高中数学必修一第三章 函数概念与性质 单元测试（含解析）

高中数学必修一第三章
一、单选题
1．函数f(x)= 的定义域为（　　）
A．[-1,2)∪(2,+∞) B．(-1,+∞)
C．[-1,2) D．[-1,+∞)
2．某工厂今年前五个月每月生产某种产品的数量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图所示，则这个工厂对这种产品来说（　　）
A．一至三月每月生产数量逐月增加，四、五两月每月生产数量逐月减少
B．一至三月每月生产数量逐月增加，四、五月每月生产数量与三月持平
C．一至三月每月生产数量逐月增加，四、五两月均停止生产
D．一至三月每月生产数量不变，四、五两月均停止生产
3．设全集为R，函数 的定义域为M，则 =（　　）
A． B．
C． D．
4．狄利克雷函数是数学中非常有名且很重要的一个函数.它的定义如下： ，则关于狄利克雷函数 的说法错误的一项是（　　）
A．定义域为R
B．值域为
C．是偶函数
D．对定义域内任意 都有
5．函数f （x ）= 的奇偶性及单调性的情况是（　　）
A．增函数、偶函数 B．减函数、奇函数
C．增函数、非奇非偶函数 D．减函数、非奇非偶函数
6．已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
7．定义在上的函数满足，，，且当时，，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的单调递增的函数满足：任意，有，，则下列结论错误的是（　　）
A．当时，
B．任意
C．存在非零实数，使得任意
D．存在非零实数，使得任意
二、多选题
9．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（　　）
A．点到点只打开了两个进水口
B．点到点三个水口都打开
C．点到点只打开了一个出水口
D．点到点至少打开了一个进水口
10．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知函数的定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，则下列正确的是（　　）
A．为偶函数 B．
C．2是的一个周期 D．
12．已知函数，对任意的实数x，y都有成立，，，则（　　）
A．为偶函数 B．
C． D．4为的一个周期
三、填空题
13．已知是一次函数，且，则　 　．
14．已知定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则 　 　.
15．已知奇函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0，则不等式解集　 　．
16．已知函数，若对，使得，则实数的取值范围为　 　．
四、解答题
17．已知是定义在上的奇函数，当时，，且．
（1）求的解析式；
（2）画出的图象，并根据图象写出的单调区间（直接写出，无需证明）．
18．定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y ，有 ， ．
（1）求 的值；
（2）求证：对任意x ，都有f(x)>0；
（3）解不等式f(3 2x)>4．
19．已知函数f（x）=|x|+ ﹣1（x≠0）
（1）当m=1时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明；
（2）讨论f（x）零点的个数．
20．已知二次函数.
（1）若函数满足，且.求的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.
21．在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形的三边，，由长为8厘米的材料弯折而成，边的长为厘米（）；曲线是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为，记窗户的高（点到边的距离）为.
（1）求函数的解析式；
（2）要使得窗户的高最小，边应设计成多少厘米？
（3）要使得窗户的高与长的比值达到最小，边应设计成多少厘米？
22．对于定义域为 的函数 ，若同时满足下列两个条件：① 在 上具有单调性；②存在区间 ，使 在区间 上的值域也为 ，则称 为 上的“精彩函数”，区间 为函数 的“精彩区间”．
（1）判断 是否为函数 的“精彩区间”，并说明理由；
（2）判断函数 是否为“精彩函数”，并说明理由；
（3）若函数 是“精彩函数”，求实数 的取值范围．
参考答案
1．A
要使函数有意义，
则 ，
解得 且 ，
所以函数的定义域为[-1,2)∪(2,+∞)，
2．B
解：∵所给图象表示的是前五个月每月生产某种产品的数量C（件）关于时间t（月）的函数图象，
从图象上看一至三月份的产品数量逐月增加，从三月份开始产量稳定，
四月份、五月份的产量和三月份的产量持平．
∴一至三月每月生产数量逐月增加，四、五月生产数量与三月持平．
3．C
由 ，解得 且 ，故其补集为 或 .
4．B
则函数定义域为R，A符合题意；值域为 B不符合题意；
，是偶函数，C符合题意；
，D符合题意.
5． C
解答：由题可知： 则可得函数定义域为：﹣1≤x＜1，所以为非奇非偶函数．
令g（x）= =﹣ =﹣（1+ ），
由此判断g（x）在﹣1≤x＜1上单调递增，从而知f（x）在﹣1≤x＜1上也单调递增．
6．C
令 ， ，则 ，
由 得， ， ，
即 ， 。
7． D
解：，，
令得：，又，
反复利用可得：
①，
再令，由，可求得，
同理反复利用可得：
②，
由①②可得：有，
，，而，
所以，，
故．
8． C
9． A,B,D
由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为2，
对于A：由丙图知：点到点蓄水量增加，所以只打开了两个进水口，只进水不出水，A符合题意；
对于B：点到点蓄水量不变，说明三个水口都打开进出一样多蓄水量不变，B符合题意；
对于C：点到点蓄水量减少，说明每个小时减少，所以打开了一个进水口和一个出水口，C不正确；
对于D：由ABC的分析可知，点到点至少打开了一个进水口，D符合题意；
10． A,B
解：，在区间内有解，在区间内有解，
令，则，的对称轴是是最大值，
.又因为，所以只能取0，1.
