2024-2025学年安徽省亳州市大联考高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省亳州市大联考高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D.
3.有一组数据，按从小到大排列为：，，，，，，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为( )
A. B. C. D.
4.已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，则值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
8.数列的前项和为，满足，，则可能的不同取值的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量满足：，则( )
A. B. C. D.
10.设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是( )
A. 的极大值为
B. 点是曲线的对称中心
C. 直线与函数的图象相切
D. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为
11.已知曲线：，点为曲线上任意一点，则( )
A. 曲线的图象由两个圆构成
B. 的最大值为
C. 的取值范围为
D. 直线与曲线有且仅有个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是______．
13.已知函数与的图象上任意个相邻的交点构成直角三角形，则 ______．
14.用个不同的元素组成个非空集合，每个元素只能使用一次，不同的组成方案数记作，且当时，现有名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得，，，四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这名同学获得卡片后，可集齐全种卡片的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为．
求；
若的面积为边上的高为，求的周长．
16.本小题分
已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．
求椭圆的方程；
直线与直线分别交椭圆于，和，两点，求四边形的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，平面平面，．
证明：；
若，点为棱的中点，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数，．
若为函数的极值点，求的值；
若不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；
已知等差数列，首项为，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”
参考答案
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15.解：由，得，
由，得，
由联立，得，
由，得，所以，
又由，得．
因为的面积为，
所以，得．
由，即，所以．
由余弦定理，得，即，
所以，可得，
所以的周长为．
16.解：根据题意可得，
解得，
椭圆的方程为；
根据对称性可知四边形为平行四边形，
设，，
联立直线与椭圆，可得，
，
，
与平行，这两条直线的距离，
平行四边形的面积．
17.解：证明：因为，，所以，
所以，，所以，
因为，所以，即，
又因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以；
解：取的中点，连接，，
由知，因为，易知，
因为为的中点，为的中点，所以，，
所以平面，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故
，故，
设二面角的大小为，由图形可知，为锐角，
故二面角的余弦值为．
18.解：由题，故，解得，
此时，故定义域为，，
所以当时，时，，
所以为函数的极值点，故．
设，定义域为
，
设，
所以，所以在上单调递减，
又，在上连续，
所以存在使，
当时，，即，函数单调递增，
当时，，即，函数单调递减，
所以函数的最大值为，
因为恒成立，
即恒成立，
设，则，所以单调递增，
所以，即恒成立，
因为在上单调递减，且，
所以只需恒成立，即，
解得．
故的取值范围是．
19.解：由，得，
又，故，即，则数列是“凹数列”；
解：已知等差数列的公差为，，
则，
数列是凹数列，
对任意，恒成立，
即，
则，即，
，
，得．
的取值范围为；
证明：先证明必要性、
为“凹数列”，对任意的，都有，即，
对任意的，，，当时，
有，
即，
又，
，即必要性成立；
再证明充分性、
对于任意的，，，当时，有，
取，，则有，
即，充分性成立．
故为“凹数列”．
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