2024-2025学年四川省巴中市高三（上）零诊数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省巴中市高三（上）零诊数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.设，，均为直线，其中，在平面内，则“”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.设函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.有名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天若每天从人中任选两人参加服务，则恰有人连续参加两天服务的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象与直线有两个交点，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆：的左右焦点，，是椭圆上的两点若，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量的分布列如下表
若离散型随机变量满足，则( )
A. B. ，
C. ， D. ，
10.已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是( )
A. 是奇函数
B.
C. 若在上单调递增，则
D. 的图象与直线有三个交点
11.已知，为双曲线的左，右顶点，，分别为双曲线的左，右焦点下列命题中正确的是( )
A. 若为双曲线上一点，且，则
B. 到双曲线的渐近线的距离为
C. 若为双曲线上非顶点的任意一点，则直线、的斜率之积为
D. 双曲线上存在不同两点，关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数是______．
13.正四棱台高为，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是______．
14.已知向量满足，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且满足．
证明：数列为等比数列；
若，求满足条件的最大整数．
16.本小题分
在直三棱柱中，，，在上，且．
证明：；
当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
17.本小题分
已知锐角中，角，，的对边分别为，，，若．
证明：；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设过点且斜率为正的直线交曲线于，两点点在点的上方，的中点为，
过，作直线的垂线，垂足分别为，，试证明：；
设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
设函数．
若曲线在点处的切线方程为，求的值；
当时恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：证明：由首项，且满足，
可得，
即有，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
由可得数列，
则
，
即，
由数列为递增数列，
当时，上式成立；
当时，上式不成立．
所以满足条件的最大整数为．
16.解：证明：根据题意易知，，两两相互垂直，
建系如图，设，
则，，，，
，，
，
；
四棱锥的体积为：
，
，
，，，
，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，取，
平面与平面所成二面角的余弦值为：
，，
平面与平面所成二面角的正弦值为．
17.证明：因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，即，
而，，则或，
即或舍去，故B；
解：因为是锐角三角形，
所以，解得，
所以，
由正弦定理，可得，
则，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
18.解：设，由题意可得，
即为，化简可得；
证明：设过的直线的方程为，，
联立，可得，
设，，可得，，
中点，即，即有，
，，
直线的斜率为，直线的斜率为，
由，
可得直线和直线的斜率相等，且不重合，
则；
由可得，
则直线的垂直平分线方程为，
令，可得，
即，
由的面积为，可得，
即为，
由在递增，且，
则方程的解为，
直线的方程．
19.解：，
由题意曲线在点处的切线方程为，
则，解得；
，，
，
令，
则，
当，即时，，即是上的增函数，
因此，
是增函数，
所以，不合题意，舍去；
当，即时，，即是上的减函数，
所以，
所以是上的减函数，
从而恒成立；
当，即时，，
当时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
又，
所以时，恒成立，
即恒成立，
此时在上单调递增，
因此，与题意不合，舍去；
综上，
所以实数的取值范围为；
证明：由知，当时，，
即，
从而，
所以，
又，
所以，
此不等式中分别令，，，，
得，，，，
将这个不等式相加得．
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