4.1 《因式分解》评测练习
看谁连得准
x2-y2 . (x+3)2
9-25 x 2 y(x -y)
+6x+9 (3-5x)(3+5x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
求代数式的值
当a= 3.14，b= 2.386，c=1.386，求ab–ac的值。
解: ab-ac=a(b-c)
当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386)=3.14
3、若x2+mx+n能分解成(x-2)(x-5),则 m= , n= 。
4.1 《因式分解》教学设计
山东省济南稼轩学校 王玉红
一、教材分析
因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．
本节是因式分解的第1节，占一个课时，它主要让学生经历从乘法运算到分解因式的过程，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用。从分解因数到分解因式的过程，让学生体会类比的数学思想。
二、学情分析
学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下良好基础．由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。
三、教学目标
1、知识与技能：
?（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
?（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
2、数学能力：
（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．
（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
3、情感与态度：
让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．
四、教学重点和难点
重点：?理解因式分解的概念，认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系
难点： 运用因式分解与整式乘法的互逆关系寻求因式分解的方法．
?五、教学过程
(一)生活问题，以趣激情。
【生活小知识】播放视频。
酸奶中的乳酸杆菌是一群益于人体健康的微生物，它能维护人体健康和调节免疫功能。活性乳酸杆菌在0℃～7℃的环境中存活是静止的，但随着环境温度的升高乳酸菌会快速死亡。
每升酸奶在0℃～ 7℃时含有活性乳酸杆菌220 个，到10℃时活性乳酸杆菌死亡了217 个，到12℃时又死亡了219 个，那么此时活性乳酸杆菌还剩多少个？你的列式是 。
设计意图：从实际生活引入，体现了数学知识源于生活。留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望。设置悬念，对本节课的学习也创设了良好的情绪状态。
(二)以旧探新，得出概念
1、看谁算得快
993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。让学生说出每一步的依据。
从以上问题的解决中，引导学生思考总结：
a (b+c)= ac+bc ac+bc = a (b+c)
(a+b)(a-b) = a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
(3) 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
用a表示任意一个大于1的整数，则变成，你能类比993-99的因数分解的方法，尝试将下面的两个式子化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
①你能说出每一步怎么变形的吗？
②这样的变形有什么意义？
设计意图：类比因数分解学生能获得解决问题的方法---把数式化成几个数的积的形式是解决这类问题的关键，通过巧妙设问---由数到字母，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过渡到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识。
在新的情境中，诱导学生的经验重组和提升，有利于提高学生对新知识、新方法的接受水平。从旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律。由浅入深，由表及里，逐渐深化。
(4)
设计意图：用拼图前后面积不变解释因式分解的意义，丰富其对因式分解的理解开，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，有助于发展学生的几何直观，。
2、对比观察，发现特点：
①乘法公式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？逆过来呢？
②以上两个式子的变形，它们之间有什么区别和联系？
整式乘法的特点：由整式积的形式转化成多项式的形式。
右边运算的特点：由多项式的形式转化成整式的积的形式。
结论：这两种运算互为逆变形。
3、类比归纳，得出概念
类比小学学过的因数分解的概念：
①你能给刚才的运算起个名字吗？
②你能给因式分解下个定义吗？
板书课题：4.1 因式分解
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。
设计意图：通过对比教学，提高学生对因式分解的认知水平，了解整式乘法与因式分解是互逆的关系。通过具体数的分解这一类比教学，产生正迁移，认识新概念，符合学生概念形成的认知规律，在此基础上引出课题——因式分解。同时使学生在探索中增强观察、发现、归纳等能力。
(三)初步应用，巩固新知
1.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？
（1） 3(x+2)=3x+6
（2） ma+mb+mc=m(a+b+c)
（3） x2 +1=x(x+)
（4） y2+x2-4=y2+(x-2)(x+2)
（5） 18a3bc=3a2b·6ac
（6）m3-4m = m( m2-4)
2.写出一个多项式，并尝试着将它因式分解。把结果与你的同伴交流。
设计意图：学生出题热情、积极性高，因而能激发学生学习兴趣，激活学生的思维。同时让学生感受到因式分解是整式乘法的逆过程，由此寻求因式分解的方法，为下一个环节例题的讲解作了个铺垫，降低了本节课的难点。
通过上面的练习，你对因式分解有怎样理解？
（1）分解的对象必须是多项式；
（2）因式分解的结果是几个整式的积的形式；
（3）多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形.
（4）要分解到不能分解为止.
设计意图：针对学生易犯的错误，制造认知冲突，让学生充分暴露错误，然后通过分析、讨论，有助于学生对因式分解的概念有更深层次的理解。
(四)范例教学，深化理解
1、计算下列各式：
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b-1)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ；
（4）（y-3）2= ；
根据上面的算式进行因式分解：
（1）3x2-3x= ；
（2）ma+mb-m= ;
（3）m2-16= ；
（4）y2-6y+9= ．
3、你能解决本节课引入时提出的问题了吗？
220－217－219 =217×23－217×1－217×22 =217 (23－1－22) =217 (8－1－4) =3×217
设计意图：通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
(五)反馈练习，拓展提高
看谁连得准
x2-y2 . (x+3)2
9-25 x 2 y(x -y)
+6x+9 (3-5 x)(3+5 x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
求代数式的值
当a= 3.14，b= 2.386，c=1.386，求ab–ac的值。
解: ab-ac=a(b-c)
当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386)=3.14
3、若x2+mx+n能分解成(x-2)(x-5),则 m= , n= 。
设计意图：通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出新概念的本质属性，加深对新概念的掌握。
(六)知识整理，归纳小结
1、本节课你学到了哪些知识？
2、通过本节课的学习，你掌握了哪些解决问题的方法？
设计意图：课堂小结交给学生，让学生总结本节课中概念的发现过程，运用概念分析问题的过程，养成学生学习——总结——学习的良好习惯。唯有总结反思，才能控制思维操作，才能促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环。
(七)布置作业，巩固提高?????????
