2024-2025学年湖南省长沙市麓山国际实验学校高三（上）第一次学情检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年长沙市麓山国际实验学校高三（上）第一次学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上单调递减，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知函数存在两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，是的中点，在线段上，且过点的直线交线段，分别于点，，且，，其中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题有( )
A. 已知随机变量服从正态分布，，则
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和
C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
10.已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是( )
A.
B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
11.如图，正方体的棱长为，是线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 平面
C. 的最小值为
D. 当，，，四点共面时，四面体的外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等差数列的前项和，若，，则 ______．
13.数列的前项和为，若，则 ______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点，若，且的内切圆半径为，则该椭圆的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，为钝角，．
求；
从条件、条件和条件这三个条件中选择一个作为已知，求的面积．
；
；
．
注：如果选择条件、条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
16.本小题分
某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生
女生
合计
已知在这人中随机抽取人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．
请将上述列联表补充完整；
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；
将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取人，计抽取的人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：．
17.本小题分
如图所示，在三棱锥中，平面平面，．
证明：．
若，点满足，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知直线与抛物线：交于，两点，且．
求；
设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值．
19.本小题分
南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”在他的专著详解九章算法商功中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式如图，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列
求数列的通项公式；
求的最小值；
若数列满足，对于，证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，，
所以，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
因为为钝角，
所以．
若选条件，因为，，
所以，与矛盾，故不合题意，舍去；
若选条件，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，
所以的面积为；
若选条件，由知，
因为，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的面积为．
16.解：在这人中随机抽取人，抽到喜欢游泳的学生的概率为，
则喜欢游泳的学生人数为，列联表如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生
女生
合计
，
依据小概率值的独立性检验，不能认为喜欢游泳与性别有关联．
由题意可得，，所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：


故E．
17.解：如图：
证明：在平面中，过点作的垂线，垂足为，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面又因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故AB．
由以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
又因为，
所以，
即，
设平面的一个法向量，
则，令，则．
又因为，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
即，
因为，
解得；
由知，
因为直线的斜率不可能为零，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
即，
整理得，
因为，，
所以，
即，
又且，
解得或，
因为点到直线的距离为，
又
，
所以的面积，
因为或，
所以当时，的面积取得最小值，最小值为．
19.解：根据题意，，，，，，
则有，，，，
当时，
，
又也满足，所以．
因为，定义域为，
则，
令，得；
且时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，即．
证明：由可知当时，，
令，则，
所以，
所以，
令，
则，
所以
，
所以，
所以．
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