2024-2025学年广东省揭阳市两校高三（上）联考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年广东省揭阳市两校高三（上）联考数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的值域为，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，已知，，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若四边形为正方形，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.神舟十二号载人飞船搭载名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为参考数据：
A. B. C. D.
7.设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，前项和为，，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 当时，函数在上单调递增
D. 若函数在上存在零点，则实数的取值范围是
11.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义运算，则不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______．
13.已知过原点的直线与交于，两点点在点左侧，过作轴的垂线与函数交于点，过点作轴的垂线与函数交于点，当平行于轴时，点的横坐标为______．
14.已知是定义在上的单调函数，，对恒成立，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
求角的大小；
若的面积为，设是的中点，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．
证明：；
棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
设函数，满足：；对任意，恒成立．
求函数的解析式．
设矩形的一边在轴上，顶点，在函数的图象上设矩形的面积为，求证：．
18.本小题分
已知函数是奇函数是自然对数的底
求实数的值；
若时，关于的不等式恒成立求实数的取值范围；
设，对任意实数，，，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ若不等式恒成立，求的取值范围；
Ⅲ当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
由正弦定理得，，
即，
即，
即，
即，
，，，
，
；
，
，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
．
16.解：证明：如图所示，连接，，
因为为棱台，所以，，，四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且，平面，所以平面，
因为平面，所以．
取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，
所以，即，
由于平面，以为原点，分别以直线，，为轴、轴和轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得，
设平面的法向量，
则，取．
又由平面的法向量为，
所以，解得，
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即，
故BC上存在点，当时，二面角的余弦值为．

17.解：已知函数，
因为，
所以，
整理得，
又对任意，恒成立，
此时，
整理得恒成立，
联立，解得，
所以；
证明：由知，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
不妨设，，
因为，
可得，
所以，
易知点在函数上，
可得，
则，
因为，
所以．
18.解：由函数是奇函数，定义域为，可得，即，解得，
当时，，，则为奇函数，所以成立；
若时，关于的不等式恒成立，即为，
即有恒成立．
设，
因为当且仅当时等号成立，由于，所以，，
所以，即的取值范围是；
，
任意实数，，，设，
以，，为长度的线段可以构成三角形，可得，
又，以，，为长度的线段也能构成三角形，可得恒成立，
即有恒成立，
因为时等号成立，所以，即，
即的最大值为．
19.解：Ⅰ因为，，
所以，
当时，恒成立，
所以，
当时，令，
解得舍负，
令，得，
令，得．
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
Ⅱ由恒成立，得在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，
只需，
则，
令，
易知在上单调递减，
又，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
即，
所以，
所以的取值范围为．
Ⅲ当时，，，
则，
令，
则，
当时，，所以在上单调递减，
又，
所以在上存在唯一的零点，
设在上的零点为，
可得当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
解法一：，
因为，所以，
故，
又，所以，
又，
所以在上有一个零点，
又，
所以在上有一个零点，
当时，，
所以在上没有零点，
当时，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，
而，
所以，
所以在上没有零点，
综上所述，在定义域上有且仅有个零点．
解法二：因为，，
所以在上有一个零点，
又，
所以在上有一个零点，
当时，，
令，，
，
令，得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
所以时，，
所以，
从而在上恒成立，
故F在上没有零点，
当时，，
设，
则，
所以在上单调递减，
又，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
故F在上没有零点，
综上所述，在定义域上有且仅有个零点．
第1页，共1页