2024-2025学年河南省信阳市新县高级中学高三（上）适应性数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年河南省信阳市新县高级中学高三（上）适应性数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“”( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中第四项的系数为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.为迎接年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为( )
A. B. C. D.
6.在中，，，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.斜率为的直线分别与轴，轴交于，两点，且与椭圆，在第一象限交于，两点，且，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是( )
A. 与相互独立 B. 与互斥 C. D.
10.已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点点在第一象限，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则( )
A. 的最小值为
B. 当直线的斜率为时，
C. 设直线，的斜率分别为，，则
D. 过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则
11.在平面四边形中，，，为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为则下列说法正确的是( )
A. 当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为
B. 当时，三棱锥外接球的直径为
C. 当时，以为直径的球面与底面的交线长为
D. 当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，为虚数单位若集合，，且，则 ______．
13.已知轴为函数的图象的一条切线，则实数的值为______．
14.已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，分别为，的中点．
证明：平面；
若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离．
16.本小题分
某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
已知该公司甲部门有名负责人，乙部门有名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的最有可能的取值：
该公司统计了七个部门测试的平均成绩满分分与绩效等级优秀率，如下表所示：
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程令，经计算得，．
(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为，估计其绩效等级优秀率；
(ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差经计算，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率．
参考公式与数据：，，．
线性回归方程中，，．
若随机变量，则，，．
17.本小题分
已知函数．
当时，求在的单调区间及极值．
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列为等比数列，为等差数列，且，，．
求，的通项公式；
数列的前项和为，集合共有个元素，求实数的取值范围；
若数列中，，，求证：．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
求椭圆的标准方程；
已知直线与椭圆相切，与圆：相交于，两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证法一：连接，交于点，连接，，则为的中点，
因为为的中点，所以，且，
因为为的中点，所以，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
证法二：取中点为，连接，，
因为为的中点，为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以
又因为平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面，，所以平面平面．
又因为平面，所以平面．
由题意知，，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
，，，
．
设异面直线与所成角为，
则，
解得，
故A，，，
则
设平面的一个法向量为，
到平面的距离为．
所以，取，得．
所以，
即到平面的距离为．
16.解：依题意，随机变量服从超几何分布，，，，，
，，，．
由此可得最大，即的可能性最大，故最有可能的取值为；
依题意，两边取对数，得，
即，其中，
由提供的参考数据，可知，又，故，
由提供的参考数据，可得，故，
当时，；
由及提供的参考数据可知，，，
即，可得，即．
又，且，
由正态分布的性质，得，
记“绩效等级优秀率不低于”为事件，则，
所以绩效等级优秀率不低于的概率等于．
17.解：当，时，
，
，
令，解得，
令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取得极小值为，无极大值；
依题意，
对，恒成立，
即，
令，
当时，，单调递减．
当时，，
，
令，解得，令，解得，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，
因此，
所以，即，
故的取值范围为．
18.解：设数列公比的为，数列公差的为，
则由，，
，
又，即，，
，
即，；
设，
则
，
，
，
令，
则
，
可得，
故当时，最大，
因为集合共有个元素，
且，，
即的取值范围为；
证明：由题可得，
当时，
，
当时，也满足上式，
，
故原不等式成立．
19.解：因为椭圆的左焦点为，
所以，
因为过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，
所以，
又，
联立，
解得，，
则椭圆方程的方程为；
当的斜率存在时，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
又点到直线的距离
不妨设点到直线的距离为，
此时，
所以的面积
，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则的最大值为；
当直线的斜率不存在时，
可得，，
所以的面积，
因为，
所以，
综上得，的面积最大值为，
此时，
解得．
故直线的斜率为．
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