2024-2025学年安徽省芜湖市无为中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省芜湖市无为中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，既为偶函数，又在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，，且，都有，，则的解集为( )
A. B. ，
C. D.
4.设，为实数，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.已知随机变量若，设事件“”，事件“”，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若函数恰好有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的( )
函数的图象关于直线对称；
函数的图象关于点中心对称；
函数的周期为；
．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“”的既不充分也不必要条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
10.下列说法正确的是( )
A. 函数且的图象恒过定点
B. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是
C. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象
D. 的零点所在的一个区间为
11.已知函数，的定义域均为，且，，，则下列说法正确的有( )
A. B. 为偶函数 C. 的周期为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则函数在点处的切线方程为______．
13.为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有名医生需分配到个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有______种用数字作答
14.对于实数和，定义运算“”：，设，若函数恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，
若存在，对任意的都成立，求的取值范围；
设，若不等式在上有解，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知是公差为的等差数列，数列满足，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件
Ⅰ已知概率，
(ⅰ)求，的值．
(ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率．
Ⅱ若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合，，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集．
Ⅰ若，写出的所有子集；
Ⅱ若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；
Ⅲ若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，
当时，，
又因为存在，对任意的都成立，
所以对任意的都成立，
即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数，
即，
解得：；
，
所以，
令，
则，
所以，
因为不等式在区间上有解，
所以，
又，
而，，
所以，
所以，
即实数的取值范围是．
16.解：由已知得：，又是公差为的等差数列，，
，所以数列是常数列，，；
由得：，
，
又，
由可得：
，
．
17.解：Ⅰ甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响，
设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件，
概率，
根据独立性性质知，
解得：．
由知：，
设“甲乙两人两次一共解开密码次的事件”，
则，与互斥，与，与分别相互独立，
甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为．
Ⅲ由题知：，，
设“甲乙两人两次一共解开密码次的事件”，
则，与互斥，与，与分别相互独立，
，
，
，当且仅当时等号成立，
．
甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为．
18.解：由已知可得函数，
所以．
当时，；当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增；
当时，，当时，；当或时，，
故在上单调递减，在，上单调递增；
当时，，因为与同号，所以恒成立，即在上单调递增；
当时，，当时，；当或时，，
故在上单调递减，在，上单调递增．
由题意得，恒成立，因为，所以恒成立．
即需求在上的最大值．
令，，则，
令，，则，
即在上单调递减，
又，，
所以在上存在唯一的使，使得．
当时，，即，则在上单调递增；
当时，，即，则在上单调递减．
所以当时取得最大值，且为．
又由可得，，即，
两边取对数得：，
令，由知，在定义域内单调递增，
故由可得，，即，
所以，
故，即的取值范围为．
19.解：当时，，
则当时，，时，，满足条件，即，
故A的所有子集有，；
当时，取，，是的子集，此时，
若，设，，，且，
根据题意，，，，
，，，，
，，
，
，
，
，与矛盾，
综上，．
设，，，，，
，，，，，，，，，
设的元素个数为，
若不是的的子集，
则最多能包含，，，，中的一外元素以及，，，中的元素，
令，验证不是的子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的的子集，
的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则，
当时，存在，使得中必有两个元素属于，
同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂，
是的子集，的最小值为．
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