1）本节学习了哪些知识？这节内容的学习与前面的哪一乘法公式有关系？是怎样的关系？
（2）多项式具备什么特征可以应用平方差公式分解因式？
（3）因式分解的一般步骤是什么？
学生先小组回顾，然后师生共同回忆知识点
2、小组交流，看一下目标的达成度
回忆本节课所学，对本节课有一个整体条理的知识体系，并且回扣目标，检验学生的目标达成度。
（六）当堂检测
1.选择题：
（1)在多项式x2+y2, x2-y2 ,-x2+y2, -x2-y2中,能利用平方差公式分解的是( )
A .1个 B.2个 C.3个D.4个
（2）4a2-1分解因式的结果应是 （ ）A.(4a+1)(4a-1) B.( 2a-1)(2a-1)
C.(2a+1)(-2a+1)
D.(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
（1） -9x2+4y2 （3）18-2b2
（2)9（x+y）2-4y2
学生独立完成，检查自己本节课的学习情况
及时的当堂检测，能督促学生养成认真的学习习惯
布置作业
A组 课本P100 1（1）---（6）
2（1）（3）（5）（6）
B组 课本P100 1（1）---（5）
2（1）--（3）
C组 课本P100 1（1）---（4）
2（1）--（3）
学生及时记录
分层次布置作业可以有效地提高学生的积极性和自信心
结束语：通过这节课的学习，我们认识到了平方差公式分解因式的优越性，今后的学习中还会运用它来解决更多的数学问题，大家期待着吧！
【板书设计】
公式法（1）
----平方差公式
a2-b2=（a+b）（a-b）
特征：
二项式
平方
差（一正一负）
例题1-----例题3
小组展示
【课堂评价】
本节教学较为成功的做法：
1、本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
2、本节课主要设计了三处探究活动，目的是既能让学生充分的体会到知识的前后联系，又能让学生通过亲身体验体会到知识的来龙去脉，还能让学生能够从错误中吸取教训，从错误中积累经验。
3、在教学中充分发挥小组之间的互助作用和教学评价的导向作用，以学习评价促进学生的发展。在本节教学中，我主要通过学生自评、互评与教师评价相结合的方式对学生的学习加以评价：
学生课堂学习过程中的自我过评价表
年级： 学生姓名： 时间：
评价内容
评价标准
评价级别
优
良好
一般
新课导入
a、学习状态饱满，注意力集中
b、能够运用旧知（情境）获得探究新知的兴趣
探究新知
a、积极发表见解，主动提出问题，思维有条理性。
b、见解和问题有独创性和挑战性。
c、学习中既有紧张感又有愉悦感，获得积极情感体验。
典例分析
a、做题过程规范工整，准确率高
b、不理解的问题能够及时的请教老师
c、能自我控制，注意调节学习情绪。
总体评价
优（30-20）（ ） 良好（20-10）（ ） 一般（10-5 ）（ ）
（2）教师对学生进行及时性的口头评价。
在整个教学过程中，对于“学生是否有浓厚的学习兴趣，是否能主动地参与学习，是否能在教师指导下自主学习课本容，是否能认真听讲，在课堂中是否能积极发言”等方面适时适度地对学生进行表扬，可以起到激励与促进的作用，让学生能在教师的评价中获得自信，体验到成功。
评测练习
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) ( )
（2）x2–y2=（x+y）(x–y) ( )
（3）–x2+y2=–（x+y）(x–y) ( )
（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y) ( )
2.选择题：
（1)在多项式x2+y2, x2-y2 ,-x2+y2, -x2-y2中,能利用平方差公式分解的是( )A 1个 B2个 C3个 D4个
（2）4a2-1分解因式的结果应是 （ ）
A .(4a+1)(4a-1) B. ( 2a –1)(2a –1)
C.(2a+1)(-2a+1) D. (2a+1) (2a-1)
3. 把下列各式分解因式：
（1） -9x2+4y2 （2)9（x+y）2-4y2 （3）18-2b2
4、如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？
课件20张PPT。 义务教育课程教科书北师大版八年级下册第四章
3、 公式法 （1）
平方差公式观察多项式
x2-25，9x2-y2，
它们能否用提取公因式法来因式分解？（3） =______________（1） =______________（2） =______________ 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．平方差公式 可以用平方差公式分解因式的多项式应具备的特征：观察公式的左右两边思考：什么样的多项式可以运用平方差公式来因式分解？（1）二项式；（2）每一项都可以写成平方的形式；（3）两项的符号相反：一正一负。下列多项式能用平方差公式因式分解吗？若能，可以看成哪两个数或式的平方差？若不能，说说你的理由。√××√√(2)(5)(7)×√√例1 将下列多项式分解因式 25 - 16x2 = a2 - b2 = ( a + b) ( a - b ) 52 -（4x）2=( 5 + 4x)( 5 - 4x) 利用平方差公式把下列各式分解因式 例2 将下列多项式分解因式 （1）公式中的a , b可以是单项式，也可以是多项式。
（2）分解因式时，每个因式都要分解彻底（即分解到不能再分解为止）
把各式分解因式挑战一下：例3 将下列多项式分解因式再次挑战：分解因式分解因式时,如果多项式中
（1）有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底；思考一下：分解因式的一般步骤？（2）没有公因式可提，如果具备了平方差公式的结构特点就考虑运用平方差公式来分解
（3）及时检查，保证每个因式都要分解彻底（即分解到不能再分解为止）
限时10秒计算！
412-402 2) 99.82-0.22挑战极限！（1）本节学习了哪些知识？这节内容的学习与前面的哪一乘法公式有关系？是怎样的关系？（2）多项式具备什么特征可以应用平方差公式分解因式？（3）因式分解的一般步骤是什么？一提二运三检查，分解结果要彻底！学习目标
1、经历通过（a+b)（a-b)=a2-b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展我们的逆向思维和推理能力。
2、通过学习，我们能够灵活运用提公因式法和平方差公式因式分解（直接运用公式不超过两次）并且分解彻底.
3、通过学习，进一步培养我们观察分析问题的能力, 渗透“整体”“换元”的数学思想和方法.
1.选择题：
（1)在多项式x2+y2, x2-y2 ,-x2+y2, -x2-y2中,能利用平方差公式分解的是( )
A .1个 B.2个 C.3个 D.4个
（2）4a2-1分解因式的结果应是 （ ）
(4a+1)(4a-1) B.( 2a –1)(2a –1)
(2a+1)(-2a+1) D.(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
（1） -9x2+4y2 （2)9（x+y）2-4y2 （3）18-2b2
A组 课本P100 1（1）---（6）
2（1）（3）（5）（6）
B组 课本P100 1（1）---（5）
2（1）--（3）
C组 课本P100 1（1）---（4）
2（1）--（3）
祝大家学习进步！!
开心快乐！!