11．A,D
解：对于A，因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，
所以关于轴对称，即，所以为偶函数，故A正确；
对于B，因为，
令，可得，则，
因为为偶函数，所以，故B不正确；
对于C，由，
令，可得：，，2是不是的一个周期，故C不正确；
对于D，因为，，所以，
所以，则，即是以4为周期的周期函数，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
12． B,C,D
13．
设，
因为，
则，
可知，解得，故．
14．-1
因为定义在 上的奇函数 ，当 时， ，
所以 ，所以 ，
15．（2， ）
解：因为f（x）是奇函数，所以不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0等价为f（x2﹣3）＜﹣f（x﹣3）=f（3﹣x），
又f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，
所以 ，即 ，解得2 ，
即不等式的解集为（2， ）．
16．
因为对，，使得，则，
，在上单调递增，所以，
令，则，在上单调递减，上单调递增，所以当时取得最小值，，
所以，解得。
17．（1）解：是定义在上的奇函数，所以，，
解得．
所以当时，，
当时，，．
所以
（2）解：的图象如下：
由图可知，的单调增区间为和，单调减区间为．
18．（1）解：对任意x，y ， ．
令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0) 1]＝0．
令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x 成立，
所以f(0)≠0，因此f(0)＝1
（2）证明：对任意x ，有 ．
假设存在x0 ，使f(x0)＝0，
则对任意x>0，有f(x)＝f[(x x0)＋x0]＝f(x x0)·f(x0)＝0．
这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．所以，对任意x ，均有f(x)>0成立．
（3）解：令x＝y＝1有f(1 1)＝f(1)·f(1)，
所以f(2)＝22＝4．任取x1，x2 ，且x1则f(x2)－f(x1)＝f[(x2 x1)＋x1] f(x1)＝f(x2 x1)·f(x1) f(x1)＝f(x1)·[f(x2 x1) 1]．
∵x10，由已知f(x2 x1)>1，∴f(x2 x1) 1>0．
由（2）知x1 ，f(x1)>0．所以f(x2) f(x1)>0，即f(x1)故函数f(x)在 上是增函数．
由f(3 2x)>4，得f(3 2x)>f(2)，即3 2x>2．解得x< ．所以，不等式的解集是 .
19．（1）解：由当m=1，且x＜0时，f（x）=﹣x+ ﹣1是单调递减的．
证明：设x1＜x2＜0，则
f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+ ﹣1﹣（﹣x2+ ﹣1）=x2﹣x1+ ﹣
=（x2﹣x1）﹣ =（x2﹣x1）（1+ ），
∵x1＜x2＜0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＞0，
f（x1）＞f（x2）
则f（x）在（﹣∞，0）上为减函数
（2）解：由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0，变为m=﹣x|x|+x，x≠0
令h（x）=x﹣x|x|=
作出函数h（x）的图象及直线y=m，由图象可得：
当m＞ 或m＜﹣ 时，f（x）有1个零点．
当m= 或m=0或m=﹣ 时，f（x）有2个零点；
当0＜m＜ 或﹣ ＜m＜0时，f（x）有3个零点．
20．（1）解：设，
由已知代入，
得，
对于恒成立，
故，解得，又由，得，
所以
（2）解：若对任意，不等式恒成立，
整理得：恒成立，因为a不为0，
所以，所以，
所以，
令，因为，所以，
若时，此时，
若时，，
当时，即时，上式取得等号，
综上的最大值为.
21．（1）因为抛物线方程为，所以
又因为，所以点到的距离为
所以点到的距离为，即
（2）因为，所以当时有最小值
此时，，故应设计为3厘米
（3）窗户的高与长的比值为
因为，当且仅当，即时取等号
所以要使得窗户的高与长的比值达到最小，厘米
22．（1）解：由题意， 是 上的增函数，
易知 在 上的值域为 ，
所以函数 是“精彩区间”， 是该函数的“精彩区间”.
（2）解：不是精彩函数，证明如下：
因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以函数 在定义域 上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件，
所以函数 不是“精彩函数”.
（3）解：由题意，函数 的定义域为 ，且 在定义域上为单调递增函数，
因为函数 是“精彩函数”，所以方程 至少存在两个不等的实数解，
方程整理得 ，
所以该方程有两个不等的实数根，设为 ，不妨设 ，则 ， ，
令 ，
由题意得， ，
即 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
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