1. 必做题：课本P93页课堂练习.
2. 兴趣题：手工课上，老师给同学们发了三种纸片若干，请你将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式2a2+3ab+b2 因式分解。
设计意图：针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既让学生巩固知识，形成技能，
又使学有余力的学生得到更好的发展，并为下节课因式分解方法的学习做好准备．
课件17张PPT。北师大版义务教育教科书八年级下册4.1 因式分解济南稼轩学校 王玉红一、生活问题，以趣激情。 每升酸奶在0℃～ 7℃时含有活性乳酸杆菌220 个，到10℃时活性乳酸杆菌死亡了217 个，到12℃时又死亡了219 个，那么此时活性乳酸杆菌还剩多少个？你的列式是 。 220－217－219 【你知道吗？】酸奶中的乳酸
杆菌是一群益于人体健康的微
生物，它能维护人体健康和调
节免疫功能。活性乳酸杆菌在0℃～7℃的环境中存活是静止
的，但随着环境温度的升高乳
酸菌会快速死亡。二、以旧探新，得出概念1、看谁算得快(1) 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？所以993-99能被100整除。二、以旧探新，得出概念②平方差公式从以上问题的解决中，我们可以得到 ：(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)二、以旧探新，得出概念(2) 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗? 用a表示任意一个大于1的整数，则变成 ，你能类比993-99的因数分解的方法，尝试将下面的两个式子化成几个整式的乘积的形式吗？①你能说出每一步怎么变形的吗？
②这样的变形有什么意义？=a(a+1)(a-1)=a(a2-1)=(x+1-1)2=x2(逆用完全平方公式)二、以旧探新，得出概念(4)做一做二、以旧探新，得出概念2、对比观察，发现特点：①乘法公式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？逆过来呢？
②以上两种运算，它们之间有什么区别和联系？ 乘法公式
① a(b+c)= ab+ac ab+ac = a(b+c)
②(a±b)2=a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2
③(a+b)(a-b) = a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3- a = a(a+1)(a-1)
(x+1)2-2(x+1)+1= x2
ma+mb+mc= m(a+b+c)
x2+2x+1=(x+1)2二、以旧探新，得出概念 乘法公式
① a(b+c)= ab+ac ab+ac = a(b+c)
②(a±b)2=a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2
③(a+b)(a-b) = a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
a3- a = a(a+1)(a-1)
(x+1)2-2(x+1)+1= x2
ma+mb+mc= m(a+b+c)
x2+2x+1=(x+1)2右边运算的特点：由多项式的形式转化成整式的积的形式。 整式乘法的特点：由整式积的形式转化成多项式的形式。结论：这两种运算互为逆变形。 二、以旧探新，得出概念3、类比归纳，得出概念类比因数分解：
①你能给右边的运算起个名字吗？②你能给因式分解下个定义吗？ 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。(1)993-99 = 99×992－99×1
= 99（992－1）
= 99（99+1）（99-1）
= 99×100×98① ab+ac = a(b+c)
②a2±2ab+b2=(a±b)2
③a2-b2=(a+b)(a-b)因数分解因式分解a3- a = a(a+1)(a-1)
(x+1)2-2(x+1)+1= x2
ma+mb+mc= m(a+b+c)
x2+2x+1=(x+1)2三、初步应用，巩固新知1.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？
哪些不是因式分解？为什么？ （1） 3(x+2)=3x+6
（2） ma+mb+mc=m(a+b+c)
（3） x2 +1=x(x+ )（4） y2+x2-4=y2+(x-2)(x+2)
（5） 18a3bc=3a2b·6ac
（6） m3-4m = m(m2-4)三、初步应用，巩固新知 2.写出一个多项式，并尝试着将它因式分解。
把结果与你的同伴交流。三、初步应用，巩固新知（1）分解的对象必须是多项式；
（2）因式分解的结果是几个整式的积的形式；
（3）多项式分解因式与整式乘法是方向相反的
两种恒等变形.
（4）要分解到不能分解为止. 通过上面的练习，你对因式分解有怎样理解？四、范例教学，深化理解1、计算下列各式：
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b-1)= ；
（3）（m+4)(m-4)= ；
（4）(y-3)2= ；
根据上面的算式进行因式分解：
（1）3x2-3x= ；
（2）ma+mb-m= ;
（3）m2-16= ；
（4）y2-6y+9= ．四、范例教学，深化理解2、你能解决本节课引入时提出的问题了吗？220－217－219 =217×23－217×1－217×22 =217(23－1－22) =217(8－1－4)
=3×217五、反馈练习，拓展提高1、看谁连得准
x2-y2 (x+3)2
9-25x2 y(x -y)
x2 +6x+9 (3-5x)(3+5x)
xy-y2 (x+y)(x-y)2、求代数式的值
当a= 3.14，b= 2.386，c=1.386，求ab–ac的值。解: ab-ac=a(b-c)
当a=3.14, b=2.386, c=1.386时,
原式=3.14×(2.386-1.386)=3.143、若x2+mx+n能分解成(x-2)(x-5),则 m= , n= 。六、 知识整理，归纳小结1、本节课你学到了哪些知识？
2、通过本节课的学习，你掌握了哪些解决
问题的方法？七、布置作业，巩固提高1. 必做题：课本P93页课堂练习.
2. 兴趣题：手工课上，老师给同学们发了三种纸片若干，请你将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式2a2+3ab+b2 因式分解。
