2024-2025学年河北省唐山市高三（上）摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省唐山市高三（上）摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.若是奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数则的值域为( )
A. B. C. D.
6.若锐角满足，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.若有且仅有一个使得数取得最小值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知半径为的球可以整体放入圆锥容器容器壁厚度忽略不计内，则该圆锥容器容积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 样本数据：，，，，，，，的方差为
D. 已知，，且与独立，则
10.已知，函数，则( )
A. 对任意，总存在零点
B. 当时，是的极值点
C. 当时，曲线与轴相切
D. 对任意，在区间上单调递增
11.已知双曲线：与直线：有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点，当运动时，下面说法正确的有( )
A. 或 B. 记点，则点在曲线上
C. 直线与两渐近线所围成的面积为定值 D. 记点，则点的轨迹为椭圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若为等腰三角形，则的离心率为______．
14.在正八面体中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为______；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，，．
求；
若为锐角，边上的高为，求的周长．
16.本小题分
在直三棱柱中，，，，是的重心，点在线段不包括两个端点上．
若为的中点，证明：平面；
若直线与平面所成的角正弦值为，求．
17.本小题分
已知为抛物线：上一点，经过点且斜率为的直线与的另一个交点为，与垂直的直线与的另一交点为．
若直线经过的焦点，求直线的方程；
若直线与直线关于对称，求的面积．
18.本小题分
已知数列，，．
证明：数列，为等比数列；
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知．
讨论的单调性；
若存在唯一的整数，使得，求实数的取值范围；
是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：由辅助角公式可得：，
所以，
因为中，，，所以，
而，由正弦定理可得，
则或；
当为锐角时，由可知，，则，
如图，
则，
所以，
，则，
所以．
16.解：证明：根据题意可建系如图：
则，，，，，，
设，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
若为的中点，则，
，又平面，
平面；
由可知直线与平面所成的角正弦值为：
，，，
，，解得，
．
17.解：已知为抛物线：上一点，
则，
即，
即抛物线的方程为，所以焦点，
又直线经过、两点，则直线的方程为，
即；
由题意知，直线的斜率存在且不为，
设，直线的方程为，
由，联立可得，
又，解得，
由根与系数的关系可得，解得，
因为直线与直线关于对称，则可得直线的斜率为，
设，直线的方程为，
由，
消去，可得，
又，解得，
由根与系数的关系可得，解得，
则可得，
又直线的斜率，
又，则，
因此可得，则，故A，
，则，故，
则，，
所以．
18.证明：数列，，，
所以，
因为，
故数列是以为首项，以为公比的等比数列；
因为，
，
故数列是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由得，，，
联立两式可得，；
解：
．
19.解：由题意可知：的定义域为，
且，
令，解得或；令，解得或；
所以在内单调递增，在内单调递减．
当时，由可知：在内单调递增，在内单调递减，
则，不合题意；
当时，由可知：在内单调递增，在内单调递减，
则，且，
若存在唯一的整数，使得，则，；
综上所述：实数的取值范围为．
构建，
因为，可知的定义域为，
且，
若，则；若，则；
可知在内单调递减，在内单调递增，
因为恒成立，则有：
若，可得，
因为在内单调递增，则，所以；
若，可得，
因为在内单调递减，在内单调递增，
当时，，且，
则对任意恒成立，所以；
综上所述：
存在实数，使得恒成立，且的取值范围为．
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