2024-2025学年安徽省重点高中联盟校高三（上）第一次摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省重点高中联盟校高三（上）第一次摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线与曲线相切于点，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆且，则“的离心率”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若为函数的极大值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，过点的直线与交于，两点，且，直线与的另一个交点为，若直线与的斜率满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质量均匀的骰子两次记事件“第一次抛出的点数是”，事件“两次抛出的点数不同”，事件“两次抛出的点数之和是”，事件“两次抛出的点数之和”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. D.
10.如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内含边界的动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面
C. 当时， D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.已知点在圆：外，过点作直线，与圆相切，切点分别为，，若，则( )
A. B.
C. D. 当，时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则实数的值为______．
13.已知函数，为的导函数，在上单调递减，则正实数的取值范围为______．
14.定义：如果集合存在一组两两不交两个集合交集为空集时，称为不交的非空真子集，且，那么称无序子集组，，，构成集合的一个划分已知集合，则集合的所有划分的个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，满足．
求；
若的外接圆半径为，且，求的面积．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，四边形是边长为的正方形，，．
求的长；
若二面角的正切值为，求的值．
17.本小题分
已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，
求的离心率；
为上一点不在轴上，过作平分线的垂线，垂足为，若，求的面积．
18.本小题分
已知函数．
若函数与的图象关于点对称，求的解析式；
当时，，求实数的取值范围；
判断函数在的零点个数，并说明理由．
19.本小题分
定义：从数列中随机抽取项按照项数从小到大的顺序依次记为，将它们组成一个项数为的新数列，其中，若数列为递增数列，则称数列是数列的“项递增衍生列”；
已知数列满足，数列是的“项递增衍生列”，写出所有满足条件的；
已知数列是项数为的等比数列，其中，若数列为，，，求证：数列不是数列的“项递增衍生列”；
已知首项为的等差数列的项数为，且，数列是数列的“项递增衍生列”，其中若在数列中任意抽取项，且均不构成等差数列，求的最大值．
参考答案
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15.解：在中，，所以，
因为，所以，
则，
整理可得：，
又，所以，
又因为，
所以；
因为，在中，，
即，
又，
所以，
因为的外接圆半径，
由正弦定理可得：，
可得，，
所以，
所以，
所以．
16.解：由三棱柱的性质知，，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
而，
所以，所以．
由知，，，两两垂直，
以为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
所以，
因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，得，，所以，
易知平面的一个法向量为，
因为二面角的正切值为，
所以二面角的余弦值为，
所以，，解得．
17.解：由题意得，直线与双曲线两交点，关于原点对称，
不妨设点在第一象限，由，得，
设，则，
，则，
将其代入双曲线方程，得，即，
化简得，即，
，，则，即双曲线的离心率为．
点关于的平分线的对称点在或的延长线上，
，
又是的中位线，，
，，
，双曲线的方程为，
，则．
又，．
18.解：由题意得，．
由题意得，，，
令，解得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
由于时，，
所以实数的取值范围为．
令，则，整理得，
令，则，
当时，所以在上单调递减，
又，
所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点．
当时，，此时函数无零点．
综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为．
19.解：由题意得，数列为，，，，，，
若是数列的“项递增衍生列”，且，
则为，，或，，或，，或，，
设等比数列的公比为．
假设数列是数列的“项递增衍生列”，
则存在，使，
所以，则，
所以．
因为，所以为有理数，但为无理数，
所以式不可能成立．
综上，数列不是数列的“项递增衍生列”．
设等差数列的公差为．
由，又，所以，
故数列为，，，，，，
令，因为数列中各项均为正整数，故；
若，则，成等差数列
同理，且，所以，
同理，且，所以，
这与已知条件矛盾，所以，
此时可以构造数列为，，，，，，，，其中任意三项均不构成等差数列．
综上所述，的最大值为．
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