2024-2025学年广东省揭阳市普宁市勤建学校高三（上）第一次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省揭阳市普宁市勤建学校高三（上）第一次调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知是定义在上的奇函数，当时，则( )
A. B. C. D.
4.函数的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
5.设函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足对任意，，当时都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则满足的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知，是正数，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知函数的定义域为，则( )
A. 若，则是上的单调递增函数
B. 若，则是奇函数
C. 若，且，则
D. 若，则是奇函数或是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为______．
13.若为偶函数，则实数 ______．
14.若实数，，，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若存在正实数，使得“”是“”成立的_____，求正实数的取值范围．
从“充分不必要条件，必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，且．
求的通项公式；
已知，求数列的前项和．
17.本小题分
在中，设角，，所对的边分别为，，，且满足．
求证：；
求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知二次函数的图象经过点，且，方程有两个相等的实根．
求的解析式；
设，
判断函数的单调性，并证明；
已知，求函数的最小值．
参考答案
1.
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4.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，集合，
集合，则；
集合，
选：若“”是“”成立的充分不必要条件，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
选：若“”是“”成立的必要不充分条件，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
16.解：，则有：
当时，，解得；
当时，则，
两式相减得，即；
注意到，，故，
是首项为，公比为的等比数列，
故．
由得，
当为偶数时，
；
当为奇数时；
综上所述：．
17.证明：在中，由已知及余弦定理，得，
即，
由正弦定理，得，又，
故．
，，
，，故C．
解：由得，，，
由，得
，
当且仅当时等号成立，
所以当时，的最小值为．
18.解：当时，，，
故切线的斜率，又，切点为，
切线方程为，化简得．
法：当时，恒成立，故，
也就是，即，
由得，令，
则，
令，则，
可知在单调递增，则，即在恒成立，
故在单调递增，所以，故在恒成立，
所以在单调递增，而，所以，故，
即实数的取值范围是．
法：因为当时，恒成立，故，
由，
令，得或，
当，即时，在上恒成立，在上单调递减，
，不合题意，合题意．
当，即时，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
设，则恒成立，在上单调递减，
故，即，合题意．
综上，，即实数的取值范围是．
法：因为当时，恒成立，也就是，
即恒成立，令，，
令，，，，恒成立，
在上单调递增．．
当，即时，，在上单调递增，，合题意；
当，即时，，
因为，，
存在，使得，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，不合题意．
综上，，即实数的取值范围是．
19.解：设，则，
由得，
化简得恒成立，则，即，
因为方程有两个相等实根，即有两个相等实根，
所以，
可得，．
．
，
在单调递减，在单调递增．
证明：任取，则
当时，，，则，在单调递增；
当时，，，则，在单调递减．
因此在单调递减，在单调递增．
令，则．
因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以．
设，，
当时，，在上单调递增，，
当时，，
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，
所以在上单调递增，，
综上，．
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