2024-2025学年河南省驻马店高级中学高三（上）第一次双周考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省驻马店高级中学高三（上）第一次双周考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知命题，则命题为( )
A.
B.
C. ，
D. ，或
3.已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.对于任意，函数的值总大于，则的取值范围是 ( )
A. B. 或
C. D. 或
5.已知奇函数是定义在上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )
A. ， B. C. D.
6.已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是( )
A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的周期为
C. 函数图象关于点中心对称 D.
8.已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，且，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知，是正实数，若，则( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
11.下列命题正确的是( )
A. 幂函数在上是增函数，则或
B. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
C. 若，则
D. 若函数有个不同的零点，，，，且，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______．
13.已知，若，则实数的取值范围是______．
14.函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，，都有，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，若不等式，对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若函数在上单调递减，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数为常数是定义在上的奇函数．
求函数的解析式；
若，求函数的值域；
若，且函数满足对任意，都有成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线．
Ⅰ求，，，的值；
Ⅱ若时，，求的取值范围．
19.本小题分
对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”．
对于，求证：对于点，存在点，使得点是到点的“最近点”；
对于，，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
已知存在导函数，函数恒大于零，对于点，点，若对任意，存在点同时是到点与点的“最近点”，试判断的单调性．
参考答案
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15.解：容易得出，
即的最大值为，
则对于所有的，恒成立，
等价于对于所有的恒成立，
即对于所有的恒成立，
令，
只要，
解得或或．
所以实数的取值范围为．
16.解：根据题意，函数的定义域为，
，，，
曲线在点处的切线方程为．
的定义域为，，
令，，
令，
在上为增函数，在上为减函数，
，
为单调递减的函数，
，，
即实数的取值范围
17.解：因为 是定义在上的奇函数，所以 ，
即 ，解得 ，
所以．
，
因为在上单调递减，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以．
所以函数在上的值域为．
由向左移 个单位，向上移 个单位得到，
所以关于对称，所以，
则，
即，
由，得，
因为在上单调递减，所以在上单调递减，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，得对任意恒成立，
令，其对称轴为，所以，
所以实数的取值范围是．
18.解：Ⅰ由题意知，，，，
而，，故，，，，
从而，，，；
Ⅱ由知，，
设，
则，
由题设得，即，
令，得，，
若，则，从而当时，，当时，，
即在上减，在上是增，故F在上的最小值为，
而，时，即恒成立．
若，则，从而当时，，
即在上是增，而，故当时，，即恒成立．
若时，，
而，所以当时，不恒成立，
综上，的取值范围是
19.解：当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，
使得该点是在的“最近点”；
由题设可得，
则，因为，均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，，故在点处的切线方程为，
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在，使得，
即，
，
由相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，，
即 ，
，
得，
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减．
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