2024-2025学年河北省部分学校新高考高三（上）摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省部分学校新高考高三（上）摸底
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.设是等差数列的前项和，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知“，不等式恒成立”，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，若侧面与底面所成的二面角为，则该正四棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.的展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则( )
A. B.
C. D.
10.南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵如图所示，在“杨辉三角”中，下列选项正确的是( )
A. 第行所有数字的和为
B.
C. 第行所有数字的平方和等于
D. 若第行第个数记为，则
11.已知，分别是正方体的棱和的中点，则( )
A. 与是异面直线
B. 与所成角的大小为
C. 与平面所成角的余弦值为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有______种用数字填写答案
13.已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是______．
14.函数的图象和函数的图象的连续两个交点为，，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，满足，，．
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，证明：当时．
16.本小题分
如图，在中，，，点为的中点将沿折起到的位置，使，如图．
求证：．
在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线．
求；
求；
若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值．
18.本小题分
椭圆的焦点为和，短轴长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上、下顶点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点不与、两点重合．
求证：与的交点的纵坐标为定值；
已知直线：，求直线、、围成的三角形面积最小值．
19.本小题分
设函数，且，设，．
证明：函数在区间上存在唯一的极小值点；
证明：；
已知且，证明：．
参考答案
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14.．
15.解：根据题意，当时，
，
法一：，
，
当时，，也满足；
法二：可得，
所以数列是常数列，
．
证明：，，
首项满足，所以，
所以，
设数列，
数列前项和为，
分析可得，数列从第项开始放缩成，
设数列
数列前项和为，
所以．
16.解：证明：依题意，由点为的中点，，得，
又，，，平面，
则平面，又平面，于是，
又，，，，平面，
则平面，又平面，则，
而，，平面，因此平面，又平面，
所以．
依题意，得，由，
则，过点作直线，则有，
显然直线，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
设，即，
则，
若存在点，使得，则，解得，则，
即当为线段中点时，使得，设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的正弦值．
17.解：因为点为的中点，所以，
所以，
化简得：，
解得；
在中，由余弦定理得：
，
解得负根舍去，
因为，所以为钝角，
所以，
由正弦定理得：，
即，解得，
因为角为钝角，所以角为锐角，
所以；
连接，
则为线段的垂直平分线，
所以，设，则，，
设，在中，由正弦定理得：，
即，
所以，
因为最大时即为的补角，
而，所以，
所以，
所以，
所以长度最小值．
18.解：椭圆的焦点为和，短轴长为，
，，，则，
椭圆的标准方程为．
证明：直线过点，
由题意可知直线的斜率存在，设直线，，，
联立方程，消去可得，
则，
，，
，，
可得直线，直线，
．
即，解得，
直线，的交点在直线上．
设直线与直线，的交点分别为，，
则由可知：直线，直线．
联立，解得，
同理可得，
，
又点到直线的距离，
可得，只需求的最小值．
由弦长公式可得
．
令，则．
可得
，
当且仅当，即时等号成立．
即的最小值为，可得面积的最小值为，
故直线，，围成的三角形面积的最小值为．
19.证明：，
当时，，，
所以在上单调递增，
要证函数在区间上存在唯一的极小值点，
只需证明，，
我们构造函数，，，
，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以当时，在上单调递增，，，
所以存在唯一的使得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点；
当时，，，
所以在上依然单调递增，
要证函数在区间上存在唯一的极小值点，
只需证明，，
我们构造函数，，，
，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
所以当时，在上单调递增，，，
所以存在唯一的使得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点；
根据上述分析可知，同理可证此时在上存在唯一极小值点；
综上所述，函数在区间上存在唯一的极小值点；
由中分析可知，在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递增，
注意到，所以，
即，成立；
目标等价于，
当，时，在中取，
所以，
于是，
，
所以，
即．
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