2024-2025学年安徽师大附中高三（上）周测数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年安徽师大附中高三（上）周测数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
4.若，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线：与：交于，两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知随机事件，满足，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
8.、是双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 某射击运动员在一次训练中次射击成绩单位：环如下：，，，，，，，，，，这组数据的第百分位数为
B. 若随机变量，且，则
C. 若随机变量，且，则
D. 对一组样本数据，，，进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
10.已知数列满足，，则下列结论正确的有( )
A. 为等比数列 B. 的通项公式为
C. 为递增数列 D. 的前项和
11.年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点满足且为常数，化简可得曲线：，则( )
A. 原点在曲线的内部
B. 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 若，则的最大值为
D. 若，则存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则 ______．
13.已知正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
14.已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为．
求；
若的面积为边上的高为，求的周长．
16.本小题分
某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生人，女生人进行测试根据测试成绩按，，，，分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于分的有人．
填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
成绩小于 成绩不小于 合计
男 _____ _____ _____
女 _____ _____ _____
合计 _____ _____ _____
规定成绩不小于百分制为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取名学生进行座谈，再在这名学生中选名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望．
附：
17.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，是的中点，是的中点．
求证平面；
求平面与平面的夹角余弦值．
18.本小题分
已知为坐标原点，是椭圆：的右焦点，过且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点当为短轴顶点时，的周长为．
求的方程；
若线段的垂直平分线分别交轴、轴于点，，为线段的中点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，求证：当时，；
若有两个不同的极值点，且；
求的取值范围；
求证：．
参考答案
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15.解：由，得，
由，得，
由联立，得，
由，得，所以，
又由，得．
因为的面积为，
所以，得．
由，即，所以．
由余弦定理，得，即，
所以，可得，
所以的周长为．
16.解：成绩小于分的人数为：，
由题意得列联表如下表：
成绩小于 成绩不小于 合计
男
女
合计
，
故有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
由知，人中不及格的人数为，及格人数为，
用分层抽样随机抽取的名学生中不及格有人，及格有人，
由题意，的所有可能取值为，，，且服从超几何分布，，，，，
，，，
的分布列为

．
17.证明：取中点，连接，，
因为是的中点，所以，且，
因为是的中点，所以，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面
解：在四棱柱中，平面，，
所以，，两两垂直，
以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，，
所以平面与平面的夹角余弦值为．
18.解：设椭圆的焦距为，因为椭圆的焦点为，可得，
又因为为短轴顶点时，的周长，
又由，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为．
解法一：因为椭圆的焦点为，设直线：，
联立方程组，整理得，
设，，则，，
则，
于是线段的垂直平分线的方程为，
令，可得，
由
，
令，则，
因为，所以，可得，
因此．
解法二：因为椭圆的焦点为，设直线：，
联立方程组，整理得，
设，，则，，
则，
可得线段的垂直平分线的方程为，
令，得，
由
．
令，则，
因为，可得，可得，
因此．

19.证明：时，，
则，故在单调递减，
故，故时，；
解：，
由于有两个不同的极值点，且，
故，是的两个不相等的正实数根，
故，解得，
故；
由于，所以，故，
由于，故，
，
令
故，
当时，，故在单调递增，
故，
由于，故，
因此，
故．
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