2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是( )
A. ， B. ，
C. ，， D. ，，
3.的展开式中的常数项是( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为，公共底面的半径为，铜鼓总高度为已知青铜的密度约为，现有青铜材料，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为注：( )
A. B. C. D.
5.已知定义在上的函数满足为的导函数，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为，直线：，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
8.如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转若平面满足直线与所成的角为，直线
，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为参考数据：，
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立，两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，组偏向于智能自动化方向，组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取台进行性能指标测试，测得组性能得分为：，，，，，，组性能得分为：，，，，，，则( )
A. 组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高
B. 组性能得分的中位数比组性能得分的中位数小
C. 组性能得分的极差比组性能得分的极差大
D. 组性能得分的第百分位数比组性能得分的平均数大
10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜劈，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个截面椭圆的长轴，且，，，都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，则能够保证的，的值可以是( )
A. ， B.
C. D. ，
11.对于任意实数，，定义运算“”，则满足条件的实数，，的值可能为( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数对应的点为，则 ______．
13.写出一个同时满足下列条件的数列的通项公式 ______．
是常数，，且；
；
的前项和存在最小值．
14.清代数学家明安图所著割圆密率捷法中比西方更早提到了“卡特兰数”以比利时数学家欧仁查理卡特兰的名字命名有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方不能穿过，但可以到达该连线，则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有______种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有______种不同的走法．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为，为坐标原点，的重心为．
求点的轨迹方程；
记中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于、两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程．
16.本小题分
如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，是的中点．
已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹写出解题过程；
点是圆上的一点不同于，，，求平面与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有名，器乐班的学生有名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．
声乐班的学生全部进行测试若声乐班每名学生通过测试的概率都为，设声乐班的学生中恰有名通过测试的概率为，求的极大值点．
器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试若器乐班的学生中有人学习钢琴，有人学习小提琴，有人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取人，再从抽取的人中随机抽取人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望．
18.本小题分
已知数列为等比数列，为等差数列，且，，．
求，的通项公式；
数列的前项和为，集合共有个元素，求实数的取值范围；
若数列中，，，求证：．
19.本小题分
设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交设为全体由和构成的元数组对应的向量的集合．
若，写出一个向量，使得．
令若，证明：为偶数．
若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：设，，
此时，
因为点为的重心，
所以，，
即，，
因为点在圆上，
所以，
整理得，
因为，
所以，
则点的轨迹方程为；
因为点为的垂心，
所以，，
又，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
即，
所以，
整理得，
解得或舍去，
当时，满足．
故直线的方程为．
16.解：因为是的中点，所以．
要满足平面，需满足，
又因为平面，所以平面平面，
如图，过作下底面的垂线交下底面于点，
过作的平行线，交圆于，，则线段即点的轨迹．
易知垂直于底面，所以可以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为母线长为，母线与底面所成角为，，所以，，，
取的位置如图所示，连接，
因为，所以，即，
则，，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以．
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以．
设平面与平面所成的角为，
则，
所以，即平面与平面所成角的正弦值为．
17.解：名学生中恰有名通过测试的概率，
则，，
令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故的极大值点．
利用分层随机抽样的方法从名学生中抽取名，
则名学生中学习钢琴的有名，学习小提琴的有名，学习电子琴的有名，
所以的所有可能取值为，，，，
，，
，，
则随机变量的分布列为：
．
18.解：设数列公比的为，数列公差的为，
则由，，
，
又，即，，
，
即，；
设，
则
，
，
，
令，
则
，
可得，
故当时，最大，
因为集合共有个元素，
且，，
即的取值范围为；
证明：由题可得，
当时，
，
当时，也满足上式，
，
故原不等式成立．
19.解：由定义，若与向量满足．
只需满足，
取即可满足，
故，答案不唯一；
证明：对于，，，，，
存在，，，，使得，
当时，；当时，，
令，，
所以，
所以为偶数；
当时，可猜测互相正交的维向量最多有个，即，
不妨取，，，，
则有，，，，，，
若存在，使，则或或，
当时，；
当时，，
当时，；
故找不到第个向量与已知的个向量互相正交．
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