2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3.顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
4.方程的实数解有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为( )
A. B. C. D.
8.，分别是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于，两点，已知，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，下列结论中正确的有( )
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是圆，其半径为
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线
10.如图，正方体的棱长为，点是其侧面上的一个动点含边界，点是线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，，使得二面角大小为
B. 存在点，，使得平面与平面平行
C. 当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
D. 当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为
11.已知抛物线：上存在一点到其焦点的距离为，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为坐标原点则( )
A. 抛物线的方程为 B. 直线一定过抛物线的焦点
C. 线段长的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点的等轴双曲线方程为______．
13.过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则斜率的取值范围为______．
14.已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
求函数在区间上的最小值．
16.本小题分
设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．
Ⅰ求椭圆的方程和抛物线的方程；
Ⅱ设上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若
的面积为，求直线的方程．
17.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，，，．
求证：；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
设双曲线的方程为，直线过抛物线的焦点和点已知的焦距为且一条渐近线与平行．
求双曲线的方程；
已知直线过双曲线上的右焦点，若与交于点，其中点在第一象限，与直线交于点，过作平行于的直线分别交直线，轴于点，，求．
19.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数．
讨论的单调性；
若方程有两个不同的根，．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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14.
15.解：，
由，得；由，得，
在上单调递增，在上单调递减，
的极小值为，无极大值．
由知在上单调递增，在上单调递减，
，．
当时，在上单调递减，在上单调递增，；
当时，在上单调递增，．
．
16.解：Ⅰ设的坐标为，
依题意可得
解得，，，
于是，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为．
Ⅱ直线的方程为，由题意，设直线的方程为，
联立方程组
解得点，故，
联立方程组
消去，整理得，
解得，或，
，
直线的方程为
，
令，解得，故D，
，
又的面积为，
，
整理得，
解得，，
直线的方程为，或．
17.证明：直三棱柱的体积为：，
则，四边形为正方形，
直棱柱中，平面，又，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
，
所以，即C.
解：，，
设平面的法向量：，
则，取，得，
，，
设面的法向量，
则，取，得，
设二面角的大小为，
则，
因为为锐角，所以二面角余弦值为．
18.解：因为抛物线的焦点为，
所以直线的斜率，
因为双曲线的一条渐近线与平行，
所以，即．
又因为双曲线的焦距为，即，
所以，
所以双曲线的方程为．
双曲线的右焦点为，
由题意知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去得，，
且，
所以，
将代入得，
所以．
直线方程为，与直线联立，
可得，
因为，
所以．
因为，所以，
所以为的中点，即．
19.解：由题意得，，，
由，得．
若，则当时，，单调递增，当时，，单调递减；
若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增．
综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增．
解：由，得．
设，
由得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，，当时，，当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，
即方程有两个不同的根，
故的取值范围是．
证明：不妨设，则且，
设，
则，
所以在区间内单调递增，
又，所以，
即，又，所以，
又，，在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，得证．
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